决胜中考

2020年决胜中考经典专题分析

专题12全等模型—“一线三等角”

一线三等角模型，顾名思议，一线三等角是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型贯穿初中

几何的始终，在相似三角形这个章节中是很重要的知识点，下面来具体分析一下。

1，等腰直角三角形一线三等角模型

口诀：多个垂直先倒角相等，互余角少不了

分析1：已知△OAB是等腰直角三角形，过点O作直线CD且AD⊥CD，BC⊥CD，

由题意得，∵△OAB是等腰直角三角形

∴∠BOA=90°OB=OA

即∠COB＋∠AOD=90°

又因为AD⊥CD，BC⊥CD

所以∠COB＋∠CBO=90°（互余角）

∠DAO＋∠AOD=90°（互余角）

因此∠CBO＋∠DAO=90°（互余角）

则有∠COB=∠DAO∠CBO=∠AOD

综上结论，则有

在△BCO和△ODA中

∠COB=∠DAO

OB=OA（角边角）

∠CBO=∠AOD

因此△BCO≌△ODA

分析2，已知△OAB是等腰直角三角形，做一条直线穿过∠BOA，AD⊥CD，BC⊥CD，如下图所示：

由题意得，∵△OAB是等腰直角三角形

∴∠BOA=90°OB=OA

即∠COB＋∠AOD=90°

又因为AD⊥CD，BC⊥CD

所以∠COB＋∠CBO=90°（互余角）

∠DAO＋∠AOD=90°（互余角）

因此∠CBO＋∠DAO=90°（互余角）

则有∠COB=∠DAO，∠CBO=∠AOD

综上结论，则有

在△BCO和△ODA中，∠COB=∠DAO，OB=OA，∠CBO=∠AOD

因此△BCO≌△ODA

“一线三等角”全等模型——适用于直角的情况

条件：∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°，AC=BA,结论：△ACE≌△BAF.

由题意得，∵∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°

∴∠EAC＋∠BAF=90°（互余角），∠EAC＋∠ECA=90°，∠ABF＋∠BAF=90°，

即∠ABF=∠EAC，

在△ACE和△BAF中，

∠ABF=∠EAC

∠BFA=∠AEC（角角边）

AC=BA

因此：△ACE≌△BAF（AAS）

则有：CE=AF，AE=BF，EF=CE＋BF．

条件：∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°，AC=BA,结论：△ACE≌△BAF

由题意得，∵∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°

∴∠EAC＋∠BAF=90°（互余角）

∠EAC＋∠ECA=90°

∠ABF＋∠BAF=90°

即∠ABF=∠EAC

在△ACE和△BAF中

∠ABF=∠EAC

∠BFA=∠AEC（角角边）

AC=BA

因此：△ACE≌△BAF（AAS）

则有：CE=AFAE=BF

EF=BF－EC

【典例1】：已知，如图所示，B,C,E三点在同一条直线上，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD,则不正确的

结论是（）

A,∠A与∠D互为余角B,∠A=∠DCE

C,△ABC≌△CEDD,∠ACB=∠DCE

【答案】D

【精准解析】由题意得因为AC⊥CD，所以∠ACD=90°，所以∠ACB＋∠DCE=90°故选择D

又因为∠B=∠E=90°

所以∠A＋∠ACB=90°∠D＋∠DCE=90°

∠A=∠DCE∠ACB=∠D故B正确

所以∠A＋∠D=90°故A正确

再根据全等三角形判定定理得：AC=CD∠B=∠E∠A=∠DCE

因此最终答案是D

2，“一线三等角”全等模型的拓展——同时也适用于锐角和钝角的情况

条件：∠CAE=∠B=∠D，AC=AE

结论：△ABC≌△EDA

由题意得，∠CAB＋∠CAE＋∠EAD=180°

∠CAB＋∠B＋∠C=180°

∵∠CAE=∠B

∴∠C=∠EAD

在△CAB和△EAD中，∠B=∠D，∠C=∠EAD，AC=AE，

因此△CAB≌△EAD（AAS）

所以BC=AD，AB=DE，BD=BC＋DE

由题意得，∠CAB＋∠CAE＋∠EAD=180°

∠CAB＋∠B＋∠C=180°

∵∠CAE=∠B

∴∠C=∠EAD

在△CAB和△EAD中，∠B=∠D，∠C=∠EAD，AC=AE，

因此△CAB≌△EAD（AAS），

锐角和钝角的结论：BC=AD，AB=DE，BD=BC＋DE．

【典例2】：在三角形ABC中，∠A=40°，∠B=∠C，BE=CD,BD=CF,求∠EDF的度数?

【答案】由题意得

在△BDE和△CFD中

BE=CD

∠B=∠C（边角边）

BD=CF

所以△BDE≌△CFD

∵∠BDE＋∠EDF＋∠FDC=180°

∠BDE＋∠B＋∠BED=180°

∵∠EDF=∠B

又因为∠A=40°∠B=∠C

根据三角形内角和得∠B=∠EDF=∠B=70°=70°

因此∠EDF=∠B=70°

【精准解析】根据已知条件证明△BDE≌△CFD，即ED=DF，∠EDF=∠B=∠C，因此属于一线三等角模型，

已知∠A=40°，即先求∠B=∠C=70°，即可得出答案

【典例3】如图，在三角形ABC中，依然有AB=AC,若点B,C位于直线l的两侧，若果∠BDA＋∠BAC=180°，

∠BDA=∠AEC，求证BD=CE＋DE

【答案】由题意得

∵∠BDA＋∠BAC=180°∠BDA＋∠BDE=90°

∴∠BAC=∠BDE

又∵∠ABD＋∠BAD=∠BDE∠CAE＋∠BAD=∠BAC

∴∠ABD=∠CAE

在△BDA和△CEA中

∠ABD=∠CAE

∠BDA=∠AEC（角角边）

AB=AC

所以△BDA≌△CEA

即AD=CEBD=AE

因此BD=CE＋DE

【精准答案】首先证明△BDA≌△CEA，由此得到AD=CEBD=AE，即可得出答案