沛县汉城

沛县汉城国际学校高二数学组导学单时间：11月20日备课人：张允力审核人：封心杰

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2．2.1椭圆的标准方程(第一课时)

【学习要求】

1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的

过程、椭圆标准方程的推导与化简过程．

2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．

【学法指导】

通过椭圆标准方程的推导过程，培养分析探索能力，熟练

掌握解决解析几何问题的方法——坐标法．通过对椭圆问

题的探究，掌握数形结合、转化等数学思想.

重点难点

重点：椭圆的定义及其标准方程、标准方程的推导．

难点：椭圆定义核心的发现，标准方程的化简及建系不同

的速写方程．

课前

预习

椭圆

的标

准方

程

学生活动

在生活中，我们对椭圆并不陌生．油罐汽车的贮油罐横

截面的外轮廓线、天体中一些行星和卫星运行的轨道都

是椭圆；灯光斜照在圆形桌面上，地面上形成的影子也

是椭圆形的．在学习中，椭圆其实比圆更加让我们熟知，

无论是数学中的0，还是字母中的O，我们都能看到椭圆

的踪影．那么它们究竟是不是椭圆？它们有什么性质？

借助椭圆的方程，我们就可以回答这个问题．

活动一椭圆的标准方程

问题1观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系

才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．

问题2建系时如果焦点在y轴上会得到何种形式

的椭圆方程？怎样判定给定的椭圆焦点在哪个

坐标轴上？

问题3椭圆方程中的a、b以及参数c有什么意义，

它们满足什么关系？

例1已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭

圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个

焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程．

焦点在x轴上焦点在y轴上

标准方程

焦点

a、b、c的关系

沛县汉城国际学校高二数学组导学单时间：11月20日备课人：张允力审核人：封心杰

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小结(1)求椭圆的方程，可以利用定义求出参数a，b，c

其中的两个量；也可以用待定系数法构造三者之间的关

系．但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归

纳为“先定位，后定量”．

(2)当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1

(m>0，n>0)．因为它包括焦点在x轴上(m

上(m>n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简

化运算的目的．

跟踪训练1(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是

(－2,0)，(2,0)，并且经过点









5

2

，－

3

2

，求它的标

准方程；(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆

的标准方程．

活动二椭圆两种标准方程的结构特点

问题椭圆标准方程有何特点？怎样由椭圆标准

方程看焦点位置？

例2已知方程

x2

k－4

－

y2

k－10

＝1表示焦点在x轴上

的椭圆，则实数k的取值范围为__________．

小结(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式．

(2)

x2

m

＋

y2

n

＝1表示椭圆的条件是





m>0，

n>0，

m≠n；

表示焦点在x

轴上的椭圆的条件是





m>0，

n>0，

m>n；

表示焦点在y轴上的椭圆

的条件是









m>0，

n>0，

n>m.

跟踪训练2若方程

x2

m

－

y2

m2－2

＝1表示焦点在y上

的椭圆，那么实数m的取值范围是

____________．

活动三椭圆的定义及标准方程的应用

例3已知椭圆的方程为

x2

4

＋

y2

3

＝1，椭圆上有一点

P满足∠PF

1

F

2

＝90°(如图)．求△PF

1

F

2

的面积．

跟踪训练3已知椭圆

x2

49

＋

y2

24

＝1

上一点P与椭圆两焦点F

1

、F

2

的连线夹角为直

角，则PF

1

·PF

2

＝________.

课堂反馈

1．椭圆

x2

25

＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，

则点P到另一个焦点的距离为________．

2．若方程

x2

25－m

＋

y2

m＋9

＝1表示焦点在y轴上的椭

圆，则实数m的取值范围是____________．

3．椭圆

x2

16

＋

y2

32

＝1的焦距为________．

沛县汉城国际学校高二数学组导学单时间：11月20日备课人：张允力审核人：封心杰

3

4．已知椭圆经过点(3，0)且与椭圆

x2

4

＋

y2

9

＝1的焦

点相同，则这个椭圆的标准方程为

____________．

课堂小结

1．平面内到两定点F

1

，F

2

的距离之和为常数，即MF

1

＋

MF

2

＝2a，当2a>F

1

F

2

时，轨迹是椭圆；当2a＝F

1

F

2

时，

轨迹是一条线段F

1

F

2

；当2a

1

F

2

时，轨迹不存在．

2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待

定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．

3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，

可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情

况求解；也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，

避免了分类讨论而达到了简化运算的目的．

自我检测

1．设F

1

，F

2

为定点，F

1

F

2

＝6，动点M满足MF

1

＋MF

2

＝6，则动点M的轨迹是________．

2．设F

1

，F

2

是椭圆

x2

25

＋

y2

9

＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF

1

F

2

的周长为________．

3．“1

x2

m－1

＋

y2

3－m

＝1表示椭圆”的______________条件．

4．已知F

1

，F

2

是椭圆

x2

24

＋

y2

49

＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF

1

∶PF

2

＝4∶3，则三角形PF

1

F

2

的面积等于________．

5．焦点在坐标轴上，且a2＝13，c2＝12的椭圆的标准方程为________________．

6．方程

x2

2m

－

y2

m－1

＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________．

7.已知如图椭圆两焦点为F

1

、F

2

，且方程为

4

9

x2＋y2＝1，过F

1

作直线交椭圆

于A、B两点，则△ABF

2

的周长为______．

8．求经过两点P

1







1

3

，

1

3

，P

2







0，－

1

2

的椭圆的标准方程．

9．已知两椭圆ax2＋y2＝8与9x2＋25y2＝100的焦距相等，则a的值为________．

沛县汉城国际学校高二数学组导学单时间：11月20日备课人：张允力审核人：封心杰

4

10．已知椭圆

x2

25

＋

y2

9

＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，

那么线段ON的长是________．

11．已知椭圆

y2

a2＋

x2

b2＝1(a>b>0)的焦点分别是F

1

(0，－1)，F

2

(0,1)，且3a2＝4b2.

(1)求椭圆的方程；

(2)设点P在这个椭圆上，且PF

1

－PF

2

＝1，求∠F

1

PF

2

的余弦值．

12.如图，已知椭圆的方程为

x2

4

＋

y2

3

＝1，P点是椭圆上的一点，且∠F

1

PF

2

＝60°，求△PF

1

F

2

的面积．

13．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝

2

2

，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持

PA＋PB的值不变，求曲线E的方程．