直角三角形面积

例析平面直角坐标系中面积的求法

我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时

我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.

一、有一边在坐标轴上

例1如图1，平面直角坐标系中，

△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），

（0，3），（0，－1），

你能求出三角形ABC的面积吗？

分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，

由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是

A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.

解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),

所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，

二、有一边与坐标轴平行

例2如图2，三角形ABC三个顶点的坐标

分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），

求三角形ABC的面积.

分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y

轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点

的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形

ABC的面积.

解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4.

作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，

所以=.

三、三边均不与坐标轴平行

例3如图2,平面直角坐标系中，已知点

A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），

你能求出三角形ABC的面积吗？

分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也

无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形

围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中

一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面

积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面

积，即可求得原三角形的面积.

解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x

轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，

3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）

×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.

平面直角坐标系中的面积问题（提高篇）

“割补法”的应用

一、已知点的坐标，求图形的面积。

1、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（-2，-2），B

（0，-1），C（1，1），求△ABC的面积。

2、在平面直角坐标系中，四边形ABCD的各个顶点的坐标分别为A

（-4，-2）B（4，-2）C（2，2）D（-2，3）。求这个四边形的面积。

3、在平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个点A、B、C、D的坐标

分别为（0，2）、（1，0）、（6，2）、（2，4），求四边形ABCD的面积。

4、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，-1），B（-1，

4），C（-3，1），（1）求△ABC的面积；

（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，

求线段AB扫过的面积。

二、已知面积（可以求面积），求点的坐标

5、在平面直角坐标系中，A（-5，0），B（3，0），点C在y轴上，且△

ABC的面积为12，求点C的坐标。

6、如图，在平面直角坐标系中，A（－4，0），B（6，0），C（2，4），

D（－3，2）。

（1）求四边形ABCD的面积；

（2）若点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积等于四边形ABCD面积

的一半，求P点坐标。

7、已知，点A（-2，0）B（4，0）C（2，4）

（1）求△ABC的面积；

（2）设P为x轴上一点，若

1

2APCPBC

SS

VV

，试求点P的坐标。

8、在平面直角坐标系中，P（1，4），点A在坐标轴上，4

PAO

S

V

，求

点P的坐标

三、点的存在性问题（运动性）

9、在直角坐标系中，A（-4，0），B（2，0），点C在y轴正半轴上，18

ABC

S

V

，

（1）求点C的坐标；

（2）是否存在位于坐标轴上的点P，使得

1

2APCABC

SS

VV

。若存在，请

求出P的坐标，若不存在，说明理由。

10、在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-1，0），（3，0），现

同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别

得到点A、B的对应点C、D，连接AC、BD。

（1）求点C、D的坐标及四边形ABDC的面积；

（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA、PB，使

1

2APBABDC

SS

V四

，

若存在这样的点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由。

11、如图，已知长方形ABCO中，边AB=8，BC=4。以O为原点，OAOC所

在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系。

（1）点A的坐标为（0，4），写出B、C两点的坐标；

（2）若点P从C点出发，以2单位/秒的速度向CO方向移动（不超过点

O）,点Q从原点O出发，以1单位/秒的速度向OA方向移动（不超过点A），

设P、Q两点同时出发，在他们移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发

生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围。

12、如图，在平面直角坐标系中，已知三点A（0，a），B（b，0），C

（b，c），其中a，b，c满足关系式0|1|)3(|2|2bcba

（1）求a，b，c的值；

（2）如果在第二象限内有一点P（m，

2

1

），请用含m的式子表示四边形

ABOP的面积，

（3）若四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等，请求出点P的坐标；

13、在平面直角坐标系中，已知O是原点，四边形ABCD是长方形，A、B、

C的坐标分别是A（-3，1）、B（-3，3）、C（2，3）。

（1）求点D的坐标；

（2）将长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度水平向右平移，2秒钟后

所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标各是多少？

（3）平移（2）中的长方形A1B1C1D1，几秒钟后△OB1D1的面积等于长方形

ABCD的面积？