三角形三

之袁州冬雪创作

三角形的性质

1.三角形的任何双方的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的

任意双方的差一定小于第三边.

2.三角形内角和等于180度

3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合

一.

4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理.直

角三角形斜边的中线等于斜边的一半.

5.三角形共有六心：三角形的心坎、外心、重心、垂心、欧拉线心坎：

三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心.性质：到三边间隔相等.

外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心.性质：到三个顶点

间隔相等.重心：三条中线的交点.性质：三条中线的三等分点，到顶点

间隔为到对边中点间隔的2倍.垂心：三条高所在直线的交点.性质：此

点分每条高线的两部分乘积旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三

个角的内角平分线的交点性质：到三边的间隔相等.界心：颠末三角形一

顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点.性质：三角

形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条

直线交于一点.欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次

位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线.

6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另外一边的延长线所组成的

角）等于与其不相邻的内角之和.

7.一个三角形最少有2个锐角.

8.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这

个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线

9.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边.

10.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那末

a??+b??=c??那末这个三角形就一定是直角三角形.三角形的边角之间的

关系（1）三角形三内角和等于180°；（2）三角形的一个外角等于和它

不相邻的两个内角之和；（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相

邻的内角；（4）三角形双方之和大于第三边，双方之差小于第三边；（5）

在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.（6）三角形中的四条特

殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.（7）三角形的角平分线的交

点叫做三角形的心坎，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的间隔相等.

（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，

它到三个顶点的间隔相等.（9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重

心，它到每一个顶点的间隔等于它到对边中点的间隔的2倍.（10）三角

形的三条高的交点叫做三角形的垂心.（11）三角形的中位线平行于第三

边且等于第三边的1/2.注意：①三角形的心坎、重心都在三角形的外部

.②钝角三角形垂心、外心在三角形外部.

③直角三角形垂心、外心在三角形的边上.（直角三角形的垂心为直角

顶点，外心为斜边中点.）④锐角三角形垂心、外心在三角形外部.特殊

三角形

1.相似三角形（1）形状相同但大小分歧的两个三角形叫做相似三角形

（2）相似三角形性质相似三角形对应边成比例，对应角相等相似三角形

对应边的比叫做相似比相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相

似比的平方相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）相等（3）相似

三角形的断定【1】三边对应成比例则这两个三角形相似【2】双方对应

成比例及其夹角相等，则两三角形相似【3】两角对应相等则两三角形相

似

2.全等三角形（1）可以完全重合的两个三角形叫做全等三角形.（2）

全等三角形的性质.全等三角形对应角（边）相等.全等三角形的对应线

段（角平分线、中线、高）相等、周长相等、面积相等.（3）全等三角

形的断定

①SAS②ASA③AAS④SSS⑤HL(RT三角形)

3.等腰三角形等腰三角形的性质：（1）两底角相等；（2）顶角的角平

分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；等腰三角形的断定：（1）

等角对等边；（2）两底角相等；

4.等边三角形等边三角形的性质：（1）顶角的角平分线、底边上的中

线和底边上的高互相重合；（2）等边三角形的各角都相等，而且都等于

60°.等边三角形的断定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.三角形的面积公式

(1)S△=1/2*ah（a是三角形的底，h是底所对应的高）

(2)S△=1/2*ac*sinB＝1/2*bc*sinA＝1/2*ab*sinC（三个角为

∠A∠B∠C，对边分别为a,b,c，拜见三角函数）

(3)S△=√〔s*（s-a）*（s-b）*（s-c）〕【s=1/2(a+b+c)】

(4)S△=abc/（4R）【R是外接圆半径】

(5)S△=1/2*(a+b+c)*r【r是内切圆半径】

(6)|ab1|

S△=1/2*|cd1|

|ef1|【|ab1|

|cd1|为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内

A(a,b),B(c,d),C(e,f),这里ABC

|ef1|选区取最好按逆时针顺序从右上角开端取，因为这样取得出

的成果一般都为正值，如果不按这个规则取，可以会得到负值，但不妨，

只要取相对值便可以了，不会影响三角形面积的大小！】生活中的三角形

物品雨伞、帽子、彩旗、灯罩、风帆、小亭子、雪山、楼顶、切成三角

形的西瓜、火炬冰淇淋、热带鱼的边沿线、蝴蝶翅膀、火箭、竹笋、浮

图、金字塔、三角内裤、机器上用的三角铁、某些路标、长江三角洲、

斜拉桥等.三角形全等的条件注意:只有三个角相等无法推出两个三角形

全等（1）三边对应相等的两个三角形相等，简写为“SSS”.（2）两角

和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA”.（3）两角和

其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“AAS”.（4）双方

和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“SAS”.（5）斜边和

一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”.全等三角形

的性质全等三角形的对应角相等，对应边也相等.三角形中的线段中线：

顶点与对边中点的连线，平分三角形.高：顶点到对边垂足的连线.角平

分线：顶点到双方间隔相等的点所构成的直线.中位线：任意双方中点的

连线.三角形相关定理重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点

的间隔是它到对边中点间隔的2倍．上述交点叫做三角形的重心.外心定

理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心.垂心定

理三角形的三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心.心坎定理三角形的

三内角平分线交于一点．这点叫做三角形的心坎.旁心定理三角形一内角

平分线和别的两顶点处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁

心．三角形有三个旁心．三角形的重心、外心、垂心、心坎、旁心称为

三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．中位线定理三角形的中

位线平行于第三边且等于第三边的一半．三边关系定理三角形任意双方

之和大于第三边，任意双方之差小于第三边．勾股定理在Rt三角形ABC

中，A≤90度，则

AB·AB+AC·AC=BC·BCA〉90度，则

AB·AB+AC·AC>BC·BC梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理是由

古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.它指出：如果一条直线与△ABC的三

边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那末

(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1.证明：过点A作AG‖BC交DF的延长线

于G,则AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG.三式相乘得：

AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1它的逆定理也成立：若

有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且知足

(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线.操纵这个逆定理，

可以断定三点共线.塞瓦定理设O是△ABC内任意一点，

AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则BD/DC*CE/EA*AF/FB=1证法简

介（Ⅰ）本题可操纵梅涅劳斯定理证明：∵△ADC被直线BOE所截，∴

CB/BD*DO/OA*AE/EC=1①而由△ABD被直线COF所截，∴

BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②

②÷①:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1（Ⅱ）也可以操纵面积关系证明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S

△COD)=S△AOB/S△AOC③同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④

AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1操纵塞瓦定理证明三角形三条

高线必交于一点:设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦

定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）

/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/

[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点.