余弦定理公式推导

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1.1.2余弦定理(1)

一、教学内容分析

《余弦定理》第一课时。通过利用平面几何法,坐标法(两点的距离公式),

向量的模,正弦定理等方法推导余弦定理，正确理解余弦定理的结构特征，初步

体会余弦定理解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，理解余弦定理是勾

股定理的特例,从多视角思考问题和发现问题，形成良好的思维品质,激发学生

学习数学的积极性和浓厚的兴趣，培养学生思维的广阔性。

二、学生学习情况分析

本课之前，学生已经学习了两点间的距离公式,三角函数、向量基本知识和

正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础

上利用多种方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。

三、教学目标

继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表

现形式，体会多种方法特别是向量方法推导余弦定理的思想；通过例题运用余

弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；理解余弦定理是勾股定理

的特例，理解余弦定理的本质。

四、教学重点与难点

教学重点：余弦定理的证明过程特别是向量法与坐标法及定理的应用；

教学难点：用正弦定理推导余弦定理的方法

五、教学过程：

1.知识回顾

正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

正弦定理可以解什么类型的三角形问题？

(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角(AAS,ASA)；

(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的一边和另外两角(SSA)。

2.提出问题

已知三角形两边及其夹角如何求第三边？

(SAS问题)

在三角形ABC中,已知边a,b,夹角C,求边c

C

c

B

b

A

a

sinsinsin



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3.解决问题

通过预习由学生给出自己的证明方法。

学生甲：利用和正弦定理证明相似的方法

法一：平面几何法（作高法）

学生乙：由于涉及边长问题，可考虑求两点的距离。利用坐标法来推导余弦定

理：

法二：坐标法

解:以C为原点,BC为x轴建立直角坐标系

学生丙：由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。利用向量

法推导余弦定理：

法三：向量法

解：

C

B

A

c

a

b

A

222

222

:

sin,cos

cos

,

(sin)(cos)

2cos

AADBCBCD

ADbCCDbC

BDBCCDabC

ABC

cbCabC

cababC











解过点作交于点

在直角三角形中由勾股定理得

C

B

A

c

a

b

A

D

C

B(a,0)

A(bcosC,bsinC)

c

a

b

A

y

x

22(cos)(sin0)bCabC

22222cos2cossincbCabCabC

2222coscababC

c

C

B

A

c

a

b

A

,,CAbCBaABc令

cab由三角形法则有

2

2||()ccab

22

2

222

||2

2cos

cabab

cababC





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教师：由于我们才学习了正弦定理，那么用正弦定理可以证明余弦定理吗？

法四：

法五：

法六：

4.归纳概括余弦定理：Abccbacos2222

Baccabcos2222作用：SAS问题

Cabbaccos2222

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦

的积的两倍。

推论：

5．余弦定理的简单应用

例1：.在三角形ABC中,已知b=8,c=3,A=60

0

sinsin

ac

AC

 由得

sinsin(1)cAaC

sinsin(2)BbC同理c

()(2)BCAB利用代入消去角得

coscos(3)cAbaC

22(1)A利用+(3)消去即得证

222:2coscababC求证

222:(2sin)(2sin)8sinsincosRARBRABC证明右边

()CAB

224sin()RAB右边

2sincRC利用证明

()CAB由得

2222224(sincoscossin2sincossincos)cRABABAABB

2222cos1sin,cos1sinAABB把代入得

2222coscababC

222

cos

2

abc

C

ab





222

cos

2

acb

B

ac





222

cos

2

bca

A

bc





作用：SSS（已知三边求三个夹角）

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（1）求a;

(2)求三角形中最大角的余弦值;

(3)判断三角形的形状.(用锐角,钝角,直角三角形回答)

6．余弦定理与勾股定理的关系：

余弦定理是一般三角形中边与角的平方关系，引导学生联想到勾股定理。

余弦定理勾股定理

例2：用>,<,=填空

勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三

角形中三边平方之间的关系。由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理

是余弦定理的特例

7.课堂小结

c

2

=a

2

+b

2

－2abcosC

222

222

:(1)2cos

83283cos6049

7

abcbcA

a

a







解由得

222

(2)

499641

22737

bac

acb

ac









由得角B最大

cosB=

(3)cos0

90

.

B

B

ABC





所以为钝角三角形

2222coscababC222cab

有关系吗?

22,,ABCCab(1)在中当为锐角时

2c

22,,ABCCab(2)在中当为直角时

22,,ABCCab(3)在中当为钝角时

2c

2c





22222

:

(1)090,cos0

2cos

CC

cababCab





例2.解

当时

22222

(2)90,cos0

2cos

CC

cababCab





当时

22222

(3)90180,cos0

2cos

CC

cababCab





当时

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一、余弦定理是任意三角形边和角之间的规律，勾股定理是它的特殊形式。

二、

余弦定理可解决两类问题：

（1）已知两边和它们的夹角，求第三边（SAS）；

（2）已知三边，求三个角（SSS）。

12.课后作业

P10习题A组3题,4题