四则运算的意义

《四则运算》教材分析

通过前面七册的学习，学生已经掌握了整数的四则运算，编排本单元的目的是对以前的知识进行较为

系统的概括和总结，完善学生的认知结构。主要内容分为三个方面：四则运算的意义和各部分间的关系（例

1～例3）；混合运算的顺序（例4）；解决问题（例5）。

一、主要内容

本单元的主要内容是在复习已学过四则运算的知识的基础上，对加、减、乘、除四则运算进行概括。

在学生已经掌握的整数四则混合运算的基础上，对四则混合运算顺序进行归纳总结。这里第一次出现中括

号，使四则混合运算方面的知识趋于完整。本单元包括三部分内容，即：四则运算的意义，每种运算中各

部分间的关系；四则混合运算；解决实际问题。本单元的内容安排如下：

从上面可以看出，本单元教学内容分为三个层次。

1．四则运算的意义和各部分间的关系（例1——例3）．学生在前七册教材中，对整数四则运算已经

有了较多的接触，积累了丰富的感性认识并掌握了相应的基础知识和技能。在此基础上，对整数四则运算

的意义和关系进行抽象、概括，使学生对每种运算的认识从感性上升到理性。整数四则运算的意义是学习

小数、分数四则运算意义的基础，对于四则运算意义认识的提升，将为学习小数、分数四则运算的意义和

关系打下基础。

2．四则混合运算（例4）。四则混合运算和运算顺序是计算教学中的重要基础知识。本单元在学生已

学过的混合运算及运算顺序，初步认识小括号的作用的基础上，认识中括号，对整数四则混合运算进行概

括和总结。由此，不仅使学生丰富了计算知识，提高计算能力，也为学生列综合算式解决问题打好基础。

为进一步学习代数运算做好准备。

3．解决问题（例5）。本单元设置用两、三步计算解决的实际问题，旨在让学生合理灵活的运用相关

知识解决问题，感受、领悟优化思想，提高解决问题的能力。

四则运算的意义、四则混合运算的顺序是本单元的教学重点也是教学的难点。

二、教学目标

1．结合具体情境，理解加、减、乘、除四则运算的意义，掌握四则运算中各部分间的关系，对四则

运算知识进行较系统的概括和总结。

2．认识中括号，掌握四则混合运算的顺序，能进行简单的四则混合运算。

3．让学生经历解决实际问题的过程，学会用四则混合运算知识解决一些实际问题，感受解决问题的

一些策略和方法。

4．通过数学学习，提高抽象概括能力，养成认真审题、独立思考等良好的学习习惯。

三、教学建议

1．让学生经历从感性认识上升到理性认识的过程。

学生在前面已经学会加、减、乘、除的计算方法，积累了丰富的有关加、减、乘、除的意义的感性认

识。在此基础上，通过解决简单的实际问题，激活学生已有的知识与经验，再以“为什么要用加（减、乘、

除）法计算？”引导学生思考，概括运算的意义。例如教学加法的意义时，可放手让学生解决“西宁到拉

萨的铁路长多少千米”这个问题。在解决问题中经历把814km与1142km合在一起，即把814与1142合

成一个数的计算过程，唤起学生已有的知识和经验。之后，通过“为什么要用加法计算？”引导学生思考：

加法是什么样的运算？在此基础上，概括加法的意义，进而概括说明加法算式各部分的名称。由解决问题

到概括出加法的意义，是学生对加法的认识从感性上升到理性。

2．重视归纳整理，沟通知识间的内在联系，完善学生的知识结构。

本单元教学的重要内容是概括四则运算的意义，丰富、梳理四则混合运算顺序的知识。教材设置了4

道例题，依次教学加、减、乘、除法的意义及各部分间的关系，0的运算特性，四则混合运算等教学内容。

教学中，教师要纵观全局驾驭教材，适时引导学生把分散学习的知识串成线、结成网，逐步完善知识结构。

例如，在概括四则运算的意义之后，可引导学生用图表的形式，归纳整理知识，沟通知识间的内在联系，

加深对知识的理解和掌握。

3．组织好练习，深化知识，培养能力

本单元设置了3个练习，都突出了教学的重点和难点，教学时，应突出练习的针对性，注重学生的理

解和掌握。例如，练习一第1题是四道有关加、减运算意义的问题。题目中特别提出：“下面各题应用什

么方法计算？为什么？”要求用加、减法得意义说明各题选择方法的道理。教学时，应让学生切实经历把

加、减法的意义应用于具体问题进行判断、推理和表述的过程。这样，才能让学生加深理解加、减法的意

义，培养学生的判断、推理能力及有根据的说理能力。又如，练习2第3题“调皮的小猫”，调皮的小猫

的爪印遮住了等式中的因数、除数或被除数。教学时，不仅要用好活泼有趣的素材，激发学生参与练习活

动的兴趣；还要组织好交流，请学生说说求出“爪印下”各数的根据。学生根据算式各部分间的关系来说

明，或是利用乘、除法的关系来解释，将使学生对乘、除法算式各部分间的关系的认识得到进一步提高，

使学生加深对乘、除法关系的理解。

4．建议用6课时教学

《四则运算》课标解读

一、课标要求

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的“第二学段”中提出了“掌握必要的运算

技能”“初步形成数感和空间观念，感受符号和几何直观的作用”“尝试从日常生活中发现并提出简单的

数学问题，并运用一些知识加以解决”“能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解决问题方法的多样

性”“能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性”“在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认

识数学的价值”。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程内容”的“第二学段”中提出了“能计算三位数乘

两位数的乘法，三位数除以两位数的除法”“认识中括号，能进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，

不超过三步）”“在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系”“在具体

情境中，了解常见的数量关系：总价=单价×数量、路程=速度×时间，并能解决简单的实际问题”“经历

与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法”。

二、课标解读

1．数的运算：四则运算的含义

数（自然数）是刻画一个集合中事物数量信息的符号，运算（整数四则运算）是刻画多个集合中事物

数量信息之间关系的符号（组合）。从数学发展的逻辑体系来看，加法运算是四则运算的基础，减法是加

法的逆运算，乘法是一种特殊的加法，除法是乘法的逆运算。

加法的定义：对于规定运算表示在的后面增加个的序数，如果这个序数为，那么，

称为与的和。求和的运算叫做加法，记作：。显然，加法运算满足封闭性、交换律、结合律。

乘法的定义：乘法在本质上是一类特殊的加法，乘法是数自相加的缩写。一般地，对于自然数，

规定乘法运算表示个相加。显然，乘法运算满足封闭性、交换律、结合律、分配律。

减法的定义：减法是加法的逆运算，减法是通过加法来定义的。由于减法将出现负整数，因此，运算

的集合需要从自然数集合（）扩展到整数集合）。整数集合包含正整数、0、负整数。对于，

如果，则称为减的差，求差的运算叫做减法，记作：。显然，整数集对于减法运算是

封闭的，而且，存在着“相反数”与“单位元”，使得，。

除法的定义：除法是乘法的逆运算。除法是通过乘法来定义的。由于除法将出现分数，因此，运算的

集合需要从整数集合（）扩展到有理数集合（）。对于，如果，则称为与的

商，求商的运算叫做除法，记作：（=）。显然，有理数集对于除法运算是封闭的，而且，存

在着“相反数”与“单位元”，使得，。

2．数的运算

数的运算内容贯串于整个一、二学段，是这两个学段比较重要、占用学习时间最多的内容。对于数的

运算首先要使学生理解为什么要运算，这达到不同目的，决定了选择不同的运算方式和不同的精度要求。

美国数学教师学会（NCTM）1989年编写的《学校数学课程与评价标准》中对计算问题有一段论述，反映对

运算的观念（见下图），从中可以受到一些启示。

首先应当让学生理解的是面对具体的情形，确定是否需要计算。然后再确定需要什么样的计算方法。

口算、笔算、计算器、计算机和估算都是供学生选择的方式，都可以起到算出结果的目的。

应当重视学生对算理的理解和掌握，按照标准的要求把握运算的熟练程度的要求。重视估算的理解运

用。鼓励学生用自己的方法去尝试运算，选择合适的方法进行运算。理解常见的数量关系，并运用常见的

数量关系解决问题。

（1）整数运算

对于整数的运算《标准》在两个学段分别提出具体的内容要求。

第一学段：

1．结合具体情境，体会整数四则运算的意义（参见例5）。

2．能熟练地口算20以内的加减法和表内乘除法，能口算百以内的加减法和一位数乘除两位数。

3．能计算三位数的加减法，一位数乘三位数、两位数乘两位数的乘法，三位数除以一位数的除法。

4．认识小括号，能进行简单的整数四则混合运算（两步）。

第二学段：

1．能计算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法。

2．认识中括号，能进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）。

3．探索并了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律），

会应用运算律进行一些简便运算。

4．在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系。

学习整数的运算首先要使学生理解算理，把握四则运算的本质。如，加一个正数比原数大，学习加法

时，要使学生理解这个算理。减法是加法的逆运算，减去一个正数就比原来的数小。乘法是加法的简便运

算，是求相同加数的和，这是乘法的本质特征。除法是乘法的逆运算。教学中应强调让学生理解四则运算，

了解它们之间的关系。

对于运算的难度和熟练程度，《义务教育数学课程标准（2011年版）》针对不同的内容提出明确的要

求。限制运算的步骤是为了控制繁杂的问题，往往四则运算的多步计算会出很繁杂的问题，对于每一步骤

的计算学生可能都会做，但在若干步骤计算中，如果有一个地方出错，就会导致整个结果出错。在有的计

算器之后，人们在现实生活中遇到繁杂的问题时，可以选择用计算工具，而没有必要把用大量的时间用于

复杂的运算。而对于这种运算，稍不留意就会在某一个环节出错，也会导致学生失去学习数学的信心。

应当淡化对运算的熟练程度的要求，选择正确的计算方法，准确地得到运算结果，比运算的熟练程度

更重要。应当重视学生是否理解了运算的道理，是否能准确地得出运算的结果，而不是单纯地看运算的速

度。

《四则运算》重难点突破

一、加、减法的意义及各部分间的关系

突破建议：

1．用好主题图展开教学活动。

教学时，可用课件呈现我国地图铁路建设的发展。随语言描述先定格在西宁至格尔木，再呈现格尔木

至拉萨的铁路修通。让学生直观感受西宁至拉萨包括西宁到格尔木和格尔木到拉萨两段路程。同时了解我

国铁路建设的发展，感受时代的发展。以现实情境引入教学，可以促使学生积极主动地参与到教学活动中

来。

2．引导学生对加法的意义进行概括。

解决“西宁到拉萨的铁路长多少千米”这个问题后，以“为什么用加法计算”来引导学生思考“加法

是什么样的运算”，让学生经历从实际应用到抽象概括意义的过程。这个过程也是培养学生抽象概括能力

的过程。

3．通过对比，突破教学难点。

尽管学生对减法的人是积累了丰富的感性认识，但从本质上认识减法还有很大的距离。因此，教学中

可组织好“对比”活动，让学生通过对比，发现第2、3题和第1题的联系，即第1题是已知两个加数求

它们的和，第2、3题是反过来，已知两个加数的和和其中一个加数，求另一个加数。从而帮助学生突破

概括减法意义的难点。同时通过对比有效帮助学生理解减法是加法的反向运算，建立逆运算概念，掌握加、

减法的关系。

4．以“问题”引导学生整理出关系式

对加、减法各部分间的关系的总结，以“加（减）法中最基本的数量关系式是什么？”“怎样求加法？”

“怎样求被减数和减数？”等问题，引导学生思考、交流，整理出加、减法各部分间的关系式。由此，提

升学生对加、减法算式中各部分间的关系的认识，是学生受到初步的辩证的思想熏陶。

二、乘、除法的意义及各部分间的关系

突破建议：

1．让学生经历“过程”，提升认识

放手让学生独立解决问题，激活已有的知识和经验，在这个基础上，让学生比较加法算式与乘法算式，

思考：乘法是什么样的运算？有解决问题到比较与思考，让学生经历“由3+3+3+3=12与3X4=12，用乘法

算比较简便→求几个相同加数的和用乘法算简便→概括出乘法的确切意义”的过程，使学生对乘法的认识

从感性上升到理性。

2．突出除法和乘法的联系，概括除法的意义

除法是与乘法相反的运算。借助学生对除法意义的感性认识，以解决第（1）、（2）、（3）题为基

础，组织比较活动。通过比较，弄清楚乘法算式与除法算式中已知数与未知数的变化，进而从除法算式和

乘法算式的联系出发，思考、概括除法的意义。这样，不仅利于用比较准确的数学语言概括除法的意义，

还有助于学生理解除法和乘法的关系，认识除法是乘法的逆运算。

3．借助具体实例化解难点

学生对乘、除法各部分间的关系和有关0的运算，在前几年的学习中积累了比较丰富的认识和经验。

这里，重点是总结整理出关系式和把有关0的运算知识系统化。其中，概括有余数除法各部分间的关系，

以及“0为什么不能作除数”是教学的难点。

教学中，可以借助具体实例，帮助学生想清楚、弄明白，化解难点。例如，呈现有余数除法算式30÷4=7……

2，185÷12=15……5，据此让学生思考“怎样求被除数”等问题，进而概括出关系式。再如，借一个非

零的数除以0（如：5÷0=口）与0÷0的例子，让学生对例子的讨论获得“0不能作除数”的结论。这个

过程，也让学生明白了0为什么不能作除数的道理。

三、含括号的混合运算的顺序

突破建议：

1．步步深入，发挥学生的主体作用

教学例4时，首先借助基本式题96÷12＋4X2与例4（1）依次展开数学活动，让学生通过“说”和

“计算”激活已有的混合运算的知识和经验，并把这些知识和经验自然运用到三步式题。然后结合例4（2）

引入中括号，要让学生凭借对小括号的认识，去判定其运算顺序，并完成计算，让学生在亲历中切实感受

和认识中括号的作用，体验含有两重括号的混合运算的运算顺序。最后，请学生总结带有中、小括号的四

则混合运算顺序……从激活已有的知识和经验→认识中括号、完成计算→总结运算顺序，教学任务步步深

入，利用好学生已有的知识和经验，充分发挥学生的主体作用。

2．丰富和提升学生的认识

借助复习，引出“加、减、乘、除四种运算统称四则运算”。在此基础上，还可以说明：加法和减法

叫做第一级运算，乘法和除法叫做第二级运算。有第一级运算、第二级运算的概念，就为学生更科学地总

结概括四则混和运算的运算顺序创造了条件，也为以后学习第三级运算（乘方、开方）做了准备。

四、解决问题

突破建议：

1．创设情境，激发兴趣、激活经验

用课件或挂图创设师生在公园准备租船游湖的情境，请学生用语言描述并提炼相关的信息，让学生切

实感受问题的现实性，激发学生对问题的兴趣，激活学生的生活经验与相应的知识，促使学生积极探索租

船的方案。

2．让学生经历解决问题的一般过程

首先，让学生自己弄懂题意，厘清已知信息数据和要解决的问题。“分析与解答”环节，先引导学生

凭借生活经验与数学知识发现“租大船便宜”，然后再以“空出两个座位”激发学生寻找最省钱的方案。

“回顾与反思”环节，则应加强引导学生总结解决这类问题的一般策略。让学生通过思考探索、讨论交流

等活动明确解决问题的基本步骤，积累解决问题的经验。