直纹曲面

1

《微分几何》测试题（一）

一．填空题：（每小题2分，共20分）

⒈向量(),3,rttta具有固定方向，则a=___t__。

⒉非零向量

()rt

满足

,,0rrr





的充要条件是以该向量为切

方向的曲线为平面曲线

⒊设曲线在P点的切向量为，主法向量为，则过P由,

确定的平面

是曲线在P点的___密切平面__________。

⒋曲线()rrt在点

0

()rt的单位切向量是，则曲线在

0

()rt点

的法平面方

程是__________________________。

⒌曲线()rrt在t=1点处有2，则曲线在t=1对

应的点处其挠率

(1)=_-2_____。

⒍主法线与固定方向垂直的曲线是__一般螺线__

⒎如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲

率与挠率的比是___常数_________________。

⒐曲面(,)zzxy在点

000

(,,)xyz的法线方程是

_____________________。

2

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）

11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是

___C___。

A、直线B、平面曲线C、球面曲线D、圆柱螺

线

12、曲线()rrt在P(t)点的曲率为k,挠率为，则下列式

子___A___不正确。

A、

2

rr

k

r









B、

3

rr

k

r









C、krD、



2

rrr

rr











13、对于曲面的第一基本形式

2222,IEduFdudvGdvEGF__D___。

A、0B、0C、0D、0

三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）

21、已知圆柱螺线cos,sin,rttt，试求

⑴在点0,1,

2









的切线和法平面。

⑵曲率和挠率。

22、对于圆柱面:cos,sin,ru，试求

⑴的第一、第二基本形式；

3

⑵在任意点处沿任意方向的法曲率；

⑶在任意点的高斯曲率和平均曲率；

⑷试证的坐标曲线是曲率线。

《微分几何》测试题（二）

一．单项选择题（2×10=20分）

1．若向量函数)(trr的终点在通过原点的一条直线上，则

()

A．)(tr

是定长的；B.

)(tr

是定向的；

C．1)(



tr；D.2)('tr.

2．对于向量函数)(tr，若)(tr)(tr

，则()

A．)(tr是定长向量；B.)(tr

定长向量；

C．)(tr是定向向量；D.)(tr

是定向向量.

3．设ba,均为非零向量，且0ab，则（）

Ａ.ba,线性相关；Ｂ.ba,线性无关；

Ｃ.a可以由b线性表示；D.b可以a由线性表

示.

4．挠率,0曲率2k的曲线是()

A．半径为4的圆；B.半径为

4

1

的圆；

4

C．半径为2的圆；D.半径为

2

1

的圆.

5．空间曲线的形状由()决定

A．由曲率和挠率；B.仅由曲率；

C．仅由挠率；D.由参数的选取.

6．曲率是常数的曲线()

A．一定是直线；B.一定是圆；

C．一定是球面上的曲线；.答案A,B,C都不

对.

7．设S是球面，则()

A．S上每一点是双曲点；B.S上每一点是抛物点；

C．S上的圆的指向球心；D.S上的测地线的指

向球心.

8．若曲面S在每一点的高斯曲率为

4

1

，则它可以与半径为()

的球面贴合

A．

2

1

；B.2；C.

4

1

；D.4.

9．圆柱螺线}{btasint,acost,r在任一点的切线与z轴的夹角

()

A．为；90B.0；C.与t有关；D.与b

有关.

5

10．设非直线的曲线C是曲面S:)(vu,rr上的测地线，则有

()

A.C在每一点∥n;B.C在每一点

n;

C.C在每一点



∥n;D.C在每一点n.

一．判断题（2×10=20分）

1．向量函数rrt满足0,

ttdt,trrr，则必有一常向量a，

满足a⊥rt.

2．如果曲线C:rrt的所有向径共面，则

r

t必与某一固

定向量垂直.

3．曲线的形状只由曲率和挠率决定.

()

4．直纹面上的直母线一定是曲率线.

（）

5．若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为Rr0r的

圆C相切，则C是S上的测地线.

6．如果两个曲面S

1

与S

2

之间的一个对应关系，使得它们在

对应点有相同的高斯曲率，则S

1

与S

2

等距等价.

7．设曲面S：r=rvu,,如果F:ME:L,则v—线是曲率线.

6

（）

8．设曲面S：r=rvu,，如果G:F:EN:M:L，则曲面上的

所有曲线都是曲率线.

9．曲面上任意两点的连线中，测地线段最短.

（）

10．球面上的曲率线是大圆.

（）

二．计算题（10×4=40分）

1．求曲线C：

r

=32ct,btat,｝上在0t处的密切面方程.

2．已知曲线C：

r

=sr（s是弧长参数）的曲率和挠率分别是

和,且是不为零的常数，求曲线C：r=ds)s()s(



1

的

曲率和挠率.

3．求曲面2xyz上的渐近线.

4．求圆环面S：r={(b+acos



)cos,(b+acos



)sin,a

sin



}

20,20上的椭圆点，双曲点和抛物点.

7

三．证明题（10×2=20分）

1．证明：如果曲线的所有都经过一个固定点，则曲线是以

固定点为圆心的圆.

2．设C是半径为

R

的球面上半径为rRr0的圆，

g

是曲

率.证明：

22

gRr

κ

11

2.

B

一．单项选择题（2×10=20分）

1．设

}x,62,{},31,0{ba

，若a∥b则()

A．

2

1

x；B.2x；C.0x；D.x为任意

实数.

2．设曲线C:满足1)(



tr则()

A.C是单位球面上的曲线；B.

t

是C的弧长参数；

C.变向量)(tr具有固定方向；D.变向量)(tr具有固

定长度.

3．若向量函数)(trr对于任意

t

都有1)(tr.则

()

A.)(tr是定向的向量；B.)(tr是定长的向

8

量；

C.0rr



tt；D.0rr







tt.

4．可展曲面上每一点都是()

A.椭圆点；B.抛物点；

C.圆点；D.平点.

5．若曲线C的曲率0,2k则()

A.C是半径为2的圆;B.C是半径为

2

1

的圆;

C.C是半径为2的圆;D.C是半径为

2

1

的

圆.

6．曲面上与u线正交的曲线满足()

A.0MdvLdu;B.0FdvEdu;

C.0NdvLdu;D.0GdvEdu.

7．设曲面S上一条非直线的曲线C是S上的测地线，则

()

A．C在每一点，



∥n；B.C在每一点,n；

C．C在每一点，∥n；D.C在每一点，

n.

8．在曲面S:)(vu,rr上，u线的微分方程是()

A．0dudv；B.0du；

C．0dv；.

9

9．若两个曲面等距等价，则()

A.它们有相同的第一基本形式；

B.它们有相同的第二基本形式；

C．它们有相同的第三基本形式；

D.把其中一个经过连续的弯曲变形，就能和另一个贴

合.

10．若曲面S:)(vu,rr上任一点，都有0MF，则()

A．参数曲线网是渐近线网；B.参数曲线网是曲率线

网；

C．参数曲线网是测地线网；D.答案A,B,C都不对.

二．判断题（2×10=20分）

1.向量函数rrt满足,0,,



tttrrr则必有一常向

量a，满足a⊥rt.（)

2．如果曲线C:rrt的所有向径共面，则C就在通过原

点的一个平面上.（）

3.曲线C：r=rs与曲线C：r=s在

0

ss处有相同的

曲

率

.

10

（

）

4.曲率是常数2的曲线一定是半径为

2

1

的圆.（）

5.设S是平面，则S上每一点，都有

1

=

2

=0.

()

6.球面上的圆的指向球心.

()

7.可展曲面上没有双曲点.

()

8.高斯曲率K≡0的曲面一定是某一条曲线的切线曲面.

()

9.若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为

Rr0r的圆C相切，则S在C上每一点，沿着C的方

向，都有，

n

=r.()

10.两个常高斯曲率曲面一定等距等价.

（）

11

三．计算题（10×4=40分）

1.求曲线C：

r

=｛,cos

13

5

ttsin

13

8

,tcos

13

12

｝的曲率和

挠率.

2.设曲线C：

r

=

dttfasint,acost,是平面曲线，求)(xf.

3.求圆柱面

r

=vRsinu,Rcosu,在



00

vu,处的切平面方程，

并说明，沿任意一条直母线，只有一个切平面.

4.求曲面S：

r

=uvv-ubvua,,0b0,a的高斯曲率.

四．证明题（10×2=20分）

1．证明：如果一条曲线C：r=r(s)(s是弧长参数)的所

有从切面都经过一个固定点，则C的挠率和曲率之

比是s的一次函数.

2．1证明：可展曲面上的直母线是曲率线.

2证明：如果可展曲面Ｓ上有两族直母线，则Ｓ是平

面.

《微分几何》测试题（三）

一．填空题：（每小题2分，共20分）

⒈()rt具有固定方向的充要条件是______________________。

⒉挠率______________________的曲线其副法向量是常矢。

⒊曲线()rrt在

0

()Pt点的主法向量是，则曲线在P点的从切面方程是

12

。

⒋如果一曲线的主法线与一固定方向垂直，则这曲线的副法线与这固定方向

。

⒌曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是________________。

6．曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为

____________。

7．半径为R的球面的高斯曲率K=.

8.一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的______________恒等于零。

9.曲面上坐标网是平面上极坐标网在曲面上的推广。

10．在可展曲面上，测地三角形的三内角之和。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）

1、圆柱螺线cos,sin,xtytzt在点1,0,0的切线为______。

A、

1

011

xyz

B、0yz

C、

1

100

xyz

D、0yz

2、曲面的三个基本形式之间的关系为______。

A、Ⅲ+2HⅡ+KⅠ=0B、Ⅲ-2HⅡ+KⅠ=0

C、Ⅲ-2KⅡ+HⅠ=0D、Ⅲ-2HⅡ-KⅠ=0

3、在直纹面()()rauvbu（()bu为单位向量）中，导线()au是腰曲线

的充要条件是_____。

A、0ab



B、//ab



C、0abD、//ab

4、曲面的坐标网是正交网的充要条件是_____。

A、M=0B、L=N=0C、M=F=0D、F=0

5、下列曲面中_____不是可展曲面。

A、柱面B、锥面C、一条曲线的切线曲面D、正螺面

6、曲面上，不是曲面的内蕴量。

A、两曲线的夹角B、曲线的弧长

C、曲面域的面积D、在一点沿一方向的法曲率

7、曲面(,)rrst，n是其单位法向量，下列第二类基本量的计算中，是

不正确的。

A、N=

tt

rnB、N=

tt

rnC、N=

tt

rnD、N=

tt

nr

9、球面(coscos,cossin,sin)rRRR的坐标曲线构不成。

13

A、正交的渐近网B、共轭网C、曲率线网D、半测地坐标网

10、曲线()rrs在P点的基本向量是,,,曲率为k(s),挠率为()s，则

()s=。

A、B、C、D、

三．计算题：（1、2题各10分，3题8分，共26分）

1、求螺线cos,sin,xtytzt上点1,0,0的曲率和挠率。

2、确定螺旋面cos,sin,xuvyuvzcv上的曲率线和在任一点的高斯

曲率。

四．证明题：（每小题8分，共24分）

1．证明：如果曲线的所有密切平面垂直于某个固定直线，那么它是平面曲线。

《微分几何》测试题（四）

一、填空题（每小题2分，共20分）

1、变矢)(tr满足

0'rr

的充要条件是______________________。

2、曲线（C）上P点处的三个基本向量为



、、，则过P点由和确定的

平面叫曲线（C）在P点的________________________。

3、若曲线在各点的曲率_________________，则曲线是直线。

4、曲线穿过__________和密切平面，但从不穿过_______________。

5、一般螺旋线的切线和一固定方向成固定角，而它的主法线与这个固定方向

________________。

6、两个曲面间的变换是_________________的充要条件是适当选择参数后，它们有

相同的第一基本形式。

7、曲面在非直线的渐近曲线上每点处的切平面一定是渐近曲线的

________________________。

9、曲面的高斯曲率为K，测地曲率为可kg，G是单连通曲面域，G的边界G是一

条光滑闭曲线，则2__________

G

Kd。

二、选择题（每小题3分，共30分）

11、若曲面S上曲线（C）是平面曲线，则一定有_____恒等于零。

14

A、法曲率knB、挠率τ

C、测地曲率kgD、曲率k

12、在圆柱面上，圆柱螺线是_____。

A、平面曲线B、曲率线C、测地线D、渐近线

13在椭圆抛物面上，高斯曲率K_____。

A、大于零B、小于零C、等于零D、不确定

14、设、、是曲线（C）在一点的三个基本向量，则





=_____（k,τ分别表

示曲线在该点的曲率和挠率）。

A、k



B、τC、－τD、τ



15、曲面的曲纹坐标网是正交网的充分必要条件是_____。

A、F=0B、M=0C、F=M=0D、L=N=0

16、曲面上的直线不一定是_____。

A、渐近线B、曲率线C、测地线D、法截线

19、下列直纹曲面中，_____是可展曲面。

A、锥面B、单叶双曲面C、双曲抛物面D、挠曲线的主法线曲面

三、解答与证明题(22题、24题各9分，其余各8分)

21、求曲线r(t)={t,t2,et}在t=0点的密切平面和主法线。

22、求曲线r(t)={a(1－sint),a(1－cost)，bt}的曲率和挠率。

23、证明：如果一条曲线的所有法平面包含常向量

e

，那么这条曲线是直线或平面

曲线。

24、求抛物面z=a(x2+y2)在(0,0)点的高斯曲率和平均曲率。

25、证明挠曲线（C）的主法线曲面不是可展曲面。

《微分几何》试题（五）

一．填空题：（每小题2分，共20分）

⒈变矢

()rt

具有固定方向的充要条件是__________________。

⒉设曲线（C）的参数表示是

()rrs

，s是弧长，则

r

r

叫作曲线(C)的

___________。

15

⒊如果曲线在各点的曲率____________，则曲线是直线。

⒋曲线

()rrt

在P点有挠率=3，则曲线

()rrt

在P点附近的形状是

__________。

⒌一般螺线的切线和一固定方向成固定角，而它的副法线与这个固定方向

__________。

⒍两个曲面之间的变换是_________的充要条件是适当选择参数后，它们有相同

的第Ⅰ基本形式。

⒎曲面的第一类基本量是E、F、G，第二类基本量是L、M、N。则曲面上曲率线

的微分方程是。

⒏在曲面上非直线的测地线除了测地曲率为零的点以外，曲线的________重合

于曲面的法线。

⒐曲面上一点(非脐点)的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的

__________。

⒑曲面上连接两点P、Q的________是曲面上连接P、Q的曲线中弧长最短的曲

线。

二．选择填空题：(每小题3分，共30分)

11、若曲面S上曲线(C)恒有法曲率

n

=0，则曲线一定是曲面上的_______。

A、渐近曲线B、平面曲线C、曲率线D、测地线

12、在圆柱面上，圆柱螺线是______。

A、平面曲线B、曲率线C、测地线D、渐近线

13、在曲面上的双曲点，2LNM_____。

A、大于零B、小于零C、等于零D、不确定

14、设

,,是曲线(C)在一点的三个基本向量，则=_____。（,k分别表示

曲线在该点的曲率和挠率）

A、kB、



C、



D、

15、正螺面{cos,sin,}ruvuvbv的第二基本形式是_____。

A、

22

2

b

dudv

ub





B、

22

0

b

dudv

ub





C、2222()duubdvD、2222()ubdudv

16、曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是_______。

16

A、M=0B、F=M=0C、F=0D、L=N=0

17、若曲面在其上某点处的两个主曲率分别为2，

1

2

，则这点是曲面的_____。

A、椭圆点B、双曲点C、抛物点D、脐点

18、曲面在一点的单位法向量是n，则在同一点的方向dr是主方向的充要条件

是______。

A、0dndrB、存在方向r使0dnr

C、存在方向r使0ndrD、drdn‖dr

19、在下列直纹曲面中，_____是可展曲面。

A、双曲抛物面B、挠曲线的副法线曲面

C、挠曲面的切线曲面D、单叶双曲面

20、一条有拐点的曲线绕一直线旋转所得旋转曲面上的点是______。

A、椭圆点B、抛物点C、双曲点D、A或B或C

三．解答与证明题（21、22各9分，23-26各8分）

21、求圆柱螺线

cos,sin,xatyatzt

在点(a,0,0)处的密切平面和主法线。

22、求曲线()(1sin),(1cos),rtatatbt的曲率和挠率。

23、证明：如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。

24、求抛物面22()zaxy在(0,0)点的高斯曲率和平均曲率。

25、证明曲线(C)的副法线曲面是可展曲面的充要条件是曲线(C)为平面曲

线。

26、求证旋转曲面()cos,()sin,()ruuu的径线是测地线。（其

中()0u）。