正弦图像

正弦、余弦函数的图象

一、教材分析

本节课是高中数学必修4第1章第4节第1课时的内容，是利用多媒体教学

生画出正弦函数、余弦函数的图象。根据正弦线画出函数2,0,sinxxy

的图

像，利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，并且介绍了用五点法画正弦函数、

余弦函数的简图。它是在学习了三角函数的基础知识上展开的，又为今后学习正

弦型函数wxAysin

的图象及运用数形结合思想研究正余弦函数的性质打

下坚实的知识基础，因此本节课的内容起到了承上启下的作用。

二、学情分析

学生已经掌握了正弦线、诱导公式等三角函数知识和一些基本函数的图象及

其画法，这为本节课的学习奠定了知识上的基础。利用正弦线画出正弦函数图象

时，学生难以想到平移正弦线的作用，理解图象的形成过程有一定的困难。五点

法画正余弦函数的简图时，由于五点的选取和往常不一样，因此选关键点会遇到

一些障碍。

三、教学重难点

教学重点：正弦函数和余弦函数的图象；

教学难点：利用正弦线画正弦函数图象，正、余弦函数图像间的关系，五点

法画正余弦函数图象。

四、教学目标

知识与技能目标：能刻画正、余弦函数图象；应用“五点法”作出正弦函数、

余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；

过程与方法目标：通过体验利用单位圆中的正弦线作出的正弦函数图象的过

程，体会数形结合的思想。利用正余弦函数的关系感知其函数图象间的关系。能

够阐明并使用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法；

情感、态度与价值观目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，加深对数形结

合的感悟；

五、教学过程

1、情境引入：

“装满细沙的漏斗在做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直运动的木板上

的轨迹”。

思考：该曲线是何曲线？你有办法画出该曲线的图象吗？

明确研究思想，利用简谐振动图象引出正弦曲线、余弦曲线。

2、温故知新：

（1）作函数图像的方法：描点法、图像变换法

【设计意图】：复习前知，为新知作铺垫。

（2）单位圆中的三角函数线

复习单位圆中正弦线、余弦线、正切线的作法，并且强调三角函数线是有

向线段。

【设计意图】：复习前知，为利用正弦线画正弦函数做准备。

（3）如何画出正弦函数（sin,yxxR）、余弦函数（cos,yxxR）图

像？

提示：利用三角函数线

【设计意图】：对三角函数线的复习起前后呼应的效果。

给出思考：

通过上述实验，我们对正弦函数图像有了直观印象，那如何画出函数

y=sinx,x∈[0,2π]的图像呢？----描点法

先请同学们在直角坐标系中作点(,sin)

33



？——粗略描点法和几何描点法

【设计意图】：体会用学过的“粗略描点法”作图像的麻烦和不准确。

画出函数y=sinx,x∈[0,2π]图象（几何描点法）：

探究过程：（老师提示，学生分组讨论）

（1）我们可以用单位圆中的三角函数线来刻画三角函数，那是否可以用它来

帮助作三角函数图像呢？

【设计意图】：建立单位圆的三角函数线与三角函数图像之间的联系，引出利用

正弦线作正弦函数图像的方法。

【师生活动】：教师讲解利用单位圆中的正弦线作正弦函数图像的方法。学生思

考如何得到图像上的一个点，即对于自变量x，如何利用正弦线确定它所对应的

y的值？

（2）为什么要从单位圆与x轴交点A开始，将单位圆分成12等份？

【设计意图】：使学生认识这样可以把正弦函数有代表性的取值都包括在内，以

便较准确地做出图像，体会用学过的“描点法”作图像取点的技巧和合理性。

【师生活动】：教师指导学生思考。学生讨论，分析各个角度正弦线的位置。

（3）如何利用正弦线描出正弦函数图像上的一些点呢？

【设计意图】：进一步明确如何利用单位圆中的正弦线画正弦函数图像。

【师生活动】：教师注意引导学生分析图像上的点与单位圆中的圆心角及其对应

的正弦线之间的关系。学生思考如何利用正弦线描出图像。

（4）按照教科书叙述的步骤,描出12个点,做出函数y=sinx,x∈[0,2π]

的图像。

【设计意图】：培养学生的动手操作能力，形成对正弦函数图像感知。

【师生活动】：教师指导学生动手画图，学生动手画图。

y=sinx,x∈[0,2π]

M1

P1

M2

P2

M1’

P1’

M2’

P2’

1

-1

π

2π

x

y

O

2

3

2

'O

作图过程：

（1）在直角坐标系的x轴上任意取一点O1，以O1为圆心作单位圆；

（2）从圆O1与x轴的交点A起把圆O1分成12等份（份数宜取6的倍数，份数

越多）画出的图象越精确）；

（3）再把x轴上从0到2

这一段（≈6.28）分成12等份；

（4）过圆O1上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0、

6



、

3



、

2



、„、

2

等角的正弦线；

（5）把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合；

（6）再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到函数y=sinx,x∈

[0,2π]的图象。

3、新知拓展：

如何做出函数sin,yxxR的图像？

因为终边相同的角有相同的三角函数值，三角函数值有周而复始的变化规律。所

以函数sinyx在[0,2)x的图象与函数sinyx，

[2,2(1)),(,0)xkkkZk的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是只

要将它向左、右平行移动（每次2

个单位长度），就可以得到正弦函数

sin,()yxxR的图象，即正弦曲线。

【设计意图】：引导学生利用诱导公式（一），只要将函数y=sinx,x∈[0,2

π]的图像左、右平移（每次2

个单位长度）就可以得到函数y=sinx,x∈R

的图像。

【师生活动】：教师提示学生从诱导公式入手，进行思考。学生思考问题，总结

规律，动手画图。

你能根据诱导公式，以正弦函数的图像为基础，通过适当的图形变换得到余

弦函数的图像吗？

由cossin()

2

yxx



知，把正弦图像向左平移

2



个单位即得余弦函数图像。

探究：能否将正弦函数右移

3

2



个单位得到余弦函数图像呢？

可以，由

3

cossin()

2

yxx



可知。

【设计意图】：使学生从函数解析式之间的关系思考函数图像之间的关系，进而

学习通过图象变换画余弦函数图像的方法，让学生感受有了一个函数图像为基础

时，可以通过图像变换得到另一函数的图像，降低作图的难度。

【师生活动】：教师引导学生思考。学生利用诱导公式，回答两个函数之间的关

系，再用坐标变换做出余弦函数图像。

提问在做出正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图像时，应抓住哪些关键

点？

五点作图法：(0,0)、(,1)

2



、(,0)

、

3

(,1)

2



、(2,0)

【设计意图】：从对图像的整体观察入手，引出“五点法”。

【师生活动】：教师提出问题。学生通过观察图像，确定在[0,2π]上起关键作用

的五个点，并通过描出五个点做图像。

类似于正弦函数图像的五个关键点，你能找出余弦函数图像的五个关键点

吗？请将它们的坐标写出来，然后做出函数y=cosx,x∈[0,2π]的简图。

五点作图法：(0,1)、(,0)

2



、(,1)、

3

(,0)

2



、(2,1)

【设计意图】：类比正弦函数，学会“五点法”作余弦函数的简图。

【师生活动】：教师提出思考的问题，引导学生回答。学生通过类比，确定余弦

函数图像的五个关键点并做出在上的图像。

4、例题分析：

例题1.画出下列函数的简图：

（1）y=1+sinx，x∈[0,

2]

课本思考题：

你能否从函数图像变换的角度出发，利用函数y=sinx，x∈[0,

2]的

图像来得到函数y=1+sinx，x∈[0,

2]的图像？【设计意图】：使学生从图

象变换的角度认识函数之间的关系。

【师生活动】：教师提出思考问题。学生独立完成，回答问题。

练习画出下列函数的简图：

（1）cos,[0,2]yxx（2）

3

2sin1,[,]

22

yxx





同样的，你能否从函数图像变换的角度出发，从函数y=cosx，x∈[0,2π]的

图像得到函数y=-cosx，x∈[0,2π]的图像？

探究：能否用五点法画出sinyx

13

[,]

66

x



、cosyx

11

[,]

66

x



图像？

【设计意图】：巩固“五点法”。

【师生活动】：师生共同用“五点法”画出例1的图像，然后由学生独立完成练

习1，并总结图像的作法。

5、课堂小结：

通过这节课的学习，同学们，你们有什么收获吗？

引导学生作如下小结:1.代数描点法（误差大）；2.几何描点法（精确

但步骤繁）；3.五点法（重点掌握）------简图；4.平移（正弦函数图像-------

余弦函数图像）

【设计意图】：反思学习过程，对研究正弦函数、余弦函数图像的方法进行概括，

深化认识。

【师生互动】：学生思考回答。教师补充完善。

10、布置作业：

1.画出下列函数的简图。

(1)y=1-sinxx∈[0,2π](2)y=3cosx

5

[,]

22

x



(3)y=0.5sinx

3

[,]

22

x





【设计意图】：巩固“五点法”。

2.思考题：用五点法画出函数sin2yx[0,2]x图像

【设计意图】：巩固“五点法”，并让学生思考判断五点的横坐标有什么不同