圆锥的体积

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〔圆锥体积公式〕

*篇一：圆锥体体积公式的证明

圆锥体体积公式的证明

证明需要几个步骤来解决：

1)圆柱体的微分单元是三棱柱,而圆锥体的微分单元是

三棱锥。

所以,只要证明三棱锥的体积，是等底等高的三棱柱的

体积的1/3，即可知题目所求正确。

2）如图，一个三棱柱可以切分成三个三棱锥：

(上图中,第二个“等底等高”的“高”是横着的，而“底”

是竖着的。)

现在需要证明，这三个三棱锥，体积都是相等的，也就

是各自的体积都是图中三棱柱的体积的1/3.

证明需要的命题是：底面全等，且高度相等的三棱锥，

体积必然相同。

3）如图，底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然

相同。这个命题的证明，需要基本的一个原理：祖暅原理。

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注释：祖暅原理

祖暅原理也就是“等积原理”。它是由我国南北朝杰出

的数学家、祖冲之(429-500)的儿子祖暅(gèng)首先提出来

的。

祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，

被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截

面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里

（Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续

不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为

“卡瓦列里原理”。其实，他的发现要比我国的祖暅晚1100

多年。

祖暅原理的思想

我们都知道“点动成线，线动成面，面动成体”这句话，

直线由点构成，点的多少表示直线的长短；面由线构成，也

就是由点构成，点的多少表示面积的大小；几何体由面构成，

就是由线构成，最终也就是由点构成，点的多少也表示了体

积的大小，要想让两个几何体的体积相等，也就是让构成这

两个几何体的点的数量相同，祖暅原理就运用到了它。

两个几何体夹在两平行平面中间，可以理解为这两个几

何体平行面间的的高度相等。两平行面之间的距离一定，若

视距离为一条线段，那么这个距离上就有无数个点，过一个

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点，可以画出一个平行于两平行面的截面，若两几何体在被

过每一点的平行截面截出的截面面积两两相等，则说明两几

何体在同一高度下的每两个截面上的点的数量相同。有无数

个截面，同一高度每两个几何体的截面上的点的数量相同，

则说明，这两个几何体所拥有的点数量相同，那么也就是说，

它们的体积相同。所以我们可以用这种思想来理解祖暅原理。

这个原理说：如果两个高度相等的立体，在任何同样高

度下的截面面积都相等，那么，这两个立体的体积就相等。

所以，下图可证明：若两三棱锥的底面（三角形）全等，

高度相等，那么它们在任何高度上的截面（三角形）也必然

全等。于是可以根据祖暅原理断言：

等底等高的三棱锥，体积都相等：

三棱柱的体积，与立方体的体积一样，是底面积乘以高，

（三棱柱可来自于半个立方体）：

知道有关三角形的相似、比例、全等的一些定理，就可

深入完成题目的证明。

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下面这个图,说明了一个直接的、有趣的推论：

注意上面这个图，在推算球体的体积的时候，还可以用

到。

下面再给几个有趣的推论，直到求出球体的体积和表面

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积公式:

*篇二：圆台体积计算公式

圆台体积计算公式：

1、V=∏×h×(R2﹢R×r﹢r2)/3

V:体积∏：3.14h：圆台高度R：圆台大面半径R：圆台

小面半径

2、V=∏×h×(D2﹢d2﹢D×d)/12

V:体积∏：3.14h：圆台高度D：圆台大面直径D：圆台

小面直径

圆柱体积计算公式：

1、V=∏×D2×h/4D：圆台直径h：圆台高度∏：3.14

2、V=∏×R2×hR：圆台半径h：圆台高度∏：3.14

*篇三：圆柱、圆锥常用的表面积、体积公式

圆柱与圆锥

例题精讲

板块一圆柱与圆锥

【例1】如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、

1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的

表面积是多少平方米？(π取3.14

)

0.51

1111.5

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【例2】有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是

6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直

径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接

触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？

【例3】(第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，

放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那

么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π

表示)

【例4】如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影

部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这

个油桶的容积．(π?

3.14)

【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及

一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体

的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是

多少平方厘米？(π?3.14)

【例5】把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去

2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表

面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少

立方厘米？

【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4

厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的