三余弦定理

三角形余弦定理公式大全

高中数学是一个非常让人头痛的学科，但是还有有许多同学摆正

态度积极学习，为了更好的帮助他们提高成绩。下面是由小编为大家

整理的“三角形余弦定理公式大全”，仅供参考，欢迎大家阅读。

三角形余弦定理公式大全

余弦定理(第二余弦定理)

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决

一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，

若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、

灵活。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值

编辑本段

余弦定理性质

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这

两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c三角为A，B，C，

则满足性质--

a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosA

b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosB

c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosC

cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2·a·b)

cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2·a·c)

cosA=(c^2+b^2-a^2)/(2·b·c)

(物理力学方面的平行四边形定则中也会用到)

第一余弦定理(任意三角形射影定理)

设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则

有

a=b·cosC+c·cosB，b=c·cosA+a·cosC，c=a·cosB+b·cosA。

编辑本段

余弦定理证明

平面向量证法

∵如图，有a+b=c(平行四边形定则:两个邻边之间的对角线代表

两个邻边大小)∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

(以上粗体字符表示向量)

又∵cos(π-θ)=-Cosθ

∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ(注意:这里用到了三角函数公式)

再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC

即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b

同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移

到左边表示一下。

平面几何证法

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得:

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2

b^2=(sinB2+cosB2)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

编辑本段

作用

(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角

(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。

(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见

解三角形公式，推导过程略。)

判定定理一(两根判别法):

若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号

前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取

减号的值

①若m(c1,c2)=2,则有两解

②若m(c1,c2)=1,则有一解

③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。

注意:若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，

即一解。

判定定理二(角边判别法):

一当a>bsinA时

①当b>a且cosA>0(即A为锐角)时，则有两解

②当b>a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)

③当b=a且cosA>0(即A为锐角)时，则有一解

④当b=a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)

⑤当b

二当a=bsinA时

①当cosA>0(即A为锐角)时,则有一解

②当cosA<=0(即A为直角或钝角)时，则有零解(即无解)

三当a

解三角形公式例如:已知△ABC的三边之比为5:4:3，求最大的内角。

解设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.

由三角形中大边对大角可知:∠A为最大的角。由余弦定理

cosA=0

所以∠A=90°.

再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之长。

解由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA

=4+9-2×2×3×cos60

=13-12x0.5

=13-6

=7

所以BC=√7.(注:cos60=0.5,可以用计算器算)

以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。

其他

从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的

平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小

于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平

方，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角

形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

解三角形时，除了用到余弦定理外还常用正弦定理。

30°45°60°

Sin1/2√2/2√3/2

Cos√3/2√2/21/2

Tan√3/31√3

拓展阅读：三角形的三边关系是什么

三角形三边关系是三角形三条边关系的定则，具体内容是在一个

三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形三边关系是三角形三条边关系的定则，具体内容是在一个

三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

设三角形三边为a,b,c则a+b>c,a>c-b，b+c>a,b>a-c，

a+c>b,c>b-a

直角三角形

性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

性质2：在直角三角形中，两个锐角互余。

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。