十字相乘法例题

1

十字相乘法⑴

拆分常数项，验证一次项

教学目标：

1、了解十字相乘法的概念，掌握用十字相乘法把二次项系数为1的二次三项式

分解因式；

2、经历由旧知发现新知的过程，体验数学研究的方法；

3、培养学生善于思考、勤于联想的好习惯，增强学生学习数学的热情与学好数

学的信心。

教学重点、难点：

重点：用十字相乘法将二次三项式分解因式；

难点：十字相乘法分解因式当中的符号问题。

课堂教学过程设计：

引入方式是由分解因式这个学生熟悉的问题入手，而后改变常数

项引出新问题：如何分解因式。这样的处理抓住了学生的注意力，也

激发了学生探究新问题的欲望。在评课时，有位老师提出了这样的引入方案。

计算：分解因式：=

=

=

=

一、复习引入

练习：分解因式

①②③

现将第③小题这个多项式中的常数项4改为3，你能将这个新的二次三项式分解

因式吗？

二、讲授新课

1、由公式得到：

2

用这样的方法试一试分解因式

为了将以上的分解过程呈现的更加清晰，我们可以运用这样的小工具

分解为2分解为

-1

-2

∴

这种分解因式的方法我们称为十字相乘法。（指导学生阅读课本第50页）

1、例题1.分解因式①②

练习：分解因式①②

例题2.分解因式①②

练习：分解因式①②

※教师总结做法：①如果常数项是正数，那么它分解成两个同正或同负的因数；如果常数项是负

数，那么它分解成两个异号的因数。

②检验常数项分解成的两数因数之和是否是一次项系数

2、练习：分解因式

4、反馈练习：分解因式

3

①②③④

（1）（2）

（3）（4）

(1)x2－7x+12；(2)x2－4x－12；(3)x2+8x+12；

(4)x2－11x－12；(5)x2+13x+12；(6)x2－x－12；

三、小结

本节课中你都有哪些收获？

①学会用十字相乘法将二次三项式分解因式；

②掌握用十字相乘法将二次三项式分解因式的步骤；

③知道用十字相乘法将二次三项式分解因式的关键是要注意符号。

四、布置作业

1、练习册32页第3题（作业本），第4题（选作）

2、步步高60页-62页1-18（书上）

五、拓展练习

请将下列多项式因式分解：

①

②

③

例5、因式分解。

分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。

因为

-25（x+2）+[-4(x+2)]=-29（x+2）

解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2]

=（2x-1）（5x+8）

例6、因式分解。

分析：该题可以先将（）看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次

十字相乘。

4

因为

-2

+[-12]=-14a+(-2a)=-a3a+（-4a）=-a

解：原式=[-2][-12]

=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)

从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定

要熟练掌握。但要注意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如在实

数范围内就不能再进一步因式分解了

十字相乘法2

教学目标

1．使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解；

2．进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。

教学重点和难点

重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。

难点：灵活运用十字相乘法因分解式。

教学过程设计

一、导入新课

前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的

特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。

因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).

课前练习：下列各式因式分解

1．-x2+2x+152．（x+y）2-8（x+y）+48；

3．x4-7x2+18；4．x2-5xy+6y2。

答：1．-（x+3）（x-5）；2．（x+y-12）（x+y+4）；

3．（x+3）（x-3）（x2+2）；4．（x-2y）（x-3y）。

我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的

方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。

对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把

某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。

5

二、新课

例1把2x2-7x+3因式分解。

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分

别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。

分解二次项系数（只取正因数）：

2=1×2=2×1；

分解常数项：

3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

11131-11-3

2×32×12×-32×-1

1×3+2×1

1×1+2×31×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3）

=5=7=-5=-7

经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数

-7。

解2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。

一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之

积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：

a1c1

a2×c2

a1c2+a2c1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数

b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即

ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。

像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常

叫做十字相乘法。

例2把6x2-7x-5分解因式。

分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不

同的排列方法，其中的一种

21

3×-5

2×（-5）+3×1=-7

是正确的，因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。

解6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。

指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项

式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。

对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何

把常数项分解因数。例如把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是

1-3

1×5

1×5+1×（-3）=2

6

所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。

例3把5x2+6xy-8y2分解因式。

分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项

及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即

12

5×-4

1×（-4）+5×2=6

解5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）。

指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。

例4把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。

分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先化简，进行多项式

的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。

问：两个乘积的式子有什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？

答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2（x-y），它是第一个因式的二

倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三

项式，就可以用址字相乘法分解因式了。

解（x-y）（2x-2y-3）-2

=（x-y）［2（x-y）-3］-21-2

=2（x-y）2-3（x-y）-22×+1

=［（x-y）-2］［2（x-y）+1］1×1+2×（-2）

=-3

=（x-y-2）（2x-2y+1）。

指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方

法。

三、课堂练习

1．用十字相乘法因式分解：

（1）2x2-5x-12；（2）3x2-5x-2；（3）6x2-13x+5；

（4）7x2-19x-6；（5）12x2-13x+3；（6）4x2+24x+27。

2．把下列各式因式分解：

（1）6x2-13x+6y2；（2）8x2y2+6xy-35；

（3）18x2-21xy+5y2；（4）2（a+b）2+（a+b）（a-b）-6（a-b）2。

答案：1．（1）（x-4）（2x+3）；（2）（x-2）（3x+1）；

（3）（2x-1）（3x-5）；（4）（x-3）（7x+2）；

（5）（3x-1）（4x-3）；（6）（2x+3）（2x+9）。

2．（1）（2x-3y）（3x-2y）；（2）（2xy+5）（4xy-7）；

（3）（3x-y）（6x-5y）；（4）（3a-b）（5b-a）。

四、小结

1．用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：

（1）正确的十字相乘必须满足以下条件：

a1c1

7

在式子中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜

a2c2

向的两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b，分解思路为“看两端，凑中间。”

（2）由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，

a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的

一次项的系数，c2是常数项。

（3）二次项系数a一般都把它看作是正数（如果是负数，则应提出负号，利用恒等变

形把它转化为正数），只需把经分解在两个正的因数。

2．形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式。

3．凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相

乘法分解因式，如例4。

五、作业

1．用十字相乘法分解因式：

（1）2x2+3x+1；（2）2y2+y-6；（3）6x2-13x+6；（4）3a2-7a-6；

（5）6x2-11xy+3y2；（6）4m2+8mn+3n2；（7）10x2-21xy+2y2；

（8）8m2-22mn+15n2。

2．把下列各式分解因式：

（1）4n2+4n-15；（2）6a2+a-35；（3）5x2-8x-13；

（4）4x2+15x+9；（5）15x2+x-2；（6）6y2+19y+10；

（7）20-9y-20y2；（8）7（x-1）2+4（x-1）（y+2）-20（y+2）2。

答案：

1．（1）（2x+1）（x+1）；（2）（y+2）（2y-3）；

（3）（2x-3）（3x-2）；（4）（a-3）（3a+2）；

（5）（2x-3y）（3x-y）；（6）（2m+n）（2m+3n）；

（7）（x-2y）（10x-y）；（8）（2m-3n）（4m-5n）。

2．（1）（2n-3）（2n+5）；（2）（2a+5）（3a-7）；

（3）（x+1）（5x-13）；（4）（x+3）（4x+3）；

（5）（3x-1）（5x+2）；（6）（2y+5）（3y+2）；

（7）-（4y+5）（5y-4）；（8）（x+2y+3）（7x-10y-27）。

补充练习

5、223xx（2）2257xx（3）2321aa（4）23145bb

6．分解因式：

（1）x2__________187x（2）x2_____________82x

（3）x2___________20x（4）x2___________365x

（5）x2__________149x

8

7．填空：

（1）x2__________2410x（2）x2________1213x

（3）x2__________242x（4）x2__________183x

8．分解因式：

（1）a2__________158a（2）m2__________1610m

（3）p2_________283p（4）y2_________124y

9．把下列各式分解因式：

（1）8624xx=862

2

2xx=4222xx

（2）28324xx（3）18724xx（4）15824xx

10．把下列各式分解因式：

（1）342baba=31baba=31baba

（2）302nmnm（3）4032yxyx

（4）2222yxyx

11．分解因式：

（1）22223yxyx（2）221811yxyx（3）22127yxyx

（4）22152baba（5）22124nmnm

12．分解因式：

（1）234283xxx=28322xxx=742xxx

（2）2341615tttM（3）2234acabcab4）xyyxyx8623

（5）222265yxyyx

（2）2x231235xxx（3）35123102xxxx