两点的距离公式

8.1两点间的距离公式及中点公式(教学设计)

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【课题】8．1两点间的距离公式及中点公式

【教材说明】

本人所用教材为江苏教育出版社，凤凰职教《数学·第二册》。平面解析是用代数方法

研究平面几何问题的学科，第八章《直线与圆的方程》属于平面解析几何学的基础知识。它

侧重于数形结合的方法和形象思维的特征，综合了平面几何、代数、三角等知识。

【学情分析】

学生是一年级数控中专班，上课不能长时间集中注意力，计算能力不强，对抽象的知

识理解能力不强，但是对直观的事物能够理解，对新事物也有较强的接受能力。

【教学目标】

知识目标：

1.了解平面直角坐标系中的距离公式和中点公式的推导过程．

2.掌握两点间的距离公式与中点坐标公式．

能力目标：

用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力．

情感目标：

通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生的思考能力，学会从已有知识出发

主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度．

【教学重点】

两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用．

【教学难点】

两点间的距离公式的理解．

【教学备品】

三角板．

【教学方法】

讨论合作法

【课时安排】

2课时．(90分钟)

【教学设计】

针对学生的情况，本人在教学中的引入尽量安排多个实例，多讲具体的东西，少说抽象

的东西，以激发学生的学习兴趣。在例题和练习的安排上多画图，努力贯彻数形结合的思想，

让学生逐步接受和养成画图的习惯，用图形来解决问题。这也恰恰和学生本身的专业比较符

合，学生学过机械制图，数控需要编程，编程又需要对一些曲线方程有充分的了解。同时在

教学中经常用分组讨论法，探究发现法，逐步培养学生的协作能力和独立思考的能力。

两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式

8.1两点间的距离公式及中点公式(教学设计)

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给出这两个公式．讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解，但讲解的重点

应放在公式的应用上．

【教学过程】

环节教学内容师生互动设计意图

复习

回顾

第一课时

1.向量的坐标表示。

2.向量的模的计算。|a



|=22yx

3.平面直角坐标系中，设

111

(,)Pxy，

222

(,)Pxy，则

122121

(,)PPxxyy．

教师提出问题

学生思考回忆为公式的推

导做铺垫

探究

引入

1.两点间距离公式

探究一

大海中有两个小岛，一个

在灯塔东60海里偏北80海里

1

P点处，另一个在灯塔西10

海里偏北55海里

2

P点处，那

么如何确定这两岛之间的距

离呢？

师提问：我们能不能

用已经学过的向量的知识

来解决这个问题。

提出问

题，激发学生

的学习兴趣．

新

课

一般地，设点

111

(,)Pxy，

222

(,)Pxy为直接坐标平

面上的任意两点，我们将向量

12

PP的模，叫做点

1

P、

2

P

之间的距离，记作

12

PP，则

2

12

2

1221

)()(||yyxxPP

这就是平面上任意两点间的距离公式。

例1：已知两点M(8,10)N(12,22)，求线段MN的

长度。

解:根据平面内两点间的距离公式，得

|MN|=104124)1022()812(2222，

师提示：建立适当的

直角坐标系

1.坐标表示两个小岛

的位置。

2.

12

PP如何表示，

是多少？

3.两个小岛的距离能

不能用

12

PP的模表示。

教师在学生探究的基

础上，投影距离公式，并

让学生记忆．

教师引导学生探究依

据公式求两点间的距

离．强调点坐标的对应。

将探究

问题细化为3

个小问题，层

层递进，降低

了问题的难

度，从而有利

于学生解答．

在探究

过程中，进一

步深化对公

式的理解与

掌握．

通过例

题的解答，使

学生明确两

点间距离公

式的直接应

2

P

1

P

灯塔

8.1两点间的距离公式及中点公式(教学设计)

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新

课

即线段MN的长度为4

10

.

练习一

求两点之间的距离：

（1）A(6，2)，B(－2，5)；

（2）C(2，－4)，D(7，2)．

例2：已知三角形的顶点分别为)6,2(A，)3,4(B，

)0,1(C，求ABC三条边的长度。

练习二

求证：以点)8,6(A，)8,6(B，)6,8(C为顶点的三

角形是等腰三角形。

例3(补充)：已知点A(10,a)，B(4,-2).|AB|=10,求a.

练习

在y轴上有一点P，它有点)6,4(Q的距离是5，

求点P的坐标。

第二课时

2.中点坐标公式

探究二

如图所示，若已知线段P

1

P

2

两个端点的坐标为

111

(,)Pxy，

222

(,)Pxy，设线段P

1

P

2

的中点为P(x,y),那

能不能用P

1

，P

2

的坐标来表示P点的坐标。

有PP

1

=),(

11

yyxx，

2

PP=),(

22

yyxx。

因为PP

1

=

2

PP，所以











yyyy

xxxx

21

21

，

学生练习，教师巡视

指导．

教师引导学生先画

图，直观理解，后使用公

式计算。

三边长度关系转化两

点间的距离。

公式的进一步运用

教师提出要探究的问

题，学生解答以下问题：

（1）向量PP

1

和向量

2

PP方向是否相同？

（2）向量PP

1

和向量

2

PP的模的大小关系如

何？

（3）向量PP

1

和向量

2

PP是相等向量吗？

用．

检验学

生对公式掌

握情况．

画图帮助

学生养成数

形结合的思

考习惯。

数形结

合，计算适当

的边。

培养学

生的逆向思

维。

将问题

细化为3问，

降低难度，学

生容易在解

答过程中得

到公式．

y

O

x

P

1

(x

1

,y

1

)

P(x,y)

P

2

(x

2

,y

2

)

8.1两点间的距离公式及中点公式(教学设计)

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新

课

解得























2

2

21

21

yy

y

xx

x

。

中点P的坐标由点P

1

，P

2

的坐标表示出来，这个公

式叫做中点坐标公式，简称中点公式。

例4：已知点)2,9(A，)3,1(B，求线段AB的中点

Q的坐标。

例5：已知线段MN，它的中点坐标是)2,3(，端点N

的坐标是)2,1(，求另一个端点M的坐标。

练习三

1.已知点M

1

（-1,3）和M

2

（5,0），线段M

1

M

2

的中点

坐标是。

2.已知点P（6，-2）和Q（3，-8），线段PQ的中点

坐标是。

3．已知两点M（-3，m）和N（n，10），且线段MN

的中点坐标是（3，-4），求m，n。

例6：已知ABC的三个顶点分别为)2,

2

1

(A，

)4,3(B，)6,2(C，（1）画出该三角形；（2）求ABC

的BC边上的中线AD的长。

练习四

三角形的三个顶点是)1,2(A，)3,2(B，)1,0(C，

求三角形三条中线的长度。

教师写出结论，学生

理解掌握．

例4，例5可以配图。

学生练习，教师巡视．

教师规范解题步骤．

教师画图，学生思考

学生练习，教师巡视．

帮助学生从

数形结合方

面理解题意。

结合两

点间距离公

式，有一定的

综合性，注意

在数形结合

中启发学生。

检验例6

的掌握情况．

小

结

1．直角坐标系中两点间的距离公式．

2．直角坐标系中两点的中点公式．

教师引导学生回

顾总结本节所学内容．

简洁明

了地概括本

节课的重要

知识，学生

易于理解记

忆．

作

业

教材P68习题第1、2、3、6题

标记作业．针对学

生实际，对

课后书面作

8.1两点间的距离公式及中点公式(教学设计)

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业实施分层

设置．

教学反思：

开始时的复习引入学生反应不是很好，前面的向量知识学生掌握不熟练，后面的公式推

导不是很顺畅。所以在前面向量部分讲到这个知识点一定要强调，注重前后章节的联系。

教学中能够画图的，尽量画图，不断灌输数形结合的思想，让学生养成画图解决问题的习惯。