判断矩阵

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等价：存在可逆矩阵QP,，使BPAQ，则A与B等价；

相似：存在可逆矩阵P，使BAPP1，则A与B相似；

合同：存在可逆矩阵C，使BACCT，则A与B合同.

一、相似矩阵的定义及性质

定义1设BA,都是

n

阶矩阵，若有可逆矩阵P，使BAPP1

，则称B是A的相似矩阵，或

说矩阵A与B相似，记为BA~.对A进行运算APP1

称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称

为把A变成B的相似变换矩阵.

注矩阵相似是一种等价关系.

（1）反身性：AA~.

（2）对称性：若BA~，则AB~.

（3）传递性：若BA~，CB~，则CA~.

性质1若BA~，则

（1）

TTBA~；

（2）

11~BA；

（3）EBEA；

（4）BA；

（5）)()(BRAR.

推论若

n

阶矩阵A与对角矩阵































n









2

1

相似，则

n

,,,

21

是A的n个特

征值.

性质2若

1PBPA，则A的多项式1)()(PBPA.

推论若A与对角矩阵相似，则

1

2

1

1

)(

)(

)(

)()(





























PPPPA

n











.

注（1）与单位矩阵相似的只有它本身；

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（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似祛痘品牌 .

二、矩阵可对角化的条件

对

n

阶方阵A，如果可以找到可逆矩阵P，使APP1

为对角阵，就称为把方阵A对

角化。

定理1

n

阶矩阵A可对角化（硫化氢化学式 与对角阵相似）A有

n

个线性无关的特征向量。

推论如果

n

阶矩阵A的

n

个特征值互不相等，则A与对角阵相似.（逆命题不成立）

注：（1）若A～，则的主对角元素即为A的特征值，如果不计

i

的排列顺序，则唯一，

称之为矩阵A的相似标准形。

（2）可逆矩阵P由A的

n

个线性无关的向量构成。

把一个矩阵化为对角阵，不仅可锦鲤怎么画 以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。

可对角化的矩阵主要有以下几种应用：

三、实对称矩阵的相似矩阵

实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化.即存在可逆矩阵P，使得APP1

.

更可找到正交可逆矩阵T，使和ATT1

定理2实对称矩阵的特征值为实数。

定理2的意义：因为对称矩阵A的特征值

1

为实数，所以齐次线性方程组0)(xEA

i

是实

系数方程组。又因为0EA

i

，可知该齐次线性方程组一定有实的基础解系，从而对应的

特征向量员工请假条模板 可以取实向量。

定理3：实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量正交。

定理4：A为

n

阶实对称矩阵，

0

是A的k重特征值，则对应于

0

的特征向量中，线性无关的

个数为k，即0)(

0

XEA的基础解系所含向量个数为k。

定理5：（实对称矩阵必可对角化）

对于任一

n

阶实对称矩阵A，一定存在

n

阶正交矩阵T，使得ATT1

。其中是以A的

n

个特征值为对角元素的对日记一年级 角阵。

定义2若二次型AxxfT，三国手抄报 则对称矩阵A叫做二次型f的矩阵，也把f叫做对称矩阵A的

二次型.对称矩阵A的秩就叫做二次型f的秩.

推理对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正.

定理3对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正，即

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0

11

a，0

2221

1211

aa

aa

，0,

1

111



nnn

n

aa

aa







；

对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正

1.设A为正定阵，则

*1,,AAAT

均为正定矩阵；

2.设BA,均为正定矩阵，则BA也是正定矩阵.

四、如果

n

阶矩阵A与B相似，那么A与B的特征值相同吗？

答一定相同。因为它们有相同的特征多项式。

证明A与B相似，即存在可逆矩阵P，使BAPP1

，

EAEAPPEAPPEPAPPEB1111)()(

但务必注意：

1.即使A与B的特征值都相同，A与B也未必相同。

2.虽然相似矩阵有相同的特征值，但特征向量不一定相同。

五、判断矩阵A是否可对角化的基本方法有哪些？

答常有如下四种方法。

（1）判断A是不是实对称矩阵，若是一定可对角化。

（2）求A的特征值，若

n

个特征值互异，则A一定可对角化。

（3）求A的特征向量，若有

n

个线性无关的特征向量，则A可对角化，否则不可对角化。

（4）方阵A可对角化的充要条件是A的每个重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于该

特征值的重数。

一般来说，常用方法（2）和（4），且（2）中的条件仅仅是充分的。

六、已知

n

阶方阵A可对角化，如何求可逆矩阵P，使得?),,,(diag

21

1

n

APP

答若

n

阶方阵A可对角化时，则求可逆矩阵P的具体步骤为：

（1）求出A的全部特征值

s

,,,

21

；

（2）对每个)1(si

i

，求齐次方程组0)(xEA

i

的基础解系，得n个线性无关的特征

向量

n

,,

21

；

（3）令),,,(

21n

P，则),,,(

21

1

n

diagAPP，其中

n

,,,

21

为

n

,,,

21

对应的特征值。

七、对于实对称矩阵A，如何求正交矩阵P，使APP1

为对角阵？

答若A为

n

阶实对称矩阵，则一定存在正交阵P，使APP1

为对角阵。可按以下步骤求出正

交矩阵P。

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（1）求出方阵A的全部特征值

s

,,,

21

，其中重根数分别为第一次世界大战的原因

s

kkk,,,

21

。

（2）对每一个

i

求出齐次线性方程组0)(xEA

i

的基础解系

si

ikii

,,2,1,,,,

21

。

（3）将si

ikii

,,2,1,,,,

21

正交化（若1

i

k，则只须单位化）得正交单位特征向量

组：

n

ppp,,

21

。

令),,,(

21n

pppP

（4）































n

APP







2

1

1



，其中是特征向量

i

p所对应的特征值。

九、如何判断一个二次型AxxfT是正定的？

答判别二次型AxxfT正定性的方法通常有

（1）用定义，

（2）f的标准形中的

n

个系数全为正，

（3）对称矩阵A的特征值全大于0，

（4）正惯性指数np，

（5）计算矩阵A的各阶顺序主子式，各阶顺序主子式均大于0。

十三、什么叫矩阵的合同？矩阵合同与矩阵相似有什么区别与联系？

答如果存在可逆矩阵P，使，则称矩阵A与B合同。

合同关系是一种等价关系，矩阵合同在证明矩阵正定性和化二次型为标准型中有很广泛的应用，

在此给出一个非常有用的结论：

如果矩阵A与矩阵E合同，则A为正定矩阵。

合同与矩阵相似是有区别的，矩阵A与B相似，则存在可逆矩阵P，使BAPP1

。显然，

若P为正交矩阵，则

1PPT

，矩阵合同与矩阵相似就有联系了，由此我们可得出：

如果A为

n

阶实对称矩阵，则存在正交矩阵P，使APP1

，此时A与相似，A与合

同。