建筑工程测量

建筑工程测量测量误差的基本知识概要

第五节测量误差基础知识

一、测量误差概述

1．测量误差产生的原因

测量时，由于各种因素会造成少许的误差，这些因素必须去了解，并有效的

解决，方可使整个测量过程中误差减至最少。实践证明，产生测量误差的原因主

要有以下三个方面。

（1）人为因素。由于人为因素所造成的误差，包括观测者的技术水平和感

觉器管的鉴别能力有一定的局限性，主要体现在仪器的对中、照准、读数等方面。

（2）测量仪器的原因。由于测量仪器的因素所造成的误差，包括测量仪器

在构造上的缺陷、仪器本身的精度、磨耗误差和使用前未经校正等因素。

（3）环境因素。外界观测条件是指野外观测过程中，外界条件的因素，如

天气的变化、植被的不同、地面土质松紧的差异、地形的起伏、周围建筑物的状

况，以和太阳光线的强弱、照射的角度大小等。

测量时受环境或场地之不同，可能造成的误差有热变形误差和随机误差为最显

着。热变形误差通常发生于因室温、人体接触和加工后工件温度等情形下，因此

必须在温湿度控制下，不可用手接触工件和量具、工件加工后待冷却后才测量。

但为了缩短加工时在加工中需实时测量，因此必须考虑各种材料之热胀系数作为

补偿，以因应温度材料的热膨胀系数不同所造成的误差。

在实际的测量工作中，大量实践表明，当对某一未知量进行多次观测时，不

论测量仪器有多精密，观测进行得多么仔细，所得的观测值之间总是不尽相同。

这种差异都是由于测量中存在误差的缘故。测量所获得的数值称为观测值。由于

观测中误差的存在而往往导致各观测值与其真实值（简称为真值）之间存在差异，

这种差异称为测量误差（或观测误差）。用L代表观测值，X代表真值，则误差=

观测值L—真值X，即

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XL（5-1）

这种误差通常又称之为真误差。

由于任何测量工作都是由观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下

进行的，所以，观测误差来源于以下三个方面：观测者的视觉鉴别能力和技术水

平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏。通常我们把这三个方面综

合起来称为观测条件。观测条件将影响观测成果的精度：若观测条件好，则测量

误差小，测量的精度就高；反之，则测量误差大，精度就低；若观测条件相同，

则可认为精度相同。在相同观测条件下进行的一系列观测称为等精度观测；在不

同观测条件下进行的一系列观测称为不等精度观测。

由于在测量的结果中含有误差是不可避免的，因此，研究误差理论的目的不

是为了去消灭误差，而是要对误差的来源、性质和其产生和传播的规律进行研究，

以便解决测量工作中遇到的一些实际问题。例如：在一系列的观测值中，如何确

定观测量的最可靠值；如何来评定测量的精度；以和如何确定误差的限度等。所

有这些问题，运用测量误差理论均可得到解决。

二、测量误差的分类

测量误差按其性质可分为系统误差和偶然误差两类：

（一）系统误差

在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，若误差的大小和符号

保持不变，或按照一定的规律变化，这种误差称为系统误差。例如水准仪的视准

轴与水准管轴不平行而引起的读数误差，与视线的长度成正比且符号不变；经纬

仪因视准轴与横轴不垂直而引起的方向误差，随视线竖直角的大小而变化且符号

不变；距离测量尺长不准产生的误差随尺段数成比例增加且符号不变。这些误差

都属于系统误差。

系统误差主要来源于仪器工具上的某些缺陷；来源于观测者的某些习惯的影

响，例如有些人习惯地把读数估读得偏大或偏小；也有来源于外界环境的影响，

如风力、温度和大气折光等的影响。

系统误差的特点是具有累积性，对测量结果影响较大，因此，应尽量设法消

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除或减弱它对测量成果的影响。方法有两种：一是在观测方法和观测程序上采取

一定的措施来消除或减弱系统误差的影响。例如在水准测量中，保持前视和后视

距离相等，来消除视准轴与水准管轴不平行所产生的误差；在测水平角时，采取

盘左和盘右观测取其平均值，以消除视准轴与横轴不垂直所引起的误差。另一种

是找出系统误差产生的原因和规律，对测量结果加以改正。例如在钢尺量距中，

可对测量结果加尺长改正和温度改正，以消除钢尺长度的影响。

（二）偶然误差

在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，如果观测误差的大小

和符号没有明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号均呈现偶然性，这

种误差称为偶然误差。例如在水平角测量中照准目标时，可能稍偏左也可能稍偏

右，偏差的大小也不一样；又如在水准测量或钢尺量距中估读毫米数时，可能偏

大也可能偏小，其大小也不一样，这些都属于偶然误差。

产生偶然误差的原因很多，主要是由于仪器或人的感觉器官能力的限制，如

观测者的估读误差、照准误差等，以和环境中不能控制的因素如不断变化着的温

度、风力等外界环境所造成。

偶然误差在测量过程中是不可避免的，从单个误差来看，其大小和符号没有

一定的规律性，但对大量的偶然误差进行统计分析，就能发现在观测值内部却隐

藏着一种必然的规律，这给偶然误差的处理提供了可能性。

测量成果中除了系统误差和偶然误差以外，还可能出现错误（有时也称之为

粗差）。错误产生的原因较多，可能申请信英语作文 由作业人员疏忽大意、失职而引起，如大数读

错、读数被记录员记错、照错了目标等；也可能是仪器自身或受外界干扰发生故

障引起的；还有可能是容许误差取值过小造成的。错误对观测成果的影响极大，

所以在测量成果中绝对不允许有错误存在。发现错误的方法是：进行必要的重复

观测，通过多余观测条件，进行检核验算；严格按照国家有关部门制定的各种测

量规范进行作业等。

在测量的成果中，错误可以发现并剔除，系统误差能够加以改正，而偶然误

差是不可避免的，它在测量成果中占主导地位，所以测量误差理论主要是处理偶

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然误差的影响。下面详细分析偶然误差的特性。

三、偶然误差的特性

偶然误差的特点具有随机性，所以它是一种随机误差。偶然误差就单个而言

具有随机性，但在总体上具有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变量。

在测量实践中，根据偶然误差的分布，我们可以明显地看出它的统计规律。

例如在相同的观测条件下，观测了217个三角形的全部内角。已知三角形内角之

和等于180，这是三内角之和的理论值即真值X，实际观测所得的三内角之和即

观测值L。由于各观测值中都含有偶然误差，因此各观测值不一定等于真值，其差

即真误差。以下分两种方法来分析：

（一）表格法

由（5-1）式计算可得217个内角和的真误差，按其大小和一定的区间（本例

为d=3″），分别统计在各区间正负误差出现的个数k和其出现的频率k/n

（n=217），列于表5-1中。

从表5-1中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：小误差出现的个数

比大误差多；绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率大致相等；最大误差不

超过27″。

实践证明，对大量测量误差进行统计分析，都可以得出上述同样的规律，且

观测的个数越多，这种规律就越明显。

表5-1三角形内角和真误差统计表

误

差区间

d△

正误差负误差合计

个

数k

频

率k/n

个

数k

频

率k/n

个

数k

频

率k/n

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0″～

3″

3″～

6″

6″～

9″

9″～

12″

12″

～15″

15″

～18″

18″

～21″

21″

～24″

24″

～27″

27″

以上

30

21

15

14

12

8

5

2

1

0

0.1

38

0.0

97

0.0

69

0.0

65

0.0

55

0.0

37

0.0

23

0.0

09

0.0

05

0

29

20

18

16

10

8

6

2

0

0

0.1

34

0.0

92

0.0

83

0.0

73

0.0

46

0.0

37

0.0

28

0.0

09

0

0

59

41

33

30

22

16

11

4

1

0

0.2

72

0.1

89

0.1

52

0.1

38

0.1

01

0.0

74

0.0

51

0.0

18

0.0

05

0

合

计

108

0.4

98

109

0.5

02

217

1.0

00

（二）直方图法

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为了更直观地表现误差的分布，可将表5-1的数据用较直观的频率直方图来

表示。以真误差的大小为横坐标，以各区间内误差出现的频率k/n与区间d△的比

值为纵坐标，在每一区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形，则各矩形的面积等

于误差出现在该区间内的频率k/n。如图5-1中有斜线的矩形面积，表示误差出现

在+6″～+9″之间的频率，等于0.069。显然，所有矩形面积的总和等于1。

可以设想，如果在相同的条件下，所观测的三角形个数不断增加，则误差出

现在各区间的频率就趋向于一个稳定值。当n→∞时，各区间的频率也就趋向于一

个完全确定的数值——概率。若无限缩小误差区间，即d△→0，则图5-1各矩形

的上部折线，就趋向于一条以纵轴为对称的光滑曲线（如图5-2所示），称为误差

概率分布曲线，简称误差分布曲线，在数理统计中，它服从于正态分布，该曲线

的方程式为

式中：为偶然误差；（＞0）为与观测条件有关的一个参数，称为误差分

布的标准差，它的大小可以反映观测精度的高低。其定义为：

在图5-1中各矩形的面积是频率k/n。由概率统计原理可知，频率即真土三七 误差出

2

2

2

2

1

)(







ef

（5-2）



nn







lim

（5-3）

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现在区间d△上的概率P（），记为

根据上述分析，可以总结出偶然误差具有如下四个特性：

（1）有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限

值；

（2）集中性：即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；

（3）对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；

（4）抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。

即



0lim



nn

（5-5）

式中







n

i

in

1

21



在数理统计中，也称偶然误差的数学期望为零，用公式表示为E（）=0。

图5-2中的误差分布曲线，是对应着某一观测条件的，当观测条件不同时，





dfd

d

nk

P)(

/

)(

（5-4）

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其相应误差分布曲线的形状也将随之改变。例如图5-3中，曲线I、II为对应着

两组不同观测条件得出的两组误差分布曲线，它们均属于正态分布，但从两曲线

的形状中可以看出两组观测的差异。当=0时，

2

1

)(

1

1

f，

2

1

)(

2

2

f。

2

1

1

、

2

1

2

是这两误差分布曲线的峰值，其中曲线I的峰值较曲线II的高，

即

1

＜

2

，故第I组观测小误差出现的概率较第II组的大。由于误差分布曲线

到横坐标轴之间的面积恒等于1，所以当小误差出现的概率较大时，大误差出现的

概率必然要小。因此，曲线I表现为较陡峭，即分布比较集中，或称离散度较小，

因而观测精度较高。而曲线II相对来说较为平缓，即离散度较大，因而观测精度

较低。

第二节评定精度的指标

研究测量误差理论的主要任务之一，是要评定测量成果的精度。在图5-3中，

从两组观测的误差分布曲线可以看出：凡是分布较为密集即离散度较小的，表示

该组观测精度较高；而分布较为分散即离散度较大的，则表示该组观测精度较低。

用分布曲线或直方图虽然可以比较出观测精度的高低，但这种方法即不方便也不

实用。因为在实际测量问题中并不需要求出它的分布情况，而需要有一个数字特

征能反映误差分布的离散程度，用它来评定观测成果的精度，就是说需要有评定

精度的指标。在测量中评定精度的指标有下列几种：

一、中误差

由上节可知（5-3）式定义的标准差是衡量精度的一种指标，但那是理论上的

表达式。在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实际应用中，以有限次观测

个数n计算出标准差的估值定义为中误差m，作为衡量精度的一种标准，计算公式

为

n

m

][



（5-6）

【例5-1】有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角形的内角，得三角

形的闭合差（即三角形内角和的真误差）分别为：

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甲：+3″、+1″、-2″、-1″、0″、-3″；

乙：+6″、-5″、+1″、-4″、-3″、+5″。

试分析两组的观测精度。

【解】用中误差公式（5-6）计算得：





3.4

6

534156][

0.2

6

301213][

2

22

222

2

2

22

22

























）（

乙

甲

n

m

n

m

从上述两组结果中可以看出，甲组的中误差较小，所以观测精度高于乙组。

而直接从观测误差的分布来看，也可看出甲组观测的小误差比较集中，离散度较

小，因而观测精度高于乙组。所以在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成

果的精度。

注意：在一组同精度的观测值中，尽管各观测值的真误差出现的大小和符号

各异，而观测值的中误差却是相同的，因为中误差反映观测的精度，只要观测条

件相同，则中误差不变。

在公式（5-2）中，如果令f（）的二阶导数等于0，可求得曲线拐点的横

坐标=≈m。也就是说，中误差的几何意义即为偶然误差分布曲线两个拐点

的横坐标。从图5-3也可看出，两条观测条件不同的误差分布曲线，其拐点的横

坐标值也不同：离散度较小的曲线I，其观测精度较高，中误差较小；反之离散度

较大的曲线II，其观测精度较低，中误差则较大。

二、相对误差

真误差和中误差都有符号，并且有与观测值相同的单位，它们被称为“绝对

误差”。绝对误差可用于衡量那些诸如角度、方向等其误差与观测值大小无关的观

测值的精度。但在某些测量工作中，绝对误差不能完全反映出观测的质量。例如，

用钢尺丈量长度分别为100m和200m的两段距离，若观测值的中误差都是2cm，

不能认为两者的精度相等，显然后者要比前者的精度高，这时采用相对误差就比

较合理。相对误差K等于误差的绝对值与相应观测值的比值。它是一个不名数，

常用分子为1的分式表示，即

建筑工程测量测量误差的基本知识概要

T

1



观测值

误差的绝对值

相对误差

式中当误差的绝对值为中误差m的绝对值时，K称为相对中误差。

m

D

D

m

K

1

（5-7）

在上例中用相对误差来衡量，则两段距离的相对误差分别为1/5000和

1/10000，后者精度较高。在距离测量中还常用往返测量结果的相对较差来进行检

核。相对较差定义为

D

D

D

D

D

DD











平均

平均平均

返

往1

（5-8）

相对较差是真误差的相对误差，它反映的只是往返测的符合程度，显然，相

对较差愈小，观测结果愈可靠。

三、极限误差和容许误差

（一）极限误差

由偶然误差的特性一可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超

过一定的限值。这个限值就是极限误差。在一组等精度观测值中，绝对值大于m

（中误差）的偶然误差，其出现的概率为31.7%；绝对值大于2m的偶然误差，其

出现的概率为4.5%；绝对值大于3m的偶然误差，出现的概率仅为0.3%。

根据式（5-2）和式（5-4）有

上式表示真误差出现在区间（-，+）内的概率等于0.683，或者说误差出

现在该区间外的概率为0.317。同法可得

683.0

2

1

)(2

2

2





















dedfP

建筑工程测量测量误差的基本知识概要

上列三式的概率含义是：在一组等精度观测值中，绝对值大于的偶然误差，

其出现的概率为31.7%；绝对值大于2的偶然误差，其出现的概率为4.5%；绝对

值大于3的偶然误差，出现的概率仅为0.3%。

在测量工作中，要求对观测误差有一定的限值。若以m作为观测误差的限值，

则将有近32%的观测会超过限值而被认为不合格，显然这样要求过分苛刻。而大于

3m的误差出现的机会只有3‰，在有限的观测次数中，实际上不大可能出现。所

以可取3m作为偶然误差的极限值，称极限误差，m3

极

。

（二）容许误差

在实际工作中，测量规范要求观测中不容许存在较大的误差，可由极限误差

来确定测量误差的容许值，称为容许误差，即m3

容

当要求严格时，也可取两倍的中误差作为容许误差，即m2

容

如果观测值中出现了大于所规定的容许误差的偶然误差，则认为该观测值不

可靠，应舍去不用或重测。

第三节误差传播定律

前面s开头的单词 已经叙述了评定观测值的精度指标，并指出在测量工作中一般采用中误

差作为评定精度的指标。但在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能

或者是不便于直接观测的，而由一些可以直接观测的量，通过函数关系间接计算

得出，这些量称为间接观测量。例如用水准仪测量两点间的高差h，通过后视读数

a和前视读数b来求得的，h=a－b。由于直接观测值中都带有误差，因此未知量也

必然受到影响而产生误差。说明观测值的中误差与其函数的中误差之间关系的定

律，叫做误差传播定律，它在测量学中有着广泛的用途。

一、误差传播定律

设Z是独立观测量x

1

，x

2

，…，x

n

的函数，即)(

21n

xxxfZ，，，

955.0

2

1

)(222

2

2

2

2

2

2























dedfP

997.0

2

1

)(333

3

2

3

3

2

2























dedfP

建筑工程测量测量误差的基本知识概要

(a)

式中：x

1

，x

2

，…，x

n

为直接观测量，它们相应观测值的中误差分别为m

1

，m

2

，…，

m

n

，欲求观测值的函数Z的中误差m

Z

。

设各独立变量x

i

（i=1，2，…，n）相应的观测值为L

i

，真误差分别为x

i

，

相应函数Z的真误差为Z。则

因真误差x

i

均为微小的量，故可将上式按泰勒级数展开，并舍去二次和以上

的各项，得:

（a）减去（b）式，得

上式即为函数Z的真误差与独立观测值L

i

的真误差之间的关系式。式中

i

x

f





为

函数Z分别对各变量x

i

的偏导数，并将观测值（x

i

=L

i

）代入偏导数后的值，故均

为常数。

若对各独立观测量都观测了k次，则可写出k个类似于（c）式的关系式

将以上各式等号两边平方后再相加，得

)(

2211nn

xxxxxxfZZ，，，

)()(

2

2

1

1

21n

n

n

x

x

f

x

x

f

x

x

f

xxxfZZ

















，，，

2

2

1

1

n

n

x

x

f

x

x

f

x

x

f

Z





































































































)()(

2

2

)(

1

1

)(

)2()2(

2

2

)2(

1

1

)2(

)1()1(

2

2

)1(

1

1

)1(

k

n

n

kk

k

n

n

n

n

x

x

f

x

x

f

x

x

f

Z

x

x

f

x

x

f

x

x

f

Z

x

x

f

x

x

f

x

x

f

Z











ji

n

ji

ji

ji

n

n

xx

x

f

x

f

x

x

f

x

x

f

x

x

f

Z















































































































1,

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

（b）

建筑工程测量测量误差的基本知识概要

上式两端各除以k，

因各变量x

i

的军训防晒 观测值L

i

均为彼此独立的观测，则x

i

x

j

当i≠j时，亦为偶

然误差。根据偶然误差的第四个特性可知，上式的末项当k→∞时趋近于0，即

故上式可写为

根据中误差的定义，上式可写成

当k为有限值时，即

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

n

n

z

m

x

f

m

x

f

m

x

f

m

































































（5-9）

或

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

n

n

z

m

x

f

m

x

f

m

x

f

m

































































（5-10）

式中

i

x

f





为函数Z分别对各变量x

i

的偏导数，并将观测值（x

i

=L

i

）代入偏导数

后的值，故均为常数。公式（5-9）或（5-10）即为计算函数中误差的一般形式。

从公式的推导过程，可以总结出求任意函数中误差的方法和步骤如下：

1．列出独立观测量的函数式：)(

21n

xxxfZ，，，

2．求出真误差关系式。对函数式进行全微分，得

n

n

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

dZ



















2

2

1

1

因dZ、dx

1

、dx

2

、…都是微小的变量，可看成是相应的真误差Z、x

1

、





k

xx

x

f

x

f

k

x

x

f

k

x

x

f

k

x

x

f

k

Z

ji

n

ji

ji

ji

n

n

























































































































1,

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2



0

][

lim



k

xx

ji

k





























































































k

x

x

f

k

x

x

f

k

x

x

f

k

Z

n

n

kk

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

limlim

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

n

n

zx

f

x

f

x

f





































































建筑工程测量测量误差的基本知识概要

x

2

、…，因此上式就相当于真误差关系式，系数

i

x

f





均为常数。

3．求出中误差关系式。只要把真误差换成中误差的平方，系数也平方，即可

直接写出中误差关系式：

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

n

n

z

m

x

f

m

x

f

m

x

f

m



































































按上述方法可导出几种常用的简单函数中误差的公式,如表5-2所列,计算时

可直接应用。

表5-2常用函数的中误差公式

函数式函数的中误差

倍数函数kxz

]

和差函数

n

xxxz

21

线性函数

nn

xkxkxkz

2211

xz

kmm

22

2

2

1nz

mmmm

若

n

mmm

21

时nmm

z



222

2

2

2

2

1

2

1nnz

mkmkmkm

二、应用举例

误差传播定律在测绘领域应用十分广泛，利用它不仅可以求得观测值函数的

中误差，而且还可以研究确定容许误差值。下面举例说明其应用方法。

【例5-2】在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为d=23.4mm，

其中误差m

d

=0.2mm，求该两点的实际距离D和其中误差m

D

。

解：函数关系式为D=Md，属倍数函数，M=500是地形图比例尺分母。

mmmMmm

mmmMdD

dD

1.0100)2.0(500

7.11117004.23500





两点的实际距离结果可写为11.7m0.1m。

建筑工程测量测量误差的基本知识概要

【例5-3】水准测量中，已知后视读数a=1.734m，前视读数b=0.476m，中

误差分别为m

a

=0.002m，m

b

=0.003m，试求两点的高差和其中误差。

解：函数关系式为h=a-b梅日戈尔耶镇 ，属和差函数，得

mmmm

mbah

bah

004.0003.0002.0

258.1476.0734.1

22

22



两点的高差结果可写为1.258m0.004m。

【例5-4】在斜坡上丈量距离，其斜距为L=247.50m，中误差m

L

=0.05m，

并测得倾斜角=1034′，其中误差m

=3′，求水平距离D和其中误差m

D

。

解：首先列出函数式

cosLD

水平距离

mD303.243'3410cos50.247

这是一个非线性函数，所以对函数式进行全微分，先求出各偏导值如下：

8643.45'3410sin50.247'3410sin

8309.0'3410cos













L

D

L

D



写成中误差形式

m

m

D

m

L

D

m

LD

06.0

'3438

'3

)3864.45(05.09830.0

2

222

2

2

2

2























































故得D=243.30m0.06m。

【例5-5】图根水准测量中，已知每次读水准尺的中误差为m

i

=2mm，假定

视距平均长度为50m，若以3倍中误差为容许误差，试求在测段长度为Lkm的水

准路线上，图根水准测量往返测所得高差闭合差的容许值。

解：已知每站观测高差为：bah

则每站观测高差的中误差为：mm222

ih

mm

因视距平均长度为50m，则每公里可观测10个测站，L公里共观测10L个测

站，L公里高差之和为：

L

hhhh

1021



建筑工程测量测量误差的基本知识概要

L公里高差和的中误差为：

mm5410LmLm

h

乱世佳人剧情简介



往返高差的较差（即高差闭合差）为：

返

往

hhf

h



高差闭合差的中误差为：mm1042Lmm

h

f





以3倍中误差为容许误差，则高差闭合差的容许值为：

mm3810123LLmf

h

fh



容

在前面水准测量的学习中，我们取Lf

h

40

容

（mm）作为闭合差的容许值是

考虑了除读数误差以外的其它误差的影响（如外界环境的影响、仪器的i角误差

等）。

三、注意事项

应用误差传播定律应注意以下两点：

（一）要正确列出函数式

例：用长30m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为m

l

=5mm，求

全长D和其中误差m

D

。全长m300301010lD，lD10为倍乘函数。但实际上全

长应是10个尺段之和，故函数式应为

1021

lllD（为和差函数）。

用和差函数式求全长中误差，因各段中误差均相等，故得全长中误差为

mm1610

lD

mm

若按倍数函数式求全长中误差，将得出mm5010

lD

mm

按实际情况分析用和差公式是正确的，而用倍数公式则是错误的。

（二）在函数式中各个观测值必须相互独立，即互不相关。如有函数式

1221yyz（a）

22321xyxy；（b）

若已知x的中误差为m

x

，求Z的中误差m

z

。

若直接用公式计算,由（a）式得：

21

224yyzmmm（c）

建筑工程测量测量误差的基本知识概要

而xyxymmmm2321，

将以上两式代入（c）式得

x

xxz

mmmm5)2(4)3(22

但上面所得的结果是错误的。因为y

1

和y

2

都是x的函数，它们不是互相独立

的观测值，因此在（a）式的基础上不能应用误差传播定律。正确的做法是先把(b)

式代入(a)式，再把同类项合并，然后用误差传播定律计算。

x

mxxz7m57x1)22(23

z



第四节等精度直接观测平差

当测定一个角度、一点高程或一段距离的值时，按理说观测一次就可以获得。

但仅有一个观测值，测的对错与否，精确与否，都无从知道。如果进行多余观测，

就可以有效地解决上述问题，它可以提高观测成果的质量，也可以发现和消除错

误。重复观测形成了多余观测，也就产生了观测值之间互不相等这样的矛盾。如

何由这些互不相等的观测值求出观测值的最佳估值，同时对观测质量进行评估，

即是“测量平差”所研究的内容。

对一个未知量的直接观测值进行平差，称为直接观测平差。根据观测条件，

有等精度直接观测平差和不等精度直接观测平差。平差的结果是得到未知量最可

靠的估值，它最接近真值，平差中一般称这个最接近真值的估值为“最或然值”，

或“最可靠值”，有时也称“最或是值”，一般用x表示。本节将讨论如何求等精

度直接观测值的最或然值和其精度的评定。

一、等精度直接观测值的最或然值

等精度直接观测值的最或然值即是各观测值的算术平均值。用误差理论证明

如下：

设对某未知量进行了一组等精度观测，其观测值分别为L

1

、L

2

、…L

n

，该量的

真值设为X，各观测值的真误差为

1

、

2

、…、

n

，则

i

=L

i

-X（i=1，2，…，n），

将各式取和再除以次数n，得

X

n

L

n



][][

建筑工程测量测量误差的基本知识概要

即X

nn

L







][][

根据偶然误差的第四个特性有

X

n

L

n





][

lim

所以0

][

lim



nn

由此可见，当观测次数n趋近于无穷大时，算术平均值就趋向于未知量的真

值。当n为有限值时，算术平均值最接近于真值，因此在实际测量工作中，将算

术平均值作为观测的最后结果，增加观测次数则可提高观测结果的精度。

二、评定精度

（一）观测值的中误差

1．由真误差来计算

当观测量的真值已知时，可根据中误差的定义即

n

m

][



由观测值的真误差来计算其中误差。

2．由改正数来计算

在实际工作中，观测量的真值除少数情况外一般是不易求得的。因此在多数

情况下，我们只能按观测值的最或然值来求观测值的中误差。

（1）改正数和其特征

最或然值x与各观测值L

i

之差称为观测值的改正数，其表达式为

n)2,1(，，iLxv

ii

（5-11）

在等精度直接观测中，最或然值x即是各观测值的算术平均值。即

n

L

x

][



显然

0][)(][

1





LnxLxv

n

i

i

（5-12）

上式是改正数的一个重要特征，在检核计算中有用。

（2）公式推导

已知XL

ii

，将此式与式（5-8）相加，得

建筑工程测量测量误差的基本知识概要

Xxv

ii

（a）

令

Xx

，则



ii

v（b）

对上面各式两端取平方，再求和

2][2读书格言有哪些 ][][nvvv

，故由于0][v

2][][nvv（c）

而

)222(

1

][

][][][

13221

22

2

2

1

22

2

2

nnn

nn

nn

XL

X

n

L

Xx



















，

2

13221

2

)(2

n

][

n

nn











根据偶然误差的特性，当n→∞时，上式的第二项趋近于零；当n为较大的有

限值时，其值远比第一项小，可忽略不计。故

2

2

][

n





代入（c）式，得

n

vv

][

][][





根据中误差的定义

n

m

][

2



，上式可写为

22][mvvmn

即

1

][





n

vv

m

（5-13）

上式即是等精度观测用改正数计算观测值中误差的公式，又称“白塞尔公式”。

（二）最或然值的中误差

一组等精度观测值为L

1

、L

2

、…L

n

，其中误差均相同，设为m，最或然值x即

建筑工程测量测量误差的基本知识概要

为各观测值的算术平均值。则有

n

L

n

L

n

L

nn

L

x

111

][

21



根据误差传播定律，可得出算术平均值的中误差M为

n

m

nm

n

M

2

2

2

2

1

















故

n

m

M

（5-14）

顾和式（5-10），算术平均值的中误差也可表达如下

)1(

][





nn

vv

M（5-15）

【例5-6】对某角等精度观测6次，其观测值见表5-3。试求观测值的最或然

值、观测值的中误差以和最或然值的中误差。

解：由本节可知，等精度直接观测值的最或然值是观测值的算术平均值。

根据式（5-11）计算各观测值的改正数v

i

，利用（5-12）式进行检核，计算

结果列于表5-3中。

表5-3等精度直接观测平差计算

观测值

改正数v

（″）

vv（″2）

L

1

=7532′

13″

L

2

=7532′

18″

L

3

=7532′

15″

L

4

=7532′

17″

2.5″

-2.5″

0.5″

-1.5″

-0.5″

1.5″

6.25

6.25

0.25

2.25

0.25

2.25

建筑工程测量测量误差的基本知识概要

L

5

=75风霜雪 32′

16″

L

6

=7532′

14″

x=[L]/n=75

32′15.5″

[v]=0[vv]=17.5

根据式（5-13）计算观测值的中误差为："98.1

16

5.17

1

][











n

vv

m

根据式（5-14）计算最或然值的中误差为："8.0

6

"98.1



n

m

M

一般袖珍计算器都具有统计计算功能（STAT），能很方便地进行上述计算（参

考各计算器的说明书）。

由式（5-14）可以看出，算术平均值的中误差是观测值中误差的n/1倍，这

说明算术平均值的精度比观测值的精度要高，且观测次数愈多，精度愈高。所以

多次观测取其平均值，是减小偶然误差的影响、提高成果精度的有效方法。当观

测的中误差m一定时，算术平均值的中误差M与观测次数n的平方根成反比，如

表5-4和图5-4所示。

从表5-4和图5-1可以看出观测次数n与M之间的变化关系。n增加时，M减

小；当n达到一定数值后，再增加观测次数，工作量增加，但提高精度的效果就

表5-4观测次数

与算术平均值中误差的关系

观测次数n

算术平均值的中误

差M

20.71m

40.50m

60.41m

100.32m

200.22m

图5-4观测次数与算术平均值中误差的关系

建分体电视 筑工程测量测量误差的基本知识概要

不太明显了。故不能单纯靠增加观测次数来提高测量成果的精度，而应设法提高

单次观测的精度，如使用精度较高的仪器、提高观测技能或在较好的外界条件下

进行观测。