2.3随机变量的分布函数
一、知识点
1、分布函数的定义：设𝑋为一个随机变量，𝑥是任意实数，函数𝐹
(
𝑥
)
=𝑃
{
𝑋≤𝑥
}
，
−∞<𝑥<+∞，称𝐹
(
𝑥
)
为随机变量𝑋的概率分布函数.
2、分布函数的性质（分布函数判别的充要条件）
（1）单调性：𝐹
(
𝑥
)
是一个不减函数，对任意实数𝑥
1
<𝑥
2
，有
𝐹
(
𝑥
1
)
≤𝐹
(
𝑥
2
)
，𝐹
(
𝑥
2
)
−𝐹
(
𝑥
1
)
=𝑃{𝑥
1
<𝑋≤𝑥
2
}≥0；
（2）有界性：0≤𝐹
(
𝑥
)
≤1，
且𝐹
(
+∞
)
=𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝐹
(
𝑥
)
=1，𝐹
(
−∞
)
=𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝐹
(
𝑥
)
=0；
（3）连续性：𝐹
(
𝑥+0
)
=𝐹
(
𝑥
)
，即𝐹
(
𝑥
)
是右连续函数.
3、分布函数的图像：（1）离散型随机变量的分布函数图像为阶梯曲线；
（2）连续型随机变量的分布函数图像为连续曲线.
4、离散型随机变量X的分布函数：𝑃
{
𝑋=𝑥
𝑘
}
=𝑝
𝑘
，𝑘=1，2，⋯，
𝐹
(
𝑥
)
=𝑃
{
𝑋≤𝑥
}
=
∑
𝑝
𝑘𝑥
𝑘
≤𝑥
.
5、分布函数求概率：（1）𝑃
{
𝑥
1
<𝑋≤𝑥
2
}
=𝑃
{
𝑋≤𝑥
2
}
−𝑃
{
𝑋≤𝑥
1
}
=𝐹
(
𝑥
2
)
−𝐹
(
𝑥
1
)
；
（2）离散型：𝑃
{
𝑥
1
<𝑋≤𝑥
2
}
=
∑
𝑝
𝑘𝑥
1
<𝑥
𝑘
≤𝑥
2
=𝐹
(
𝑥
2
)
−𝐹
(
𝑥
1
)
；
𝑃
{
𝑋=𝑥
𝑘
}
=𝐹
(
𝑥
𝑘
)
−𝐹
(
𝑥
𝑘
−0
)
.
二、重点：1、分布函数的定义和性质；
2、分布函数的求法.
三、难点：1、利用分布函数的性质求未知常数；
2、利用分布函数求概率.
本文发布于:2023-03-11 19:43:10，感谢您对本站的认可！
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