连续可微

第１５卷第５期

２０１２年９月

高等数学研究

ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ

Ｖｏ１．１５，ＮＯ．５

Ｓｅｐｔ．，２０１２

关于反函数的连续性与可微性

侯吉成，李冬香

（北京信息科技大学理学院，北京１００１９２）

摘要 在没有严格单调的前提条件下，获得反函数的连续性和可微性，从而实现对现有教科书中对应结论

的改进．

关键词 连续；导数；单调性

中图分类号 Ｏ１７１ 文献标识码 Ａ 文章编号 １００８—１３９９（２０１２）０５ ００２４—０２

反函数是由已知函数构造新函数的一种重要方

法．在现有的数学分析和高等数学教科书中＿ｌ ］，关

于反函数的连续性和可微性都是在假定直接函数具

有严格单调性的条件下给出的．本文在没有任何单

调性的假定下给出了同样的结论．

首先将海涅定理（归结原则）一般化成下面的

形式．

定理１ 设函数＿厂（ｚ）在点ｚ—ａ的某个空心邻

域Ｕ。（ｎ， ）上有定义．

（ｉ）如果ｌｉｍｆ（ｚ）一Ｌ，则对于任意收敛于点ａ

ｚ— ｄ

的数列｛ｚ ）（ｚ ∈Ｕ。（ｎ， ））都有ｌｉｍｆ（ｘ ）一Ｌ．

ｎ— 。。

（１．）如果对于任意的收敛于点ｚ—ａ的数列

｛．ｚ ）（ｚ ∈ｕ。（ ， ）），都存在｛ ）的子列｛ｚ ）使得

１ｉｍｆ（ｘ 。）一Ｌ，那么ｌｉｍｆ（ｚ）＝＝＝Ｌ，

＇。。

证明 （ｉ）在Ｕ。（ｎ， ）中任取收敛于点ａ的数

列｛ｚ ｝，去证ｌｉｍｆ（ｘ ）一Ｌ．

收稿日期：２０１２—０２ １０；修改日期：２０１２－０８—０７

基金项目：北京信息科技大学教学改革基金资助项目（５０２９９２３９１０）

作者简介：侯吉成（１９６３－－），男，吉林九台人，博士，教授，从事数理经

济学研究．Ｅｍａｉｌ：ｈｏｕｊｃｌ６３＠１６３．ｃｏｒｎ

李冬香（１９６４－－），男，河北石家庄人，讲师，主要从事大学

数学教学及研究．Ｅｍａｉｌ：ｌｉｄｏｎｇｘｉａｎｇ｜ｄｘ＠１２６．ｃｏｒｎ

令￡是一个正数．因为ｌｉｍＪ （３２）一Ｌ，所以存在

Ｚ— Ⅱ

点ａ的某个空心邻域己，。（ｎ，叩）（叩＜ ），使得对于任

意的３２∈Ｕ。（ｎ，ｒ／），都有１厂（ｚ）一Ｌ １＜ｅ．另一方

面，因为ｌｉｍ３２ 一ａ，所以存在一个正数Ｎ，使得对

于任意的自然数 ＞Ｎ，都有｛ｚ 一ａ｛＜叼，又因

为３２ ∈Ｕ。（ｎ， ），所以对于任意的自然数 ＞Ｎ，

都有 ∈ （ｎ，卵），因此有ｆ ｆ（３２ ）一Ｌ ｆ＜￡，所以

有ｌｉｍＪ’（ｚ ）一Ｌ．

－。。

（ｉｉ）假设Ｌ不是当ｚ—ａ时．厂（ｚ）的极限，则

存在一个正数ｅ。，使得对于任意的自然数”，都存

１ ‘

在ｚ ∈Ｕ。（ｎ， ），使得ｌ ｆ（ｘ ）一Ｌ ｌ≥￡。．虽然

ｌｉｍｘ ＝＝＝ｎ，但是对于｛ｚ ）的任意子列｛ ｝都有

ｌｉｍｆ（ｘ ，）≠Ｌ，这和已知条件矛盾．

。。

定理２ 设函数－厂（ｚ）是定义在闭区间［ｎ，６］

上的连续函数并且有反函数，则它的反函数厂 也

是连续的．

证明 不妨设ｆ（３２）的值域为［ｃ， ］．由介值

定理，取一点 。∈Ｅｃ， ］，则存在一点ｚ。∈［ｎ，６］

满足／’（ｚ。）一Ｙ。．不妨设｛Ｙ ）是［ｃ， ］中收敛于

的数列，则由致密性定理知，｛厂 （ ）｝有收敛子

列｛厂 （ ））．设极限ｌｉｍ厂 （ ）一 ．因为ｆ（３２）

Ａ Ｓｉｍｐｌｅ Ｐｒｏｏｆ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｃｒｉｔｅｒｉａ ｆｏｒ Ｃｏｎｃａｔｉｖｉｔｙ

ＷＡＮＧ Ｈｏｎｇｊ ｕｎ． ＹＡＮＧ Ｇｕｏｐｉｎｇ．ＬＩ Ｘｉａｏｂｉｎ

（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｘｉｄｉａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｌｌ ７１００７１，ＰＲＣ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｔｅｓｔ ｆｏｒ ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ ａｎｄ Ｍｅａｎ—ｖａｌｕｅ Ｔｈｅｏｒｅｍ。ａ ｓｉｍｐｌｅ ｐｒｏｏｆ

ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｒｉｔｅｒｉａ ｆｏｒ ｃｏｎｃａｔｉｖｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｏｆ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｇｉｖｅｎ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ｃｏｎｃａｔｉｖｉｔｙ，ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ，Ｍｅａｎ—ｖａｌｕｅ Ｔｈｅｏｒｅｍ

第１５卷第５期 侯吉成，李冬香：关于反函数的连续性与可微性 ２５

是连续的，所以极限ｌｉｍｆ［厂 （．ｙ ）］一ｆＣｒ），也即

ｌｉｍｙ ＝＝＝厂（ ）．因为ｌｉｍｙ ＝＝＝ｙｏ，所以 一厂 （ ）．

注１ 定理２作为一个结论在文Ｉ－ｓ］中已经给

出，文［５］指出它的证明在高等分析中才能给出，

而这里通过使用改进的归结原则（定理１），便得出

了定理２的一个非常简单的证明．

现在建立关于反函数连续性的最一般的结

论，它改进了在教科书［１—４］中对应的定理．

定理３ 若函数．厂（ｚ）是定义在区间 上的连续

函数并且有反函数，则它的反函数厂 也是连续的．

证明 任取Ｙ。∈｛Ｙ ｆ Ｙ一＿厂（ ）， ∈Ｉ），则存

在 。∈ ，使得ｆ（ｘ。）一Ｙ。．以下分情形进行讨论．

情形１ ｚ。不是 的端点．

因为 是区间，存在闭区间［口，６］，使得

（）∈（ｎ，６）（＝＝ａ，６］ Ｉ．

因为厂（ ）在区问［＆，６］上连续，故可以记

｛ ｌ Ｙ一／’（ ），ｚ∈［口，６］｝一ｉｖ， ］．

由定理２知

厂 ： ［ｃ， ］一［口，６］

是连续的．现在证明Ｙ。∈（ｃ， ）．

假设Ｙ。 （ｆ， ），那么不妨设Ｙ。一ｃ，则

厂 ： （ｃ， ］一［。， 。）Ｕ（ｚ。，６］

是连续的，显然有

Ｌ口，－ｚｏ）Ｕ（ｚ０，６］一

｛ ｌ ｚ一厂 （ ）， Ｅ（ｆ， ］｝．

由介值定理，｛ｚ Ｉ ｚ一厂 （ ），Ｙ∈（ｃ， ］｝是区间，

这与［ ， 。）Ｕ（ｚ。，６］并非区间发生矛盾，所以，由

反证法可知 。∈（ｃ， ），即厂 在点Ｙ。是连续的．

情形２ 。是 的左端点．

首先说明 。是区间｛ Ｊ Ｙ一－厂（ ）， ∈Ｉ）的端

点．否则， 是｛ Ｉ Ｙ一－厂（ｚ）， ∈ ）的内点．因为

｛Ｙ ｌ Ｙ一＿厂（ｚ），ｚ∈ ｝是区间，故存在ｃ，ｄ，使得

Ｙ。Ｅ（ｃ， ） ｛Ｙ １．ｙ一厂（ ）， ∈Ｉ｝．

设Ｉ一［ 。，６），则厂（ｚ）在（ｚ。，６）上是连续的．因为

，是单射，所以Ｙ。 ｛Ｙ ｌ Ｙ一厂（－ｚ）， ∈（ 。，６）），这

与｛ ｌ 一厂（ｚ），ｚ Ｅ（ 。，６）｝是区间矛盾．因此Ｙｏ

是区间｛Ｙ ｌ Ｙ一－厂（ｚ），ｚ∈ ｝的端点．不失一般性，

设Ｙｏ是区间｛Ｙ Ｉ Ｙ一，（ｚ），３７．∈ ）的右端点．取一

点Ｓ＞ｚ。，满足［ 。， ］ ，则

｛Ｙ ｌ 一－厂（．ｚ）， ∈ｉｘ。，ｓ］｝

是一个闭区间，故可记之为［ｚ， ］，显然Ｙ。∈［ｚ， ］．

由定理２，厂 在点Ｙ。是右连续的．

情形３ ｚ。是 的右端点．

同情形２类似可证，从略．

定理４ 设函数 一＿厂（ ）在点Ｙ。的某个邻域

Ｕ（ｙ。， ）上连续且具有反函数．如果 一 （ ）在点

。可导且厂 （ 。）≠０，那么对应反函数 一厂 （ ）

在点ｚｏ—ｆ（ｙ。）可导且有

Ｉ 一１＿

ｄｚ ｌ ＝ 厂 （ ｏ）‘

证明 因为ｚ一厂（ ）在区间Ｕ（ｙ。， ）上连续，

由定理３，存在正数 ，使得Ｙ＝＝＝厂 （ ）在区问

Ｕ（ｚ。， ）上连续．令

△ｒ≠０， 一／ （ｚ。＋ ）～厂 （ｚｏ），

则缈≠０，且 一０当且仅当 一０．因为

ｌｉｍ 一 （ ）≠０，

∞ 一ｕ

所以

，．

△ｖ ］ １

一 一 Ｙｏ’ 血一。△ｚ ｌｉ

ｍ

垒至 －，Ｌ

参考文献

［１］华东师范大学数学系．数学分析：上册［Ｍ］．３版．北

京：高等教育出版社，２００１：７８—９７．

［２］刘玉琏，傅沛仁，林玎，等．数学分析讲义：上册［Ｍ］．４

版．北京：高等教育出版社，２００３：１２０—１６８．

［３］张筑生．数学分析新讲：第一册［Ｍ］．ｊＥ京：北京大学出

版社，１９９０：１２９ １６５．

［４］同济大学数学系．高等数学：上册［Ｍ］．６版．北京：高

等教育出版社，２００６：６６—９６．

［５］ＳＴＥＷＡＲＴ Ｊ．微积分：上册［Ｍ］．白峰衫，译．北京：

高等教育出版社，２００４：１３６．

Ｏｎ ｔｈｅ Ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ａｎｄ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｉｎｖｅｒｓｅ Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ＨｏＵ Ｊｉｃｈｅｎｇ，ＬＩ Ｄｏｎｇｘｉａｎｇ

（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｂｅｉｊｉｎｇ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｃｉｅｎｃｅ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １００１９２，ＰＲＣ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈ ｓｏｍｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ａｎｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｉｎｖｅｒｓｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈｏｕｔ ｔｈｅ ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ．Ｏｕｒ ｒｅｓｕｌｔｓ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ

ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｉｎ ｓｏｍｅ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｔｅｘｔｂｏｏｋｓ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ，ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂ．¨ｔｙ，ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ