附合导线

1

闭合导线：

名称表示原理

（导线长）D实测边长总合

（角度总和）∑β实测左角相加的总和

（角度闭合差）Fβ实测左角相加的总和的秒位数

（坐标闭和差）Fx△x计算出的坐标增量之合

Fy△y计算出的坐标增量之合

（距离闭合差）FFx平方加Fy平方开根号

（导线精度）KF/D(1÷F×D)

附合导线：

名称表示原理

（导线长）D实测边长总合

（角度总和）∑β实测左角相加的总和

（角度闭合差）Fβ实测推算出的终点方位角减理论的终点方位角

（坐标闭和差）Fx△x总合减（终点x坐标减起始x坐标）

Fy△y总合减（终点y坐标减起始y坐标）

（距离闭合差）FFx平方+Fy平方开根号

（导线精度）KF/D(1÷F×D)

坐标增量计算：

△x12=D12×cosa12

△y12=D12×sina12

D：实测两点间的距离。

a：实测两点间的方位角。

近似平差方法：①将角度闭合差除以测站数：Fβ÷N（N表示测站数）=∩（角度

均值），然后将角度均值加到实测右角中。

②将Fx平方加Fy平方开根号，得出距离闭合差，用距离闭合差除以观测边长

数得出距离均值，然后将距离均值加到每一条实测边长中。

2

③从起测点开始，再通过公式△x12=D12×cosa12、△y12=D12×sina12求出

坐标增量。用上一测站的坐标加上坐标增量就得出平差后的坐标

第三节导线测量的内业计算

导线测量内业计算的目的就是计算各导线点的平面坐标x、y。

计算之前，应先全面检查导线测量外业记录、数据是否齐全，有无记错、算错，成果是

否符合精度要求，起算数据是否准确。然后绘制计算略图，将各项数据注在图上的相应位置，

如图6-11所示。

一、坐标计算的基本公式

1．坐标正算

根据直线起点的坐标、直线长度及其坐标方位角计算直线终点的坐标，称为坐标正算。

如图6-10所示，已知直线AB起点A的坐标为（xA，yA），AB边的边长及坐标方位角分别为

DAB和αAB，需计算直线终点B的坐标。

直线两端点A、B的坐标值之差，称为坐标增量，用ΔxAB、ΔyAB表示。由图6-10可看

出坐标增量的计算公式为：











ABABABAB

ABABABAB

Dyyy

Dxxx





sin

cos

（6-1）

根据式（6-1）计算坐标增量时，sin和cos函数值随着α角所在象限而有正负之分，

因此算得的坐标增量同样具有正、负号。坐标增量正、负号的规律如表6-5所示。

表6-5坐标增量正、负号的规律

象限坐标方位角αΔxΔy

Ⅰ0˚～90˚＋＋

Ⅱ90˚～180˚－＋

Ⅲ180˚～270˚－－

x

y

x

A

x

B

y

A

y

B

∆y

AB

∆x

AB

α

AB

A

B

O

图6-10坐标增量计算

3

Ⅳ270˚～360˚＋－

则B点坐标的计算公式为：











ABABAABAB

ABABAABAB

Dyyyy

Dxxxx





sin

cos

（6-2）

例6-1已知AB边的边长及坐标方位角为

456380m62.135





ABAB

D，

，若A点的坐标为

m82.658m56.435

AA

yx，

，试计算终点B的坐标。

解根据式（6-2）得

6.792456380sinm62.135m82.658sin

6.457456380cosm62.135m56.435cos













ABABAB

ABABAB

Dyy

Dxx





2．坐标反算

根据直线起点和终点的坐标，计算直线的边长和坐标方位角，称为坐标反算。如图6-10

所示，已知直线AB两端点的坐标分别为（xA，yA）和（xB，yB），则直线边长DAB和坐标方位

角αAB的计算公式为：

22

ABABAB

yxD

（6-3）

AB

AB

ABx

y





arctan

（6-4）

应该注意的是坐标方位角的角值范围在0˚～360˚间，而arctan函数的角值范围在－90

˚～＋90˚间，两者是不一致的。按式（6-4）计算坐标方位角时，计算出的是象限角，因此，

应根据坐标增量Δx、Δy的正、负号，按表6-5决定其所在象限，再把象限角换算成相应

的坐标方位角。

例6-2已知A、B两点的坐标分别为

m72.525m50.304m29.814m99.342

BBAA

yxyx，，，

试计算AB的边长及坐标方位角。

解计算A、B两点的坐标增量

m57.288m29.814m72.525

m49.38m99.342m50.304





ABAB

ABAB

yyy

xxx

根据式（6-3）和式（6-4）得

m13.291m)57.288(m)49.38(2222

ABABAB

yxD

9042262

m49.38

m57.288

arctanarctan

















AB

AB

ABx

y



4

二、闭合导线的坐标计算

现以图6-11所注的数据为例（该例为图根导线），结合“闭合导线坐标计算表”的使用，

说明闭合导线坐标计算的步骤。

1．准备工作

将校核过的外业观测数据及起算数据填入“闭合导线坐标计算表”中，见表6-6，起算

数据用单线标明。

2．角度闭合差的计算与调整

（1）计算角度闭合差如图6-11所示，n边形闭合导线内角和的理论值为：

180)2(

th

n

（6-5）

式中n——导线边数或转折角数。

由于观测水平角不可避免地含有误差，致使实测的内角之和



m



不等于理论值



th



，两者之差，称为角度闭合差，用fβ表示，即

180)2(

th

nf

mm





（6-6）

（2）计算角度闭合差的容许值角度闭合差的大小反映了水平角观测的质量。各级导

线角度闭合差的容许值fβp见表6-3和表6-4，其中图根导线角度闭合差的容许值fβp的计

335°24′00″

108°27′18″

84°10′18″

135°49′11″

90°07′01″

121°27′02″

1

2

3

4

5

x

1

＝500.00m

y

1

＝500.00m

x

图6-11闭合导线略图

5

算公式为：

nf06

p







（6-7）

如果



f

＞

p

f

，说明所测水平角不符合要求，应对水平角重新检查或重测。

如果



f

≤

p

f

，说明所测水平角符合要求，可对所测水平角进行调整。

（3）计算水平角改正数如角度闭合差不超过角度闭合差的容许值，则将角度闭合差

反符号平均分配到各观测水平角中，也就是每个水平角加相同的改正数vβ，vβ的计算公式

为：

n

f

v







（6-8）

计算检核：水平角改正数之和应与角度闭合差大小相等符号相反，即





fv

（4）计算改正后的水平角改正后的水平角βi改等于所测水平角加上水平角改正数



v

ii



改

（6-9）

计算检核：改正后的闭合导线内角之和应为（n－2）×180˚，本例为540˚。

本例中fβ、fβp的计算见表6-5辅助计算栏，水平角的改正数和改正后的水平角见表6-6

第3、4栏。

3．推算各边的坐标方位角

根据起始边的已知坐标方位角及改正后的水平角，按式（4-18）和式（4-19）推算其

它各导线边的坐标方位角。

本例观测左角，按式（4-18）推算出导线各边的坐标方位角，填入表6-6的第五栏内。

计算检核：最后推算出起始边坐标方位角，它应与原有的起始边已知坐标方位角相等，

否则应重新检查计算。

4．坐标增量的计算及其闭合差的调整

（1）计算坐标增量根据已推算出的导线各边的坐标方位角和相应边的边长，按式

（6-1）计算各边的坐标增量。例如，导线边1-2的坐标增量为：

m30.1830042335cosm60.201cos

121212





Dx

6

m92.830042335sinm60.201sin

121212





Dy

用同样的方法，计算出其它各边的坐标增量值，填入表6-6的第7、8两栏的相应格内。

（2）计算坐标增量闭合差如图6-12a所示，闭合导线，纵、横坐标增量代数和的理

论值应为零，即















0

0

th

th

y

x

（6-10）

实际上由于导线边长测量误差和角度闭合差调整后的残余误差，使得实际计算所得的

m

x

、

m

y

不等于零，从而产生纵坐标增量闭合差Wx和横坐标增量闭合差Wy，

即















my

mx

yW

xW

（6-11）

（3）计算导线全长闭合差WD和导线全长相对闭合差WK从图6-12b可以看出，由于坐

标增量闭合差Wx、Wy的存在，使导线不能闭合，1-1′之长度WD称为导线全长闭合差，并用

下式计算

WD=

22

yx

WW

（6-12）

3

4

5

2

1

∆x

12

∆x

23

∆x

34

∆x

45

∆x

51

∆y

12

∆y

23

∆y

34

∆y

45

∆y

51

(＋)

(＋)

(＋)

(＋)

(＋)

(－)(－)

(－)

(－)

(－)

x

y

O

3

4

5

2

1

x

y

O

1′

W

D

W

y

W

x

a)

b)

图6-12坐标增量闭合差

7

仅从WD值的大小还不能说明导线测量的精度，衡量导线测量的精度还应该考虑到导线

的总长。将WD与导线全长∑D相比，以分子为1的分数表示，称为导线全长相对闭合差WK，

即

D

D

W

D

D

W

K







1

（6-13）

以导线全长相对闭合差WK来衡量导线测量的精度，WK的分母越大，精度越高。不同等

级的导线，其导线全长相对闭合差的容许值WKP参见表6-3和表6-4，图根导线的WKP为1/2

000。

如果WK＞WKP，说明成果不合格，此时应对导线的内业计算和外业工作进行检查，必要

时须重测。

如果WK≤WKP，说明测量成果符合精度要求，可以进行调整。

本例中Wx、Wy、WD及WK的计算见表6-6辅助计算栏。

（4）调整坐标标增量闭合差调整的原则是将Wx、Wy反号，并按与边长成正比的原则，

分配到各边对应的纵、横坐标增量中去。以vxi、vyi分别表示第i边的纵、横坐标增量改正

数，即























i

y

yi

i

x

xi

D

D

W

v

D

D

W

v

（6-14）

本例中导线边1-2的坐标增量改正数为：

m05.0m60.201

m80.1137

m30.0

12

12









D

D

W

vx

x

m02.0m60.201

m80.1137

m09.0

12

12









D

D

W

v

y

y

用同样的方法，计算出其它各导线边的纵、横坐标增量改正数，填入表6-6的第7、8

栏坐标增量值相应方格的上方。

计算检核：纵、横坐标增量改正数之和应满足下式

8















yy

xx

Wv

Wv

（6-15）

（5）计算改正后的坐标增量各边坐标增量计算值加上相应的改正数，即得各边的改

正后的坐标增量。











yiii

xiii

vyy

vxx

改

改

（6-16）

本例中导线边1-2改正后的坐标增量为：

m35.183m05.0m30.183

12

1212



x

vxx

改

m90.83m02.0m92.83

12

1212



y

vyy

改

用同样的方法，计算出其它各导线边的改正后坐标增量，填入表6-6的第9、10栏内。

计算检核：改正后纵、横坐标增量之代数和应分别为零。

5．计算各导线点的坐标

根据起始点1的已知坐标和改正后各导线边的坐标增量，按下式依次推算出各导线点

的坐标：















改

改

11

11

iii

iii

yyy

xxx

（6-17）

将推算出的各导线点坐标，填入表6-6中的第11、12栏内。最后还应再次推算起始点

1的坐标，其值应与原有的已知值相等，以作为计算检核。

表6-6闭合导线坐标计算表

9

点号

观测角

（左角）

改正数

″

改正角

坐标方位角

α

距离D

/m

增量计算值改正后增量坐标值

点

号

Δx/mΔy/mΔx/mΔy/mx/my/m

1234=2+35678910111213

1

335°24′

00″

201.60

+5

+183.30

+2

-83.92

+183.35-83.90

500.00500.001

2

108°27′

18″

-10″

108°27′

08″

683.35416.102

263°51′

08″

263.40

+7

-28.21

+2

-261.89

-28.14-261.87

3

84°10′

18″

-10″

84°10′

08″

655.21154.233

168°01′

16″

241.00

+7

-235.75

+2

+50.02

-235.68+50.04

4

135°49′

11″

-10″

135°49′

01″

419.53204.274

123°50′

17″

200.40

+5

-111.59

+1

+166.46

-111.54+166.47

5

90°07′

01″

-10″

90°06′

51″

307.99370.745

33°57′

08″

231.40

+6

+191.95

+2

+129.24

+192.01+129.26

1

121°27′

02″

-10″

121°26′

52″

500.00500.001

335°24′

00″

2

∑540°00′50″-50″

540°00′

00″

1137.80-0.30-0.9000

辅

助

计

算

0500540





m

m30.0

mx

xW

m09.0

my

yW

－）

0000540





th



m31.0

22



yxD

WWW

05







f

2000

1

3600

1

80.1137

31.0

p



KK

WW

413506









p

f





f

＜P

f



10

三、附合导线坐标计算

附合导线的坐标计算与闭合导线的坐标计算基本相同，仅在角度闭合差的计算与坐标增量闭合差的计算方面稍有差别。

1．角度闭合差的计算与调整

（1）计算角度闭合差如图6-13所示，根据起始边AB的坐标方位角

AB



及观测的各右角，按式（4-19）推算CD边的坐标方位角

CD



。

BABB

180

1

1

2

3

4

B

A

C

D

α

AB

α

CD

x

x

205°36′48″

290°40′54″

202°47′08″

167°21′56″

175°31′25″

214°09′33″

α

AB

＝236°44′28″

x

B

＝1536.86m

y

B

＝837.54m

x

C

＝1429.02m

y

C

＝1283.17m

α

CD

＝69°38′01″

图6-13附合导线略图

11

1112

180

B

21223

180

32334

180

CCD





180)

34





mABCD

1805

写成一般公式为：





R

n180

0fin

（6-18）

若观测左角，则按下式计算：





L

n180

0fin

（6-19）

附合导线的角度闭合差fβ为：

finfin









f

（6-20）

（2）调整角度闭合差当角度闭合差在容许范围内，如果观测的是左角，则将角度闭合差反号平均分配到各左角上；如果观测的是右角，则将角度

闭合差同号平均分配到各右角上。

2．坐标增量闭合差的计算

附合导线的坐标增量代数和的理论值应等于终、始两点的已知坐标值之差，即

12















0finth

0finth

yyy

xxx

（6-21）

纵、横坐标增量闭合差为：















)(

)(

0finth

0finth

yyyyyW

xxxxxW

y

x

（6-22）

图6-13所示附合导线坐标计算，见表6-7。

表6-7附合导线坐标计算表

点

号

观测角

（右角）

改正数改正角

坐标方位角

α

距离D

/m

增量计算值改正后增量坐标值

点

号

Δx/mΔy/mΔx/mΔy/mx/my/m

1234=2+35678910111213

A

236°44′

28″

A

B

205°36′

48″

－

13″

205°36′

35″

1536.86837.54

B

211°07′

53″

125.36

＋4

－

107.31

－2

－64.81

－107.27－64.83

1

290°40′

54″

－

12″

290°40′

42″

1429.59772.71

1

100°27′

11″

98.76

＋3

－17.92

－2

＋97.12

－17.89＋97.10

2

202°47′

08″

－

13″

202°46′

55″

1411.70869.81

2

77°40′

16″

114.63

＋4

+30.88

－2

＋141.29

＋30.92＋141.27

3

167°21′

56″

－

13″

167°21′

43″

1442.621011.08

3

90°18′

33″

116.44

＋3

－0.63

－2

＋116.44

－0.60＋116.42

4

175°31′

25″

－

13″

175°31′

12″

1442.021127.50

4

94°47′156.25＋5－3－13.00＋155.67

13

C

214°09′

33″

－

13″

214°09′

20″

1429.021283.17

C

60°38′

01″DD

∑

1256°07′

44″

－

77″

1256°06′

25″

641.44

－

108.03

＋445.74－107.84＋445.63

辅

助

计

算

4463601806

R











ABCD

03.108

m

x74.445

m

y

711









CDCD

f



84.107)

BC

xx63.445)

BC

yy

714606

p











f

m19.0

x

W

m11.0

y

W



f

＜

p

fm22.0

22



yxD

WWf

2000

1

2900

1

44.641

22.0

p



KK

WW

三、支导线的坐标计算

支导线中没有检核条件，因此没有闭合差产生，导线转折角和计算的坐标增量均不需要进行改正。支导线的计算步骤为：

1．根据观测的转折角推算各边的坐标方位角。

2．根据各边坐标方位角和边长计算坐标增量。

3．根据各边的坐标增量推算各点的坐标。