普师

第1页，共18页

2021

年广东省揭阳市普宁市普师高级中学高考数学热身

试卷

一、单选题（本大题共

8

小题，共

40.0

分）

1.

(2021

浙江省杭州市

单元测试

)

设集合

={|<4}

，集合={|2<4}，则

()

A.⊆B.⊆C.⊆∁

D.⊆∁

2.

(2021

广东省揭阳市

模拟题

)

已知

i

为虚数单位，则2021

等于

()

.1C.−D.−1

3.

(2021

广东省广州市

期中考试

)

函数()=+ln||

的图象大致为

()

A.B.

C.D.

4.

(2021

黑龙江省哈尔滨市

模看人 拟题

)

若

=3

4

，则cos

2+22=()

A.64

25

B.48

25

C.1D.16

25

5.

(2021

江西省吉安市

期中考试

)

数列

−1

，

3

，

−5

，

7

，

−9

，

…

的一个通项公式为

()

A.

=2−1B.

=(−1)(1−2)

C.

=(−1)(2−1)D.

=(−1)+1(2−1)

6.

(2020

全国

同步练习

)

若

()=+1

−2

(>2)

在

=

处取得最小值，则

=()

A.1B.3C.7

2

D.4

7.

(2017

云南省昆明市

期中考试

)

正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为

4

，

底面边长为

2

，则该球的表面积为

(      )

A.81

4

B.16C.9D.27

4

第2页，共18页

8.

(2020

宁夏回族自治区石嘴山市

期中考试

)

在

(22−1

)5

的二项展开式中，

x

项的系

数为

()

A.10B.−10C.40D.−40

二、多选题（本大题共

4

小题，共

20.0

分）

9.

(2021

广东省揭阳市

模拟题

)

在平面直角坐标系

xOy

中，抛物线2=6的焦点为

F

，

准线为

l

，

P

为抛物线上一点，

⊥

，

A

为垂足

.

若直线

AF

的斜率

=−

√

3

，则下

列结论正确的是

()

A.准线方程为

=−3B.焦点坐标

(

3

2

,0)

C.点

P

的坐标为

(

9

2

,3

√

3)

的长为

3

10.

(2021

广东省揭阳市

模拟题

)

对于函数

()=||++1

，下列结论中错误的是

()

A.()

为奇函数B.()

在定义域上是单调递减函数

C.()

的图象关于点

(0,1)

对称D.()

在区间

(0,+∞)

上存在零点

11.

(2021

安徽省蚌埠市

单元测试

)

已知函数

()=

√

3sin(2+

6

)

，则下列选项正确的

有

()

A.()

的最小正周期为

B.曲线

=()

关于点

(

3

,0)

中心对称

C.()

的最大值为√

3

D.曲线

=()

关于直线

=

6

对称

12.

(2021

湖北省黄石市

单元测试

)

已知函数

()=(+1)

，

()=(+1)

，则

()

A.函数

()

在

R

上无极值点

B.函数

()

在

(0,+∞)

上存在唯一极值点

C.若对任意

>0

，不等式()≥(2)恒成立，则实数

a

的最大值为

2

D.若

(

1

)=(

2

)=(>0)

，则

1

(

2

+1)

的最大值为

1

三、单空题（本大题共

4

小题，共

20.0

分）

13.

(2021

广东省揭阳市

模拟题

)

若向量

⃗=(1,2)

，

⃗

−⃗=(−2,1)

，则

⃗⋅

⃗

=

______

．

14.

(2021

广东省揭阳市

模拟题

)

设离散型随机变量

X

服从两点分布，若

(=0)=1

3

，

则

(=1)=

______

．

第3页，共18页

15.

(2020

上海市

月考试卷

)

已知椭圆2

9

+2

4

=1

的左、右焦点分别为

1

、

2

，若椭圆上

的点

P

满足

|

1

|=2|

2

|

，则

|

1

|=

______

．

16.

(2021

广东省揭阳市

模拟题

)

已知三棱锥

−

中，二面角

−−

的大小为

120

，

△

是边长为

4

的正三角形，

△

是以

P

为直角顶点的直角三角形，则

三棱锥

−

外接球的表面积为

______

．

四、解答题（本大题共

6

小题，共

70.0

分）

17.

(2021

广东省

模拟题

)

已知数列

{

}

满足：

+1=2

−1

(≥2,∈∗)

，

1

=3

．

(1)

求证：数列

{ln(

−1)}

是等差数列，

(2)

求数列

{

}

的前

n

项和

．

18.

(2021

浙江省杭州市

单元测试

)

在

△

中，角

A

，

B

，

C

所对的边分别为

a

，

b

，

c

，

且

=+(−)

．

(1)

求

B

；

(2)

若

3=2

，且

△

的面积为

6

√

3

，求

b

．

19.

(2021

广东省揭阳市

模拟题

)2020

年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎

.

为防

止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一

心抗击疫情

.

某社区组织了

80

名社区居民参加防疫知识竞赛，他们的成绩全部在

40

分至

100

分之间，现将成绩按如下方式分成

6

组：第一组，成绩大于等于

40

分且

小于

50

分；第二组，成绩大于等于

50

分且小于

60

分；

⋅⋅⋅

第六组，成绩大于等于

第4页，共18页

90

分且小于等于

100

分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．

(1)

求社区居民成绩的众数及

a

的值；

(2)

我们将成绩大于等于

80

分称为优秀，成绩小于

60

分称为不合格

.

用分层抽样的

方法从这

80

个成绩中抽取

20

个成绩继续分析，成绩不合格和优秀各抽了多少个？

再从抽取的不合格成绩和优秀成绩中任选

3

个成绩，记优秀成绩的个数为

x

个，求

x

的分布列和数学期望．

20.

(2020

安徽省合肥市

单元测试

)

如图，四棱锥

−

中，

⊥

底面

ABCD

，

//

，

∠=90

，

=2

，

M

为

PD

的中点．

(

Ⅰ

)

证明：

//

平面

PAB

；

(

Ⅱ

)

若

△

是等边三角形，求二面角

−−

的余弦值．

第5页，共18页

21.

(2020

山东省

月考试卷

)

已知双曲线2

2

−2

2

=1(

其中

>0

，

>0)

，点

(,0)

，

(0,−)

，离心率为2

√

3

3

，且原点到直线

AB

的距离是

√

3

2

．

(1)

求双曲线的方程；

(2)

已知直线

=+5(≠0)

交双曲线于

C

，

D

两点，且

C

，

D

都在以

B

为圆心的

圆上，求

k

的值．

22.

(2021

湖北省

模拟题

)

已知函数()=22+2

．

(1)

当

=1

时，求

()

的导函数

′()

在

[−

2

,

2

]

上的零点个数；

(2)

若关于

x

的不等式2(2)+22≤()在

(−∞,+∞)

上恒成立，求实数

a

的取值范围．

第6页，共18页

答案和解析

1.【答案】

B

【知识点】补集运算、集合包含关系的判断

【解析】

【分析】

本题考查集合间的包含关系的判断，属基础题．

求出集合

={|−2<<2}

，画数轴即可得出结论．

【解答】

解：集合

={|<4}

，集合={|

2<4}={|−2<<2}，如图所示，

可知

⊆

，

故选：

B

．

2.【答案】

A

【知识点】复数的概念

【解析】解：因为

20214

余

1

，

故

2021

等于

i

．

故选：

A

．

利用

i

的周期性进行求解即可．

本题考查了复数的运算，解题的关键是掌握

i

的运算法则，考查了运算能力，属于基础

题．

3.【答案】

A

【知识点】函数图象的应用、函数的奇偶性、函数图象的作法

【解析】解：函数

=()

为奇函数，所以

B

选项错误；

又因为

(1)=1>0

，所以

C

选项错误；

又因为

(2)=2+

2

2

>0

，所以

D

选项错误．

故选：

A

．

第7页，共18页

先判断函数的奇偶性和对称性，利用特殊值符号的对应性进行排除即可．

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，对称性以及特殊值的符号的对

应性进行排除是解决本题的关键．

4.【答案】

A

【知识点】二倍角正弦公式、正余弦齐次式的计算

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的化简求值，同角三角函数的关系式，二倍角公式的应用，“弦”

化“切”是关键，属于基础题．

将所求的关系式的分母“

1

”化为(cos

2+sin2)，再将“弦”化“切”即可得到答案．

【解答】

解：

∵=

3

4

，

∴cos2+22

=

2+4

2+2

=

1+4

2+1

=

1+4

3

4

9

16

+1

=64

25

．

故选

A

．

5.【答案】

C

【知识点】数列的通项公式

【解析】

【分析】

本题考查了数列通项公式，属于基础题．

分别考虑数列的符号与数值变化规律即可得出．

【解答】

解：观察数列

−1

，

3

，

−5

，

7

，

−9

，

…

，

得通项公式为

=(−1)(2−1)

．

故选

C

．

第8页，共18页

6.【答案】

B

【知识点】利用基本不等式求最值

【解析】

【分析】

()=−2+1

−2

+2

，再利用基本不等式，即可得出结论，本题考查基本不等式的运

用，恰当转化，利用基本不等式是关键．

【解答】

解：

∵>2

，

∴−2>0

，

∴()=−2+1

−2

+2≥2√(−2)⋅1

−2

+2=4

，

当且仅当

−2=

1

−2

，即

=3

时，函数取得最小值

4.∴=3

．

故选

B

．

7.【答案】

A

【知识点】球的表面积、棱锥的结构特征、球的切、接问题

【解析】

【分析】

本题主要考查四棱锥外接球的表面积，属于基础题．

利用正四棱锥的底面边长和高求出外接球的半径，进而可得球的表面积．

【解答】

解：由题可知正四棱锥

−

的外接球的球心在它的高

1

上，记为

O

，

设球的半径为

R

，

∵

棱锥的高为

4

，底面边长为

2

，

∴2=(4−)2+(

√

2)2，

∴=9

4

，

第9页，共18页

∴

该球的表面积为

4(9

4

)2=81

4

．

故选

A

．

8.【答案】

D

【知识点】二项式定理的应用、二项展开式的特定项与特定项的系数

【解析】解：

(2

2−1

)5

的二项展开式的通项为

+1

=

5

(22)5−(−1

)=

5

25−(−1)10−3

令

10−3=1

，得

=3

故

x

项的系数为

5

325−3(−1)3=−40

故选

D

由题意，可先由公式得出二项展开式的通项

+1

=

5

(22)5−(−1

)=

5

25−(−1)10−3

，再令

10−3=1

，得

=3

即可得出

x

项的系数

本题考查二项式的通项公式，熟练记忆公式是解题的关键，求指定项的系数是二项式考

查的一个重要题型，是高考的热点，要熟练掌握

9.【答案】

BC

【知识点】抛物线的性质及几何意义

【解析】解：由抛物线方程为

2=6，

∴

焦点坐标

(3

2

,0)

，准线方程为

=−3

2

，故

A

选项错误，

B

选项正确，

∵

直线

AF

的斜率为

−

√

3

，

∴

直线

AF

的方程为

=−

√

3(−3

2

)

，

当

=−

3

2

时，

=3

√

3

，

∴(−

3

2

,3

√

3)

，

∵⊥

，

A

为垂足，

∴

点

P

的纵坐标为

3

√

3

，可得点

P

的坐标为

(9

2

,3

√

3)

，故

C

选项正确，

根据抛物线的定义可知

||=||=

9

2

−(−3

2

)=6

，故

D

选项错误，

故选：

BC

．

根据抛物线的性质，即可判断

A

、

B

选项，直线

AF

的方程为

=−

√

3(−

3

2

)

，将

A

的

横坐标

=−

3

2

代入直线

AF

方程中，可得

A

点的纵坐标，再结合条件

⊥

，即可判断

第10页，共18页

C

选项，根据抛物线的性质，即可判断

D

选项．

本题主要考查了抛物线的性质，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．

10.【答案】

ABD

【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性与单调区间

【解析】解：

()=||++1=

{

2++1,≥0

−2++1,<0

，

由题意可知，图象关于点

(0,1)

对称，

因此不是奇函数，在定义域内函数为增函数，

在

(−∞,0)

上有零点

故选：

ABD

．

先对函数解析式进行化简，然后结合函数图像

分别检验各选项即可判断．

本题主要考查了函数性质的应用，体现了数形结合思想，属于基础题．

11.【答案】

ACD

【知识点】函数

y=Asin(x+)

的图象与性质、正弦、余弦函数的图象与性质

【解析】解：函数

()=

√

3sin(2+

6

)

，

A

：由于函数

()

的最小正周期

=

2

2

=

，所以

A

正确；

B

：因为

(

3

)=

√

3sin(2

3

+

6

)=√

3

2

≠0

，所以

B

不正确；

C

：

()

=

√

3

，所以

C

正确；

D

：因为

(

6

)=

√

3sin(2

6

+

6

)=

√

3

为函数的最值，所以

D

正确；

故选：

ACD

．

由函数的周期的求法及函数的性质可得所给命题的真假．

本题考查三角函数的性质，属于基础题．

12.【答案】

AD

【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的极值

【解析】解：对于

A

：

′()=(+1)

+1

，令

()=(+1)+1

，则

′()=(+

2)

，

第11页，共18页

令

′()>0

，解得：

>−2

，令

′()<0

，解得：

<−2

，

故

′()

在

(−∞,−2)

递减，在

(−2,+∞)

递增，

故′()

=′(−2)=1−−2>0，故

()

在

R

递增，

故函数

()

在

R

上无极值点，故

A

正确；

对于

B

：

′()=1+

1

+

，令

()=1+1

+

，则

′()=−1

2

，

令

′()>0

，解得：

>1

，令

′()<0

，解得：

0<<1

，

故

′()

在

(0,1)

递减，在

(1,+∞)

递增，

故

′()

=′(1)=2>0

，故

()

在

(0,+∞)

递增，

函数

()

在

(0,+∞)

上无极值点，故

B

错误；

对于

C

：由

A

得：

()

在

(0,+∞)

递增，

不等式()≥(

2)恒成立，

则≥

2

恒成立，故

≥

2

，

设

ℎ()=

2

，则

ℎ′()=

2(1−)

2

，

令

ℎ′()>0

，解得：

0<<

，令

ℎ′()<0

，解得：

>

，

故

ℎ()

在

(0,)

递增，在

(,+∞)

递减，

故

ℎ()

=ℎ()=2

，故

≥

2

，故

C

错误；

对于

D

：若

(

1

)=(

2

)=(>0)

，

则

1

(

1+1)=(

2

+1)

2

=

，

∵>0

，

∴

1

>0

，

2

>1

，

当

2

=

1时，

1

(

2

+1)

=ln[

1

(

1+1)]

1

(

1+1)

，

设

=

1

(

1+1)

，设

()=

，则

′()=

1−

2

，

令

′()>0

，解得：

0<<

，令

′()<0

，解得：

>

，

故

()

在

(0,)

递增，在

(,+∞)

递减，

故

()

=()=1

，此时

=

1

(

1+1)=(

2

+1)

2

，

故

1

(

2

+1)

的最大值是

1

，故

D

正确；

故选：

AD

．

求出函数

()

的导数，根据函数的单调性判断

A

，求出函数

()

的导数，根据函数的单

调性判断

B

，若对任意

>0

，不等式()≥(

2)恒成立，则

≥2

，设

ℎ()=

2

，

根据函数的单调性判断

C

，当

2

=

1时，

1

(

2

+1)

=ln[

1

(

1+1)]

1

(

1+1)

，设

=

1

(

1+1)

，

第12页，共18页

设

()=

，根据函数的单调性判断

D

．

本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．

13.【答案】

5

【知识点】向量的数量积

【解析】解：由题意向量

⃗=(1,2)

，

⃗

−⃗=(−2,1)

，

可得

⃗

=(1,2)+(−2,1)=(−1,3)

，

故

⃗⋅

⃗

=1(−1)+23=5

，

故答案为：

5

．

利用向量的坐标运算，转化求解向量的数量积即可．

本题考查向量的坐标运算法则的应用，向量的数量积的求法，是基础题．

14.【答案】

2

3

【知识点】

n

次独立重复试验与二项分布

【解析】解：因为离散型随机变量

X

服从两点分布，且

(=0)=

1

3

，

所以

(=1)=1−(=0)=1−

1

3

=2

3

．

故答案为：

2

3

．

利用两点分布的概率之和为

1

，求解即可．

本题考查了两点分布的理解和应用，属于基础题．

15.【答案】

4

【知识点】椭圆的性质及几何意义

【解析】解：椭圆

2

9

+2

4

=1

的左、右焦点分别为

1

、

2

，

椭圆上的点

P

满足

|

1

|=2|

2

|

，

因为

|

1

|+|

2

|=2=6

，所以

|

1

|=4

．

故答案为：

4

．

利用椭圆的定义，结合已知条平面创意 件转化求解即可．

本题考查了椭圆的标准方程及椭圆的性质的应用，属于基本知识的考查，是基础题．

16.【答案】

208

9

第13页，共18页

【知识点】球的表面积和体积

【解析】解：如图所示，设三棱锥

−

外接球的球心为

O

，

△

的外接圆的圆心为

1

，

△

外接圆的圆心为

2

，连结

1

，则

1

⊥

平面

ABC

，

连结

1

并延长交

AB

于点

D

，

因为

△

为正三角形，所以点

D

为

AB

的中点，

又因为

△

是以

P

为直角顶点的直角三角形，

所以点

D

为

△

外接圆的圆心，即

D

与

2

重合，

所以连接

OD

，则

⊥

平面

PAB

，

又因为二面角

−−

的大小为

120

，所以

∠

1

=30

，

又在正

△

中，由

=4

，则

1

=1

3

=2

√

3

3

，

在

△

1

中，

cos∠

1

=

1

，解得

=

1

30∘

=

2

√

3

3

√

3

2

=4

3

，

故外接球的半径为

=

√2+2=

√16

9

+4=2

√

13

3

，

所以外接球的表面积为

=4

2=208

9

．

故答案为：

208

9

．

找到三棱锥

−

外接球球心的位置，求出外接球的半径，由球的表面积公式求解即

可．

本题考查了棱锥的外接球问题，球的表面积公式的运用，解题的关键是确定球心的位置，

考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．

17.【班徽设计 答案】

(1)

证明：

∵

+1=2

−1

(≥2,∈∗)

，

1

=3

，

∴

−1=2(

−1

−1)

，

≥2

，

又

1

−1=2

，

∴

−1=2

，

∴ln(

+1

−1)−ln(

−1)=ln

+1

−1

−1

=2

，

∴

数列

{ln(

−1)}

是公差为

ln2

的等差数列；

(2)

解：由

(1)

知：

−1=2

，

∴

=2+1

，

∴

=(2+22+23+⋯+2)+=2(1−2)

1−2

+=2+1−2+

．

【知识点】等差数列的性质、数列求和方法

第14页，共18页

【解析】

(1)

先由题设推导出：

−1=2(

−1

−1)

，

≥2

，进而说明数列

{

−1}

是

首项、公比均为

2

的等比数列，求得其通项公式，再利用等差数列的定义证明结论即可；

(2)

先由

(1)

求得

，再利用分组求和法求得其前

n

项和即可．

本题主要考查等差、等比数列的定义及基本量的计算、分组求和在数列求和中的应用，

属于中档题．

18.【答案】解：

(1)△

中，角

A

、

B

、

C

的对边分别为

a

、

b

、

c

，且

=+

(−)

．

所以：

2=2+(−)，

整理得：

=

2+2−2

2

=1

2

，

由于：

0<<

，

故：

=

3

．

(2)∵3=2

，

∴

由正弦定理可得：

3=2

，

①

∵△

的面积为

6

√

3=1

2

=√

3

4

，解得：

=24

，

②

∴

由

①②

解得：

=6

，

=4

，

∴

由余弦定理可得：

=

√2+2−2=

√36

+16−2641

2

=2

√

7

．

【知识点】余弦定理、正弦定理

【解析】

(1)

化简已知等式利用余弦定理可求

=

1

2

，结合范围

0<<

，可求

=

3

．

(2)

由已知利用正弦定理可得

3=2

，利用三角形面积公式可求

=24

，解得

a

，

c

的

值，由余弦定理可得

b

的值．

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦定理和正弦定理的应用，属于

基础题．

19.【答案】解：

(1)

由频率分布直方图得众数为

65

，

由

(0.005+0.010++0.030+0.015+0.005)10=1

，

解得

=0.035

；

(2)

成绩不合格有

3

个，优秀有

4

个，

所以

x

可能取值为

0

，

1

，

2

，

3

，

(=0)=

3

3

7

3

=1

35

，

(=1)=

3

2

4

1

7

3

=12

35

，

第15页，共18页

(=2)=

3

1

4

2

7

3

=18

35

，

(=3)=

3

0

4

3

7

3

=4

35

，

所以

x

的分布列为：

x0123

P

1

35

12

35

18

35

4

35

数学期望是

()=

12

35

+36

35

+12

35

=60

35

=12

7

．

【知识点】离散型随机变量的期望与方差、频率分布直方图、离散型随机变量及其分布

列

【解析】

(1)

由频率分布直方图中最高小长方形求得众数，利用频率和为

1

求出

a

的值；

(2)

由题意知随机变量

x

的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望

值．

本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望

计冬虫夏草的功效 算问题，是中档题。

20.【答案】解：

(

Ⅰ

)

证明：如图，取

AD

中点

N

，连结

MN

，

CN

，

∵

为

PD

的中点，

∴//

，

∵=2

，

∴=

，

∵//

，

∴

四边形

ABCN

是平行四边形，

∴//

，

∵∩=

，

∩=

，

∴

平面

//

平面

PAB

，

∵⊂

平面

MNC

，

∴//

平面

PAB

．

(

Ⅱ

)

解：以

A

为原点，

AB

为

x

轴，

AD

为

y

轴，

AP

为

z

轴，建立空间直角坐标系，

∵△

为等边三角形，

∴==

，

设

=2

，则

(0,

0

，

0)

，

(2,

0

，

0)

，

(0,

2

，

0)

，

∴

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=(−2,2

，

0)

，

⃗⃗⃗⃗⃗

=(−2,0

，

2)

，

设平面

BDP

的法向理

⃗=(,

y

，

)

，

则

{

⃗⋅

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=−2+2=0

⃗⋅

⃗⃗⃗⃗⃗

=−2+2=0

，令

=1

，得

⃗=(1,

1

，

1)

，

∵⊥

平面

PAB

，

∴

平面

PAB

的法向量

⃗=(0,

1

，

0)

，

∴=|⃗⃗⋅⃗⃗⃗|

|⃗⃗|⋅|⃗⃗⃗|

=1

√

31

=√

3

3

．

第16页，共18页

∴

二面角

−−

的余弦值为√

3

3

．

【知识点】立体几何综合题（探索性问题、轨迹问题等）、线面平行的判定

【解析】

(

Ⅰ

)

取

AD

中点

N

，连结

MN

，

CN

，推导出

//

，

//

，从而四边形

ABCN

是平行四边形，

//

，进而平面

//

平面

PAB

，由此证明

//

平面

PAB

．

(

Ⅱ

)

以

A

为原点，

AB

为

x

轴，

AD

为

y

轴，

AP

为

z

轴，建立空间直角坐标系，利用向量

法能求出二面角

−−

的余弦值．

本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面

间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

21.【答案】解：

(1)

过

(,0)

，

(0,−)

的直线方程为

=

−

，即

−−=0

，

因为原点到直线

AB

的距离

=

√2+2

=

=√

3

2

，

=

=2

√

3

3

，

所以

=1

，

又因为

2+2=2

，

所以

=

√

3

，

故所求双曲线方程为

2

3

−2=1

．

(2)

把

=+5

代入2

3

−2=1

中消去

y

，

整理得(1−3

2)2−30−78=0．

设

(

1

,

1

)

，

(

2

,

2

)

，

1

+

2

=30

1−32

，

1

+

2

=(

1

+

2

)+10=10

1−32

，

则

C

，

D

两点的中点

E

的坐标是

(

15

1−32

,5

1−32

)

，

所以直线

BE

的斜率是

=

5

1−3

2

+1

15

1−3

2

=2−2

5

，

因为

⊥

，

所以，

2−2

5

⋅=−1

，

解得

=

√

7

，

又因为

①

式中，△=(−30)

2−4(1−32)(−78)=312−362

，

当

=

√

7

，

△=60>0

，

所以

k

的取值是

√

7

．

【知识点】直线与双曲线的位置关系、双曲线的性质及几何意义

第17页，共18页

【解析】

(1)

求出过

(,0)

，

(0,−)

的直线方程，利用原点到直线

AB

的距离，利用离

心率，求解

a

，

b

，得到双曲线方程．

(2)

把

=+5

代入2

3

−2=1

中消去

y

，设

(

1

,

1

)

，

(

2

,

2

)

，利用韦达定理，求

解

C

，

D

两点的中点

E

的坐标是

(

15

1−32

,5

1−32

)

，推出直线

BE

的斜率，结合

⊥

，求

解

k

即可．

本题考查双曲线方程的求法，直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及

计算能力，是金银铜铁打一中国地名 中档题．

22.【答案】解：

(1)

易知

′()=2(−2)

，显然

′(0)=0

，

所以

=0

是

′()

的一个零点，

令

()=−2(0≤≤

2

)

，则

′()=1−22=0

时，

=

6

，

所以

()

在

(0,

6

)

单调递减，在

(

6

,

2

)

单调递增，

则

()

的最小值为

(

6

)=

6

−√

3

2

<0

，

又

(0)=0

，且

(

2

)=

2

>0

，

所以

()

在

(0,

2

)

上存在唯一零点

0

∈(

6

,

2

)

，

则

′()=2()

在

(0,

2

)

上亦存在唯一零点，

因为

′()

是奇函数，所以

′()

在

(−

2

,0)

上也存在唯一零点

−

0

，

综上所述，当

=1

时，

()

的导函数

′()

在

[−

2

,

2

]

上的零点个数为

3

；

(2)

不等式2(2)+22≤()恒成立，即不等式cos(2)≤2恒成立，

令

=∈[−1,1]

，则等价于不等式2≤(1−

2)…(1)恒成立，

①

若2=1，即

=1

时，不等式

(1)

显然成立，此时

∈

，

②

若

−1<<1

时，不等式

(1)

等价于

≥2

(1−2)2

…(2)

设

ℎ()=2

(1−2)2

(−1<<1)

，

当

0≤<1

时，

ℎ’()=

2[2−(1−2)2]

(1−2)2

，

令()=2−(1−

2)2(0≤<1,

则’()=(2

2−1)2(0≤<1)，

已知

’(

√

2

2

)=0

，

‘(

4

)=0

，且√

2

2

<

4

，

则

()

在

(0,

√

2

2

)

，

(

4

,1)

上单调递减，在

(√

2

2

,

4

)

上单调地增，

第18页，共18页

又

(0)=0

，

(

4

)=2−1<0

，所以

()<0

在

(0,1)

上恒成立，

所以

ℎ()

在

[0,1)

上王者荣耀刷金币 单调递减，则

ℎ()≤ℎ(0)=1

，

显然函数

ℎ()

为偶函数，故函数

ℎ()

在

[−1,1]

上的最大值为

1

，

因此

≥1

，

综上所述，满足题意的实数

a

的取值范围为

[1,+∞)

．

【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、函数的零点与方程根的关系、利用导数

研究函数的极值

【解析】

(1)

易知

′()=2(−2)

，显然

′(0)=0

，对导函数求导得到

′()=1−

22(0≤≤

2

)

，在

(0,

6

)

单调递减，在

(

6

,

2

)

单调地增，则可得

()=−2(0≤

≤

2

)

在

(0,

2

)

上存在唯一零点

0

∈(

6

,

2

)

，所以

′()=2()

在

(0,

2

)

上亦存在唯一零点，

因为

′()

是奇函数，所以

’()

在

(−

2

,0)

上也存在唯一零点

−

0

，故共

3

个零点；

(2)

条件等价于不等式cos(2)≤2恒成立，令

=∈[−1,1]

，则等价于不等

式2≤(1−

2)…(1)恒成立，则若2=1，即

=1

时，不等式

(1)

显然成立，此

时

∈

，若

−1<<1

时，不等式

(1)

等价于

≥2

(1−2)2

…(2)

，构造函数，利用导数求

得单调性进而可判断

a

的范围．

本题考查函数导数的综合应用，考查利用导数判断函数零点个数，导数求函数单调性，

属于难题．