第三次数学危机

数学危机

前述：何为数学危机

一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处

不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。

数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数

与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如

有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，

概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾

激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。

矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命

性的变革，这也反映出矛盾斗

争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，

斗争的结果就是数学领域的发

展。

1，第一次数学危机

简介

第一次数学危机，是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的

古希腊时期，自根号二的发现起，到公元前370年左右，以无理数的定义出现为结

束标志。这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯

学派，同时标志着西方世界关于无理数的研究的开始。

出现背景

毕达哥拉斯学派

从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源

予古希腊毕达哥拉斯学派。它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左

右。他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用

于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验

有理数的定义

整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，

不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些

简单的度量需要，就要用到分数。于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由

于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。

有理数有一种简单的几何解释。在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，

如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的

点的集合来表示整数，正整数0的右边，负整数在0的左边。以q为分母的分数，可

以用每一单位间隔分q等分的点表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个

点。

危机爆发

无理数的出现

古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。但是，大约在公元前5世纪，

毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了：等腰直角三角形的直角边与其斜边不可通约。

新发现的数由于和之前的所谓“合理存在的数”——即有理数在学派内部形成了对

立，所以被称作了无理数。希帕索斯正是因为这一数学发现，而被毕达哥拉斯学派

的人投进了大海，处以“淹死”的惩罚。

直角三角形的直角边与其斜边不可通约，这个简单的数学事实的发现使毕达哥拉

斯学派的人感到迷惑不解。它不仅违背了毕达哥拉斯派的信条，而且冲击着当时希

腊人持有的“一切量都可以用有理数表示”的信仰。所以，通常人们就把希帕索斯发现

的这个矛盾，叫做希帕索斯悖论。

不过存在另外一种说法称，据说,正五边形的边与对角线之比【（√5-1）/2】是最先

被发现的无理数。

芝诺悖论

古希腊著名哲学家芝诺（约公元前490年~前425年）曾提出四条著名的悖论，也被

如今的数学史界认定为引发第一次数学危机的重要诱因之一。

第一，“二分法”。

运动着的东西在到达目的地之前须先完成行程的一半，而

在完成行程的一半后，还须完成行程的一半的一半……如此分割，

乃至无穷，因而它与目的地之间的距离是无限的，永远也达不到目的地。

第二，“阿基里斯永远追不上乌龟”。

阿基里斯是希腊跑得最快的英雄，而乌龟则爬得最慢。但是芝诺却证明，在赛跑中最

快的永远赶不上最慢的，因为追赶者与被追赶者同时开始运动，而追赶者必须首先到

达被追赶者起步的那一点，如此类推，他们之间存在着无限的距离，所以被追赶者

必定永远领先。

第三，“飞矢不动”。

任何物体都要占有一定的空间，离开自己的空间就意味着失去了它的存在。飞矢通过一

段路程的时间可被分成无数瞬间，在每一瞬间，飞矢都占据着一个与自己大小相同的

空间，由于飞矢始终在自己的空间之中，因而它是静止不动的。

第四，“运动场”。

有两排物体，大小相同，数目相等，一排从终点排到中间点，另一排从中间点排

到起点，当它们以相同的速度作方向相反的运动时，就会在时间上出现矛盾。芝诺

认为这可以证明一半的时间等于一倍的时间。

以上四条悖论从根本上挑战了毕达哥拉斯学派所一直贯彻的度量和计算方式。

妙解

关于无理数

约在公元前370年，柏拉图的学生攸多克萨斯(Eudoxus，约公元前408—前355)

解决了关于无理数的问题。他纯粹用公理化方法创立了新的比例理论，微妙地处理

了可公度和不可公度。他处理不可公度的办法，被欧几里《几何原本》第二卷（比

例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。21世

纪后

的中国中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某

些困难和微炒之处。

关于芝诺悖论

芝诺的四条悖论在后来被亚里士多德等人成功解释完毕。

第一条悖论：伯内特解释了芝诺的“二分法”：即不可能在有限的时间内通过

无限多个点，在你走完全程之

前必须先走过给定距离的一半，为此又必须走过一半的一半，等等，直至无穷。亚

里士多德批评芝诺在这里犯了错误：“他主张一个事物不可能在有限的时间里通过无

限的事物，或者分别地和无限的事物相接触，须知长度和时间被说成是“无限的”有

两种涵义。一般地说，一切连续事物被说成是“无限的”都有两种涵义：或分起来的

无限，或延伸上的无限。因此，一方面，事物在有限的时间里不能和数量上无限的

事物相接触；另一面，却能和分起来无限的事物相接触，因为时间本身分起来也是

无限的。因此，通过一个无限的事物是在无限的时间里而不是在有限的时间里进行

的，和无限的事物接触是在无限数的而不是在有限数的范围上进行的。

第二条悖论：亚里士多德指出这个论证和前面的二分法是一回事，这个论证

得到的结论是：跑得慢的人不可

能被赶上。因此，对这个论证的解决方法也必然是同一个方法，认为在运动中领先

的东西不能被追上这个想法是错误的，因为在它领先的时间内是不能被赶上的，但

是，如果芝诺允许它能越过所规定的有限的距离的话，那么它也是可以被赶上的。

第三条悖论：亚里士多德认为芝诺的这个说法是错误的，因为时间不是由不

可分的‘现在’组成的，正如别

的任何量都不是由不可分的部分组合成的那样。亚里士多德认为，这个结论是因为

把时间当作是由‘现在’组成的而引起的，如果不肯定这个前提，这个结论是不会出现

的。

第四条悖论：亚里士多德认为，这里错误在于他把一个运动物体经过另一运

动物体所花的时间，看做等同于

以相同速度经过相同大小的静止物体所花的时间，事实上这两者是不相等的。

影响

第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量

不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。

整数的尊祟地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。于

是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时也反映出，直觉

和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自

明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。这是数学

思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物。

回顾在此以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。印度等国的数学，

并没有经历过这样的危机和革命，也就继续走着以算为主，以用为主的道路。而由

于第一次数学危机的发生和解决，希腊数学则走上完全不同的发展道路，形成了欧

几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系，为世界数学作出了另一种杰

出的贡献。

但是，自此以后希腊人把几何看成了全部数学的基础，把数的研究隶属于形的研

究，割裂了它们之间的密切关系。这样做的最大不幸是放弃了对无理数本身的研究，

使算术和代数的发展受到很大的限制，基本理论十分薄溺。这种畸形发展的局面在

欧洲持续了2000多年。

2、第二次数学危机

简介

第二次数学危机，指发生在十七、十八世纪，围绕微积分诞生初期的基础定义展开

的一场争论，这场危机最

终完善了微积分的定义和与实数相关的理论系统，同时基本解决了第一次数学危机

的关于无穷计算的连续性的问题，并且将微积分的应用推向了所有与数学相关的学

科中。

背景

（1）芝诺悖论（同上）

（2）微积分的出现经过许多人多年的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演

算——微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主

要在于：把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分

法和积分法互为逆运算。由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为当时解决

问题的重要工具。

爆发

在微积分大范围应用的同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就

是无穷小量究竞是不是零？

无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争

论，造成了第二次数学危机。

无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾。牛顿对它曾作过三种不同解释：

1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年它被“两个

正在消逝的量的最终比”所代替。但是，他始终无法解决上述矛盾。莱布尼兹曾试图

用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量

过渡到无穷小量的桥梁。

英国大主教贝克莱于1734年写文章，攻击流数（导数）。他说，用忽略高阶无

穷小而消除了原有的错误。贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不

清楚不合逻辑的问题，不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对

科学的追求和探索。

当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题。指出其缺乏必要的逻

辑基础。例如，罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”在那个勇于创造时代的

初期，科学中逻辑上存在这样那样的问题，并不是个别现象。

18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的，强调形式的计算而不管基础的可靠。

其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷

大概念不清楚；发散级数求和的任意性等等；符号的不严格使用；不考虑连续性就

进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。

初步解决

到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、

阿贝尔、柯西、狄里赫利等

人的工作开始，到威尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世

纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。

波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；

柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解

析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，

无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分；狄里赫利给出了函数的现

代定义。在这些工作的基础上，威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在

通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。

19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，

而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数

理论的严格基础之上。

不同意见

关于第二次数学危机，自其爆发开始直到二十一世纪，始终都存在着不同意见。

著名的数学家欧拉就坚持认为在求导数的运算中，其结果应该是0/0。他举例说，

如果计算地球的数值，则一颗灰尘、甚至成千上万颗灰尘的误差都是可以忽略的。

但是在微积分的运算中，“几何的严格性要求连这样小的误差也不能有。”[3]马克思

在他的《数学手稿》中说得更明确求导数的运算的结果应该是严格的、特定的0/0,

批判了所谓“无限趋近”的说法。[4]同时也有言论称，该危机在二十世纪前的数学研

究体制下无法彻底解。

影响

这次危机不但没有阻碍微积分的迅猛发展和广泛应用，反而让微积分驰骋在各个

科技领域，解决了大量的物理问题、天文问题、数学问题，大大推进了工业革命的

发展。就微积分自身而言，经过本次危机的“洗礼”，其自身得到了不断的系统化，

完整化，扩展出了不同的分支，成为了18世纪数学世界的“霸主”。同时，第二次数

学危机也促进了19世纪的分析严格化、代数抽象化以及几何非欧化的进程。

3、第三次数学危机

简介

数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，

还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现

悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分

支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对

数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

背景

第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时

期。首先是逻辑的数学化促使了数理逻辑这门学科诞生。

十九世纪七十年代康托尔创立的集合论是现代数学的基础，也是产生危机的直接

来源。十九世纪末，戴德金

及皮亚诺对算术及实数理论进行公理化，动了公理化运动。而公理化运动的最大成

就则是希尔伯特在1899年对

于初等几何的公理化。

公理化方法

公理化方法是现代数学最重要的方法之一，对于数学基础和数理逻辑的研究也有

影响。当时也是现代数学一

些新分支兴起的时期，如抽象代数学、点集拓扑学和代数拓扑学、泛函分析、测度

与积分理论等学科。这些学科的发展一直与数学基础及数理逻辑的发展有着密切的

关系。数学的更新与发展也对数学哲学有许多新的探讨，数学的陈腐哲学观念在当

时已经几乎一扫而空了。

研究

人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要

么大量的数的减法就行不通；同样，引进分数使乘法有了逆运算——除法，否则许

多实际问题也不能解决。但是接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理

数来表示?于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑

的发展和几何学的体系化。

方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。可是这种不实

的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。

几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学也是如此。在十

九世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通

过加、减、乘、除、乘方、开方求出根来；古希腊几何三大问题，即三等分任意角、

倍立方体、化圆为方不能通过圆规、直尺作图来解决等等。

这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。这种发现

给这些学科带来极大的冲击，

几乎完全改变了它们的方向。比如说，代数学从此以后向抽象代数学方面发展，而

求解方程的根变成了分析及计算数学的课题。在第三次数学危机中，这种情况也多

次出现，尤其是包含整数算术在内的形式系统的不完全性、许多问题的不可判定性

都大大提高了人们的认识，也促进了数理逻辑的大发展。

发展

这种矛盾、危机引起的发展，改变面貌，甚至引起革命，在数学发展历史上是屡

见不鲜的。第二次数学危机是由无穷小量的矛盾引起的，它反映了数学内部的有限

与无穷的矛盾。数学中也一直贯穿着计算方法、分析方法在应用与概念上清楚及逻

辑上严格的矛盾。在这方面，比较注意实用的数学家盲目应用。而比较注意严密的

数学家及哲学家则提出批评。只有这两方面取得协调一致后，矛盾才能解决。后来

算符演算及δ函数也重复了这个过程，开始是形式演算、任意应用，直到施瓦尔兹

才奠定广义函数论的严整系统。

数学基础危机

对于第三次数学危机，有人认为只是数学基础的危机，与数学无关。这种看法是

片面的。诚然，问题涉及数理逻辑和集合论，但它一开始就牵涉到无穷集合，而现

代数学如果脱离无穷集合就可以说寸步难行。因为如果只考虑有限集合或至多是可

数的集合，那绝大部分数学将不复存在。而且即便这些有限数学的内容，也有许多

问题要涉及无穷的方法，比如解决数论中的许多问题都要用解析方法。由此看来，

第三次数学危机是一次深刻的数学

危机。