洛伦兹力公式

1

洛伦兹力的冲量

1.洛伦兹力的冲量公式

如图1，一带电粒子电量为q，在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，速度为v。某时

刻v与x轴的夹角为θ，则它受到的洛伦兹力f与y轴的夹角也为θ。分别将v、f正交分解，可知：

ffqBvqBv

xy

sinsin

在时间t内f沿x轴方向的冲量为：IftqBvtqBy

xxy



同理，f在y轴方向的冲量为：IqBx

y



2.应用

例1.如图2所示，A

1

和A

2

是两块面积很大，互相平行又相距较近的带电金属板，相距为d，两板间的电势差为U。同时，

在这两板间还有垂直纸面向外的匀强磁场。一束电子通过左侧带负电的板A

1

上的小孔，沿垂直于金属板的方向射

入磁场，为使该电子束不碰到右侧带正电的板A

2

，问所加磁场的磁感应强度至少要多大？电子的重力以及从小

孔射入时的初速度均可不计。

例2.如图3，在真空中建立一坐标系，以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，z轴垂直纸面向里。在0yl的

区域内有匀强磁场，lm080.，磁感应强度BT010.，方向沿z轴正方向。一荷质比

q

m

Ckg50/的带正电质点从x0，

ym020.，z0处由静止释放，求带电质点刚离开磁场时的速度，取gms102/。

2

例3.如图4，在一绝缘水平台面的上方空间的足够大的区域中，有正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度ENC10/，方

向水平向右，磁感应强度BT5，方向垂直纸面向里，今有一质量为mkg103

，带电量为

qC4104

的小球由静止开始运动，取gms102/，求小球在运动中速度能达到的最大值。

例4：研究物理问题的方法是运用现有的知识对问题做深入的学习和研究，找到解决的思路与方法，例如：模

型法、等效法、分析法、图像法。掌握并能运用这些方法在一定程度上比习得物理知识更加重要。

（1）如图甲所示，空间有一水平向右的匀强电场，半径为r的绝缘光滑圆环

固定在竖直平面内，O是圆心，AB是竖直方向的直径。一质量为m、电

荷量为+q的小球套在圆环上，并静止在P点，且OP与竖直方向的夹角

θ=37°。不计空气阻力。已知重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。

a．求电场强度E的大小；

b．若要使小球从P点出发能做完整的圆周运动，求小球初速度应满足

的条件。

（2）如图乙所示，空间有一个范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B，一

个质量为m、电荷量为+q的带电小圆环套在一根固定的绝缘竖直细杆

上，杆足够长，环与杆的动摩擦因数为μ。现使圆环以初速度v

0

向上运

动，经时间t圆环回到出发位置。不计空气阻力。已知重力加速度为g。

求当圆环回到出发位置时速度v的大小。

例5：如图6所示，空间存在足够大、正交的匀强电、磁场，电场强度为E、方向竖直向下，

磁感应强度为B、方向垂直纸面向里。从电、磁场中某点P由静止释放一个质量为m、带

电量为+q的粒子（粒子受到的重力忽略不计），其运动轨迹如图6虚线所示。对于带电粒子在电、磁场中下落的最大高度H，

下面给出了四个表达结果，用你已有的知识计算可能会有困难，但你可以用学过的知识对下面的四个结果做出判断。你认为

正确的是

A．

2

2mE

Bq

B．

2

4mE

Bq

C．

2

2mB

Eq

D．

2

mB

Eq

例6：（20分）如图所示，直角坐标系xoy位于竖直平面内，y轴正方向竖直向上，x轴正方向水平向右。空间中存在相互垂直的

匀强电场和匀强磁场，匀强磁场垂直xoy平面向里，磁感应强度大小为B。匀强电场（图中未画出）方向平行于xoy平面，小球

图乙

图甲

3

（可视为质点）的质量为m、带电量为+q，已知电场强度大小为

mg

E

q

＝，g为重力加速度。

（1）若匀强电场方向水平向左，使小球在空间中做直线运动，求小球在空间中做直线运动的速度大小和方向；

（2）若匀强电场在xoy平面内的任意方向，确定小球在xoy平面内做直线运动的速度大小的范围；

（3）若匀强电场方向竖直向下，将小球从O点由静止释放，求小球运动过

程中距x轴的最大距离。

洛伦兹力的冲量

例1：分析：电子在电场力作用下开始向右加速运动，同时受到洛伦兹力作用而向上偏转。为使电子束不碰到右板A

2

，临界条

件是当电子到达板A

2

时，速度方向刚好与板A

2

平行。

电场力水平向右，电子在竖直方向上只受洛伦兹力作用，由洛伦兹力的冲量公式和动量定理有：

IeBdmv

y



在电子的运动过程中，电场力做正功，洛伦兹力不做功，由动能定理有：eUmv

1

2

2

由以上两式解得：B

mU

ed



2

2

例2：分析：设带电质点离开磁场时速度为v，与磁场边界夹角为β，质点从开始释放到离开磁场的过程中，由机械能守恒定律

有：mglymv

1

2

2解得：vms25/

在x轴方向上，由洛伦兹力的冲量公式和动量定理有：IqBlmv

x

cos得：cos

qBl

mv

25

5

例3：分析：小球在电场力作用下先沿水平台面加速运动，洛伦兹力逐渐增大。当洛伦兹力与重力大小相等时，小球开始脱

离水平台面做曲线运动。设小球脱离台面时的速度为v

0

，则有：qBvmg

0



以脱离点O为坐标原点，以重力与电场力的合力F的方向为y轴，建立直角坐标系如图5所示。若把恒力F视为等效重力，

则x轴相当于“水平面”或“等势面”。小球做曲线运动，当其速度方向与x轴平行，在力F的方向上发生的位移最大时，F做功

最多，小球速度最大。由动能定理有：

WFdmvmv

1

2

1

2

2

0

2

max

在x轴方向上由动量定理有：IqBdmvmv

x



max

cos

0



×××××××

×××××××

×××××××

×××××××

×××××××

×××××××

O

y

x

4

又知FmgqE

mg

F

22，cos

由以上各式得关于v

max

的一元二次方程v

F

qB

vv

Fv

qBmaxmax

cos

2

0

2

0

22

0



代入数据并整理得：vv

maxmax

..21082510解得：vms

max

./74或34./ms（舍）

例4：解：（1）a．当小球静止在P点时，小球的受力情况如图所示，则有

tan37

qE

mg



所以

3

4

mg

E

q

………………………………（4分）

b．当小球做圆周运动时，可以等效为在一个“重力加速度”为

5

4

g的“重力场”中运动。若要使小球能做完整的圆周

运动，则小球必须能通过图中的Q点。设当小球从P点出发的速度为v

min

时，小球到达Q点时速度为零。在小球

从P运动到Q的过程中，根据动能定理有

2

min

51

20

42

mgrmv

所以

min

5grv

即小球的初速度应大于

5gr

………………………………………………（6分）

（2）在圆环运动的过程中，圆环受向下的重力mg、水平方向的洛伦兹力qvB、细杆的弹力N和摩擦力f，其中f一直与运动

方向相反，且摩擦力的大小f=μN=μqvB。

【方法一】

圆环从开始向上运动到回到出发位置的过程中，取竖直向上为正方向，根据动量定理有

0f

Imgtmmvv

而

(0

f

IftftqBtqBtqBxxvv

下下下下

上上上上

=）

所以

0

gtvv

例5：A

例6：（20分）解：（1）由题意知小球做匀速直线运动(2分)

受力分析如图2fqvBmg(2分)

匀速直线运动速度大小

2mg

v

qB

(1分)

方向如图，斜向下与x轴方向夹角45°(1分)

（2）小球做直线运动的条件为：洛仑兹力与电场力和重力的合力为一对平衡力。当电场在xoy平面内方向任意时，电场力与重力

合力最大值为2mg（1分）最小值为零（1分）

则：mgBqv2

max

（2分）0

min

Bqv（2分）得

Bq

mg

v

2

0（2分）

mg

qE

f

v

5

（3）设小球运动到最低位置时下落高度为H，此时速度最大为v

0

，方向水平（2分）

任意时刻v沿x轴正向、y轴负向的分速度分别为vx，vy.。

与vy.对应的洛仑兹力水平分力方向沿x轴正向，

yx

Bqvf

小球由静止释放到最低点的过程中，应用动量定理得：

0

0

mvBqHtvBqtBqvtf

yyx

（2分）

小球由静止释放到最低点的过程中，由动能定理得：0

2

1

22

0

mvmgH（1分）解得：

22

24

qB

gm

H（1分）