同一天生日

遇到和你同⼀天⽣⽇的⼈概率有多⼤？

听到有⼈与你同⼀天⽣⽇，你是否会直呼“好巧”，甚⾄不⾃觉地对TA产⽣⼀种亲近感。难道是天意，让你们有缘出⽣在

同⼀天，并且在茫茫⼈海中相遇吗？

经过科学的计算，不得不说这样的想法未免太过感性。毕竟，两个⼈在同⼀天出⽣的概率可能⽐你想象的要⼤很多。

⼀个班级中，出现相同⽣⽇的

概率有多⼤？

假设某⼩学某个班级有学⽣40⼈，其中出现相同⽣⽇（同⽉同⽇）的概率有多⼤？

这其实是⼀个排列组合的问题。⾸先，假定同⽇出⽣的情况确实存在，那么可能的组合除了最简单的⼀种——两个⼈出

⽣在同⼀天，还会有很多种。不同⽇期都存在⽣⽇相同的情况，⽐如两个⼈出⽣在3⽉14⽇，两个⼈出⽣在4⽉13⽇。

可能同⼀天出⽣的⼈不⽌两个，例如3⽉14⽇出⽣的⼈有三个。

这样考虑起来的话，还可能出现三个⼈出⽣在某⼀天，四个⼈出⽣在另外⼀天之类的复杂情况。如果想要列举每个可能

的组合，再把概率相加，事实上⼏乎是不可能完成的任务。

不过，假如从反⾯进⾏思考，这个问题就会变得简单很多。

同⼀个班级有重复⽣⽇和没有重复⽣⽇这两个事件发⽣的概率相加为1，只要计算出没有出现⽣⽇重复的概率，再⽤1减

去这⼀概率就是我们想要的结论。

如此⼀来，我们可以将问题简化成⼀个40⼈的⼩学班级中没有任何两个（或者更多）⼈出⽣在同⼀天的概率。

为了便利，我们假定先把所有⼈请到教室外⾯，然后再挨个把同学们叫回来，并在这⼀过程中计算新加⼊同学和之前同

学的⽣⽇都不相同的概率。

假设第⼀位进教室的同学⽣⽇是3⽉14⽇，我们请第⼆位同学进场，为了满⾜题⽬的要求，第⼆位同学的⽣⽇可以是

365天中除了3⽉14⽇的的任何⼀天，与第⼀位同学⽣⽇不相同的概率是364/365。（这⾥我们做了两个假定，第⼀是不

考虑闰年的情况，第⼆是全年每天的出⽣率应该均等。）

请第三位同学⼊场，他的⽣⽇不能和之前两位同学⼀样，那么现在概率就变成了（364/365）×（363/365），第⼀个括

号是前两位同学⽣⽇不相同的概率，第⼆个括号是第三位和前两位⽣⽇不同的概率，相乘的结果就是三⼈⽣⽇都不同的

概率。四个⼈⽣⽇不同的概率就是（364/365）×（363/365）×（362/365）……

以此类推，⼀直计算到第40个⼈，再⽤1来减去算出的概率，就是我们想知道的问题答案，也就是40个⼈中出现⽣⽇重

复事件的概率。

最后得到的结果是89.1%。是不是⽐预想的要⼤？

如果⼈数继续增加，这个概率还会急剧上升，50个⼈班级的这⼀概率是97.0%，60个⼈则达到99.4%，70个⼈已经是

99.9%。换句话说，70个⼈的班级内没有任何⽣⽇相同情况出现的概率⼩于千分之⼀。

⼩贴⼠：实际过程中我们⽆需傻傻地计算三四⼗次，计算机软件（简单的电⼦表格即可）能帮助我们完成这种重复繁琐

的任务。

有⼀个⾮常经典的数学“悖论”叫做“⽣⽇问题”：在⼀个房间最少要多少⼈，可以让其中两个⼈⽣⽇相同的概率⼤于

50%？

50%？

根据上⾯的计算⽅法，我们可以很容易地得到答案，23个⼈，相信这⼀数字⽐⼤多⼈的直觉预估都要少。虽然称为“悖

论”，但从引起逻辑⽭盾的⾓度来说⽣⽇问题并不是悖论，它被称作悖论只是因为这个数学事实与⼀般直觉相抵触⽽

已。毕竟⼤多数⼈会认为，23⼈中有2⼈⽣⽇相同的概率应该远远⼩于50%。

遇到和⾃⼰同⼀天⽣⽇的⼈

概率有多⼤？

说到这⾥，你可能会有⼀个疑惑：既然上⾯算出的概率都⼤得出乎意料，那为什么⾃⼰从⼩到⼤都没在班级中遇到和⾃

⼰同天出⽣的⼈？

其实，如果你⾜够聪明，应该会意识到这是另外的⼀个命题——⼀个40⼈的班级中，出现和⾃⼰同天⽣⽇⼈的概率是

多少？

我们还是⽤逐⼀请同学们进教室的思考⽅式解答问题。先计算40⼈班级中没有任何⼀个⼈跟⾃⼰⽣⽇相同的概率，再

⽤1减去这个值，就是我们需要的结果。

⾸先“我”进⼊教室，第⼆个进⼊教室的同学⽣⽇和“我”不同的概率是364/365，第⼆、第三个同学⽣⽇和“我”都不同的概

率是（364/365）×（364/365），进⼊第四个同学时的答案是（364/365）×（364/365）×（364/365）……

以此类推，当进⼊第n个同学的时，概率是（364/365）的n-1次⽅。最后，我们再⽤1减去上⾯的结果，就是n个⼈的班

级中，出现和⾃⼰同天⽣⽇⼈的概率。计算结果如下：4个⼈的班级（0.8%）、23个⼈的班级（5.8%）、40个⼈的班

级（10.1%）……

结果来看⽐上⼀个问题更加符合我们的普遍认知。所以40个⼈的班级中，出现和⾃⼰⽣⽇相同同学的概率是10.1%。

我们每个⼈从⼩到⼤都会加⼊很多班级，从以上的计算结果来看，假如从⼩到⼤任何⼀个班级中都没有⽣⽇相同的⼈，

那才是真正的奇迹！我们以⼩学每个班60⼈，初中每个班70⼈，⾼中每个班50⼈，⼤学每个班30⼈进⾏计算，结果是

⼩于⼀千万分之五，概率上来说已经到了彩票⼤奖的级别。

所以，⼀群⼈中出现⽣⽇相同的概率就已经⽐很多⼈的预想要⼤的多，更不⽤说全球⼏⼗亿⼈了。

当然，由于实际上每天的出⽣率并没有显著差别，全球70亿⼈中，某个⽇期（注意是⽇期不是具体的年份加⽇期，如3

⽉14⽇，⽽⾮1985年3⽉14⽇）对应的⼈⼝总数⼤约是2000万。如果再考虑历史上已经死去的⼈，那某天出⽣的⼈必

然都是天⽂数字，其中的任何⼀天都有⽆数的名⼈出⽣或者故去。

这么说来，虽然我们希望每⼀天都是美好、特别、神奇的⽇⼦，不过其实每⼀天都平凡⽽普通，任何⼀天都算不上

是“奇迹之⽇”。

出品：科普中国

制作：李瑞（⼤阪⼤学）

监制：中国科学院计算机⽹络信息中⼼

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