直线公式

word.

直线与圆常见公式结论

1、斜率公式21

21

yy

k

xx







（

111

(,)Pxy、

222

(,)Pxy）.

2、直线的五种方程（熟练掌握两点和截距式、一般式）

（1）点斜式

11

()yykxx(直线l过点

111

(,)Pxy，且斜率为k)．

（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).

（3）两点式11

2121

yyxx

yyxx







(

12

yy)(

111

(,)Pxy、

222

(,)Pxy(

12

xx)).

(4)截距式1

xy

ab

(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)

（5）一般式0AxByC(其中A、B不同时为0).

点法式和点向式在求直线方程时较直观.

3、两条直线的平行和垂直

(1)若

111

:lykxb，

222

:lykxb

①

121212

||,llkkbb;

②

1212

1llkk.

(2)若

1111

:0lAxByC,

2222

:0lAxByC,且A

1

、A

2

、B

1

、B

2

都不为零,

①111

12

222

||

ABC

ll

ABC

；111

12

222

ABC

ll

ABC

与重合

②

121212

0llAABB；

4、到角公式和夹角公式

1

l到

2

l的角公式

(1)21

21

tan

1

kk

kk









.

(

111

:lykxb，

222

:lykxb,

12

1kk)

(2)1221

1212

tan

ABAB

AABB









.(

1111

:0lAxByC,

2222

:0lAxByC,

1212

0AABB).

夹角公式

(1)21

21

tan||

1

kk

kk









.(

111

:lykxb，

222

:lykxb,

12

1kk)

(2)1221

1212

tan||

ABAB

AABB









.(

1111

:0lAxByC,

2222

:0lAxByC,

1212

0AABB

).

直线

12

ll时，直线l

1

与l

2

的夹角是

2



.

当

121212

10kkAABB或时，直线

12

ll，直线l

1

到l

2

的角及l

1

及l

2

的夹角都是

2



.

word.

5、四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点

000

(,)Pxy的直线系方程为

00

()yykxx(除直线

0

xx),其中k是待定的系数;经过定点

000

(,)Pxy的直线系方程为

00

()()0AxxByy,其中,AB是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线

1111

:0lAxByC,

2222

:0lAxByC的交点

的直线系方程为

111222

()()0AxByCAxByC(除

2

l)，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线

系方程．与直线0AxByC平行的直线系方程是0AxBy(0)，λ是

参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线0AxByC(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是

0BxAy,λ是参变量．

6、点到直线的距离

00

22

||AxByC

d

AB







(点

00

(,)Pxy,直线l：0AxByC).

7、两条平行线：

1122

:0:0lAxByClAxByC与之间的距离是：

12

22

||CC

d

AB







.

8、点(,)Puv关于点(,)Qst的对称点的坐标为：(2,2)sutv.特别地，点(,)Puv关于原

点的对称点的坐标为：(20,20)uv，即(,)uv.

9、直线0AxByC关于点(,)Puv对称的直线的方程为：

(2)(2)0AuxBvyC.

直线0AxByC关于原点、x轴，y轴对称的直线的方程分别为：

()()0AxByC，

()0AxByC，()0AxByC.

10、直线0AxByC关于直线,xuyv对称的直线的方程分别为：

(2)0AuxByC，(2)0AxBvyC.

11、曲线(,)0fxy关于点(,)Puv对称的直线的方程为：(2,2)0fuxvy.

12、点(,)Pst关于直线0AxByC的对称点的坐标为：

22

0

(2

AsByC

sA

AB







，

22

0

2)

AsByC

tB

AB







.特别地，当||||0AB时，点(,)Pst关于直线0AxByC

的对称点的坐标为：(,)

BtCAsC

AB



.点(,)Pst关于

x

轴、y轴，直线

xu

，直线yv

的对称点的坐标分别为：(,),(,),(2,),(,2)ststustsvt.

13、圆的四种方程

（1）圆的标准方程222()()xaybr.

（2）圆的一般方程220xyDxEyF(224DEF＞0).

（3）圆的参数方程

cos

sin

xar

ybr















.

（4）圆的直径式方程

1212

()()()()0xxxxyyyy(圆的直径的端点是

11

(,)Axy、

22

(,)Bxy).

word.

14、圆系方程

(1)过点

11

(,)Axy,

22

(,)Bxy的圆系方程是

1212112112

()()()()[()()()()]0xxxxyyyyxxyyyyxx

1212

()()()()()0xxxxyyyyaxbyc,其中0axbyc是直线

AB的方程,λ是待定的系数．

(2)过直线l:0AxByC与圆C:220xyDxEyF的交点的圆系方程

是22()0xyDxEyFAxByC,λ是待定的系数．

(3)过圆

1

C:22

111

0xyDxEyF与圆

2

C:22

222

0xyDxEyF的交

点的圆系方程是2222

111222

()0xyDxEyFxyDxEyF,λ是待定的

系数．

15、点与圆的位置关系

点

00

(,)Pxy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种

若22

00

()()daxby，则

dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.

16、直线与圆的位置关系

直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:

0相离rd;0相切rd;0相交rd.

其中

22BA

CBbAa

d





.

17、两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO

21

条公切线外离4

21

rrd;

条公切线外切3

21

rrd;

条公切线相交2

2121

rrdrr;

条公切线内切1

21

rrd;

无公切线内含

21

0rrd.

18、圆的切线方程

(1)已知圆220xyDxEyF．

①若已知切点

00

(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是

00

00

()()

0

22

DxxEyy

xxyyF



.

当

00

(,)xy圆外时,00

00

()()

0

22

DxxEyy

xxyyF



表示过两个切点的切

点弦方程．

②过圆外一点

00

(,)Pxy的切线方程可设为

00

()yykxx，再利用相切条件求k，

这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线．

(2)已知圆222xyr．

①过圆上的

000

(,)Pxy点的切线方程为2

00

xxyyr

;

②斜率为k的圆的切线方程为21ykxrk.

word.

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