螺旋度

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涡度、散度与垂直速度，是天气分析预报中

经常使用的三个物理量。在天气学教科书(例如：

朱乾根等，2000)与动力气象学教科书(例如：吕

美仲与彭永清，1990)中都有详尽介绍。本章内

容，主要取材于朱乾根等的教科书。

§7.1涡度的表达式

涡度是衡量空气质块转运动强度物理量，单位为s1。根据右手

定则，逆时针旋转时为正，顺时针旋转时为负。从动力学角度分析，

根据涡度的变化，就可了解气压系统的发生和发展。

更确切地说，我们这里的涡度是指相对涡度，其表达式为：

wvu

zyx

kji



















3

V

k

y

u

x

v

j

y

w

z

u

i

z

v

y

w





)()()(





































kji





(7.1.1)

其中)(

3

kwjviu





V是三维风矢。

虽然涡度是一个矢量，但在天气分析中，一般却只计算它的垂直

分量，亦即：相对涡度垂直分量或垂直相对涡度。的表达式为：

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y

u

x

v











(7.1.2)

需要注意的是，在日常分析预报中说的涡度，其全称应是垂直

相对涡度。

将式(7.1.2)变微分为差分，得：

y

u

x

v















(7.1.3)

§7.1.2相对涡度的计算方法

犹如风矢有实测风与地转风一样，相对涡度有实测风涡度

o

与

地转风涡度

g

两种。下面分别介绍它们的计算方法。

1.实测风涡度

o

计算方法

用实测风计算涡度时要按照式(7.1.3)所列各项分别进行。首先

把实测风分解为u、v分量，然后分别读取图7.1.1所示的A、C点的

u值和B、D点的v值，最后代入式(7.1.3)即得O点的涡度：

y

uu

x

vv

CA

BD

o









(7.1.4)

图7.1.1计算物理量用的正方形网格(朱乾根等，2000)

2.地转风涡度

g

计算方法

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假若实测风与地转风相差很小，那么，便可用地转风代替实测风，

并可根据地转风公式直接从高度场(或气压场)求算相对涡度。用地转

风计算得到的相对涡度称地转风涡度，也有人也简称地转涡度。

地转风涡度

g

的几何意义是代表等压面凹凸的程度。

把等压面上的地转风公式



























x

H

f

v

y

H

f

u

g

g

8.9

8.9

(7.1.5)

代入式(7.1.2)中，略去地转参数f)sin2(的空间变化后，即可得

到地转风涡度

g

的表达式：

H

fy

H

x

H

fg

2

2

2

2

28.9

)(

8.9













(7.1.6)

上式中

H

为位势高度，H2为高度场的拉普拉斯。在实际业务中可用

图7.1.1所示网格进行计算，并把上式改写为差分形式：

)4(

8.9

8.9

2

2

ODCBA

COOABOOD

g

HHHHH

d

m

f

md

md

HH

md

HH

md

md

HH

md

HH

f











































(7.1.7)

式中m为地图投影放大系数。由上式可见，读取网格上A、B、C、D、

O五点的高度值，代入式(7.1.7)，便得O点的地转风涡度

g

。

§7.2散度的计算

(引自：朱乾根等《天气学原理与方法》(第3版)pp618～620)。

1.定义及表达式

散度是衡量速度场辐散、辐合强度的物理量，单位为1/s，辐散

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时为正，辐合时为负。

水平散度的表达式为：

y

v

x

u

D











(7.2.1)

水平散度D的大小是从同一水平面(或等压面，请读者牢牢记住这个

条件)上的实测风场计算求得的。

2.计算方法

把式(7.2.1)写成差分形式：

y

v

x

u

D











(7.2.2)

若用图7.1.1所示网格计算水平散度，变微分为差分，则上式就改写

为：

md

vv

md

uu

DCA

BD

22









)(

2CABD

vvuu

d

m

(7.2.3)

式中d为在天气图上所取网格点的距离。这样把图7.1.1中B、D点

的u值和A、C点的v值代入式(7.2.3)，便得O点的散度。

3.注意事项

当气象测站不在同一个海拔高度上时，地面图上散度的计算方

法，我们将在后面介绍。

关于对上面计算散度值的修正方法，将在§7.3介绍。

§7.3垂直速度的诊断

(引自：朱乾根等《天气学原理与方法》(第3版)pp620～635)。

大气垂直运动是天气分析和预报中必须经常考虑的一个重要物

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理量。

需要提请读者注意的是，这里说的垂直速度(或运动)，仅仅指大

尺度的。

垂直速度不是直接观测到的物理量，它是通过间接计算而得到

的。垂直速度的计算方法很多，下面只介绍O’Brie(1970)提出的运

动学法(积分连续方程法)。

1.计算原理

在),,(pyx坐标系中，连续方程可写为：

0

















py

v

x

u

(7.3.1)

或)(

y

v

x

u

p















(7.3.2)

将上式两端对

p

积分得：













p

p

pp

dp

y

v

x

u

0

0

)(

))((

0

pp

y

v

x

u













(7.3.3)

令)(

y

v

x

u

D











为

0

p和p两层等压面之间的平均散度，则式(7.3.3)可

改写成：

)(

00

ppD

p

(7.3.4)

式中

p

和

0

分别为p和

0

p高度处的垂直速度。单位为shPa；正值为

下沉运动，负值则为上升运动。若平均散度D在

0

p和p两层之间的变

化是线性的，即：

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)(

2

1

0

DDD，那么，在求得各层散度之后，根据式(7.3.4)便可自下

而上一层一层地算出各层的垂直速度来。

2.下边界条件

假定：(a)地面海拔高度很低，且是平坦的(读者要特别注意这个

假定)，(b)hPap1000

0

处，0，则各主要等压面上的垂直速度可

分别用式(7.3.4)推算出来。

3.必须对和D进行修正的原因

原则上，可以用这种方法计算出任意层次的。但在实际上，用

这种方法来计算高层的常常很不准确。原因是：(a)风在高层观测

的精确度较低；(b)误差随高度有积累。上述原因的详细解释是，在

作散度计算时，既有风的观测、分析方面的误差，又有计算中带来的

误差，这些误差都随高度升高而有积累，从而导致的计算值的精确

度随高度升高而不断下降。结果到了气柱的顶部，的值往往不能满

足0

上界

的边界条件，这就违背了“补偿原理”。因此必须对上述运

动学方法或“补偿作用”进行修正。

4.对D和的修正

根据实际资料的分析,

D

的修正量可以假定为气压的线性函数。

即(证明略)：

p

M

k

DD

TN

k

k

/)('(7.3.5)

式中

N

MNNkM

1

),1(

2

1

是一个只与总层数N有关的常数。

对

D

作了上述修正后，也应作相应的修正(证明略)。

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)(

2

)1(

'

TNkkM

kk







(7.3.6)

其中，Nk,,2,1，是层次序号。

N

为需要计算的总层数，

N

是未经

修正的最高层垂直速度(一般即100hPa处的

9

)，

N

是经过修正后的

最高层垂直速度。式(7.3.6)中的

N

是借用其它方法(例如绝热法等

方法)求出的。

实例分析表明，

N

一般都在3～shPa3105，最大可达20～

shPa31030。而由绝热法或其他方法求出的100hPa上的数值一般

很小(大约为0～shPa3105.0)，因此

T

较之

N

是很小的。这样，在

精度允许的情况下，为了计算的方便，可取

T



0。这样，式(7.3.5)

与(7.3.6)便可简化成下列形式：

pM

k

DDN

kk





'

(7.3.7)

NkkM

kk







2

)1(

'

(7.3.8)

5.w与的换算关系

在很多情况下，人们需将上面计算出的)(dtdp换算成

)(dtdzw。例如，在计算z-螺旋度wh

z

时以及绘制垂直剖面图上

的环流时就遇到上述情况。

垂直速度在),,,(tpyx坐标系里为)(dtdp，在),,,(tzyx坐标系里

为)(dtdzw，两者有以下的关系：

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z

p

wp

t

p

dt

dp











V

(7.3.9)

通常，式(7.3.9)的右边前两项之和很小，因此近似有：

z

p

w

dt

dp







~



(7.3.10)

代入静力学关系，则得：

gw

dt

dp



~

(7.3.11)

再代入状态方程，则得：

gw

TR

p

dt

dp

vd



~



(7.3.12)

式(7.3.12)即为与w的换算关系式。的单位多取sahP，w的单位

多取scm。

§7.4地转偏差与散度、垂直速度的关系

1.定义

地转风虽然可以作为实际风的近似，但一般情况下实际风和地转

风总是有差别的。为了量度实际风偏离地转风的程度，人们将实际风

与地转风的矢量差定义为地转偏差。令地转偏差用'V表示，则有：

g

VVV'

(7.4.1)

或

g

g

vvv

uuu





'

'

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(7.4.2)

2.计算方法

考虑到有关教科书中地转风的定义式后，可将式(7.4.2)改写为：

)

1

(

)

1

(

'

'

xf

vv

yf

uu

















(7.4.3)

将公式(7.4.3)变为差分形式，得：

)

1

(

)

1

(

'

'

xf

vv

yf

uu

















(7.4.4)

根据式(7.4.4)，可以计算出地转偏差矢量的两个分量'u与'v，进

而得到地转偏差矢量：

jviu



'''V(7.4.5)

3.地转偏差与水平散度、垂直速度的关系

将式(7.4.2)代入水平散度公式，得：

)()(''vv

y

uu

xy

v

x

u

D

gg



























y

v

x

u

y

v

x

u

gg

























''

(7.4.6)

若取f为常数，则有：

0)(

1

)(

1

































xyfyxfy

v

x

u

gg

(7.4.7)

将式(7.4.7)代入(7.4.6)，得：

y

v

x

u

y

v

x

u

D

























'

(7.4.8)

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式(7.4.8)表明，实际风的水平散度是由地转偏差决定的。由于垂直

运动与水平散度联系在一起，故可以认为垂直运动也与地转偏差有一

定联系。

4.地转偏差在动能制造转换中的作用

当有地转偏差时，若实际风偏向低压一侧，水平气压梯度力对空

气微团作功，其动能将增加；若实际风偏向高压一侧，空气微团反抗

水平气压梯度力作功，其动能将减小。因此，地转偏差对大气运动动

能的制造和转换起着重要作用。

5.地转偏差的大小

自由大气中地转偏差一般很小，地转偏差与地转风的比值平均为

20%左右。实际风偏离地转风的角度平均约为15°。地转偏差虽然很

小，但对大气运动的演变却起着极为重要的作用。有地转偏差时，空

气微团才可能作穿越等压线运动，从而引起质量重新分布，造成气压

场和风场的变化，所以地转偏差是天气系统演变的一个动力因子。

6.地转偏差与水平加速度的关系

可以证明(证明从略)，地转偏差和水平加速度方向相垂直，在北

半球指向水平加速度的左侧，如图7.4.1所示。地转偏差的大小和水

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平加速度成正比，和纬度的正弦成反比。

图7.4.1地转偏差与水平加速度关系