如何求极限

极限的常用求法及技巧

引言

极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的

基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方

法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。

极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变。极限被称为微积分学习的

第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结，

我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限（定积分），其中

函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷五花肉炖豆腐 的两大类，如果再详细分下

去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x趋于正无穷，

x趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较

全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种

方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到

能够举一反三，触类旁通

。

1数列极限的常用求法及技巧

数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方

法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方

法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求

法。

1.1利用定义求数列极限

利用定义法即利用数列极限的定义设

n

a为数列。若对任给的正数N，使得n大于

N时有

aa

n

则称数列

n

a收敛于a,定数a称为数列

n

a的极限，并记作

,lim

n

a

n

a



或

)(,na

n

读作当n趋于无穷大时，

n

a的极限等于a或

n

a趋于a

例证明

2

3

2

2

n

lim





n

n

解由于

)3n

9

3n

9

3

2

3

22

2









（

n

n

n

因此，对于任给的



>0,只要

n

9

，便有





3

3

3

2

2

n

n

即当n



9



时，（2）试成立。又因为（1）式是在

3n

的条件下也成立，故应取

.

9

,3max

















N

在利用数列的N定义时，应意识到下几点

1.



的任意性定义中的正数



的作用在于衡量数列通项

n

a与定数a的接近程度，



越小，表示接近的愈好；而正数



可以任意的小，说明

n

a与a可以接近到任何程度。

然而，尽管



有其任意性，但已经给出，就暂时的被确定下来了，以便依靠它来求出

N.又

1.2利用极限的四则运算

极限的四则运算法则

若{

n

a}与{

n

b}为收敛数列，则{

nn

ab}，{

nn

ab}，{

nn

ab•}也都是收敛数列，其有

lim()lim

lim()limlim

nnnn

nn

nnnn

nnn

abab

abab







•

例求

lim(1)

n

nnn

died 



解

1

(1)

11

11

n

nnn

nn

n







由

1

11()n

n



得

11

lim(1)lim

2

1

11

nn

nnn

n







1.3利用单调有界定理

单调有界定理即在实数系中，有界的单调数列必有极限，单调数列即若数列

n

a的各

项关系式，

)(

11



nnnn

aaaa

则称

n

a为递增（递减）数列。

递增数列和递减数列统称为单调数列。有界性即存在使得对于一切正整数n,有

Ma

n

这一方法是利用极限理论基本定理：单调有界数列必有极限，其方法为:(1)判定

数列是单调有界的，从而可设其极限为A。（2）建立数列相邻两项之间的关系式。（3）

在关系式两端取极限，得以关于A的方程，若能解出A，问题就可以解决了。

一般利用单调有界原理求极限的题目都给出了第n项和第n+1项的关系式。首先应

用归纳法或“差法”，“比法”等方法证明其单调性，再证明其单调性，有界性（或先证

有界，再证单调）。由单调有界定理得出极限的存在性，然后对关系式两端求极限，

例求数列,,aaaaaaaaaLLL其中（a>0）极限

解:设

0

x穿越之农妇的春天 a，

10

xaaax

…

1

(1,)

nn

xaxn





则{

n

x}是单调有界数列，它必有极限，设其极限为十二星座顺序 A在

1nn

xax



两边取极限得AaA即20AAa

所以

114

2

a

A



，因为A>0所以

114

2

a

A





即

114

lim

2n

n

a

x







例设x0

>0,a>0,x1n

=

2

1

(xn

+

xn

a

),n=0,1,2….z证明数列

xn

的极限存在，并求

之。

证明：

易见xn

>0,n=0,1,2….所以有

x1n

=

2

1

(xn

+

xn

a

)≥xn

.

xn

a

=a

x1n

=

2

1

(xn

+

xn

a

)≥

2

1

(xn

+

x

x

n

n

2

)=xn

=)(

1

)(1

121aaa

l

ln









由0

n

0)(-nl，从而

lim

n

anlim

n

an1

=

l

l

l

aaaa

a













11

2112

1

a

a

n

n

n

1lim



=

1

1

lim

lim

lim

n









a

a

n

n

n

n

1.4利用迫敛法则

利用迫敛法则求极限主要利用放缩法将其同时放大或缩小成俩个已知数列。（已知数列

的极限相同）即设数列

n

a,

n

b都以a为极限，且存在

0

N,使得当n>

0

N时

bcannn



则数列

n

c收敛，且ac

n

n





lim。

由迫敛法则可得所求极限与已知数列极限相等

例求lim

n

)n26.4.2

1-n25.3.1

（

）（





解：记xn

=

)n26.4.2

1-n25.3.1

（

）（





，y

n

=

)1n27.5.3

2(6.4.2

（

）



n

显然xn

n

,n=1.2…,所以即数列



xn

单调递减有下界，极限存在。记lim

n

xn

=,对关系式x1n

=

2

1

(xn

+

xn

a

)

令n→∞取得极限得到A=a.(其中A=-a<0，因不合舍去)例设ai

﹥0（i=1，2，

3…m）,记M=max(a1

,a2

,…am

)。证明

lim

n

an

1

+an

2

+…a

m

n

=Mn

证明：因Mn

1

+an

2

+…a

m

n

即lim

n

an

1

+an

2

+…a

m

n

=Mn

1.5利用递推关系

有些题目中数列的单调性不易证得时就不能应用单调有界定理，此时可尝试采用递推关

系应用压缩原理去解决.这些题目一般都给我们一个递推式)(

1

n

n

afa



，但单调性不易

或根本无单调性，

例设a1

，a2

为任意取定的实数，且a

1

2+a

2

2≠0，定义aaannn

lk

11

①

其中，k,l为正数，且,1lkn=1,2….试求

a

a

n

n

n

1lim



证明由

,1lk

即0

l

<1.由①式得

laaaannn

l2

1n1

)(-



（)()

12

1

21aalaan

nn







aaaaaaaannnnn112111

)()()(





=aaalllnn

112

21))](1)()[(所以有

0

n

2

n

=

1n2

1



即0

<

1n2

1



→0，(n→∞)故lim

n

xn

=0

1.6利用上下极限

一个有界数列未必存在极限，但它一定有上下极限，且有界数列极限存在的充要条件是

其上下极限相等。对于一个有界数列

n

a取掉它的最初K项以后，剩下来的仍旧是一

个数列，记这个数列的上确界为

k

，下确界为

k

亦即

k

=

32,1

kn

,supsup







kkkn

aaaa

k

=

32,1

,infinf







kkkn

kn

aaaa

可见

k

<

k

,3,2,1k令于是可以得到一列

k

和一列

k

,显然

k

是单调递减

的，

k

是单调递增的，所以这两个数列的极限都存在，我们称

k

的极限为数列

n

a

的上极限，

k

为数列

n

a的下极限。我们可根据上下极限处理一些极限问题

例设lim

n

xn

=A.求证

lim

n







n

n

nxxxn13

2

2

1

21



A

证明由lim

n

xn

=A,知对任给0，存在N,使得当n>N时，有

A-





于是y

n

=

n

n

nxxxn13

2

2

1

21



=

)

12

1

(

1

)

1N

N

3

2

2

1

(

1

121xxxxxnNNn

n

N

N

nn

















))(n(

1

)

1N

N

3

2

2

1

(

1

21





AN

nn

xxxN



两边取上极限得





A

n

y

n

lim

同理可证



Ay

n

n

lim

_____

于是



Ay

n

n

lim

_____

于是

Ay

n

n

lim

_____



lim

n

y

n







A

n

y

n

lim

由



的任意性得lim

n

Ay

n

亦即lim

n







n

n

nxxxn13

2

2

1

21



A

1.7利用笑死人的高考零分作文 stolz定理

Stolz定理

若所求极限为

x

y

n

n型，且

y

n

是单调增加的无穷大量.。且

lim

nyy

xx

nn

nn

1

1









=a则lim

nx

y

n

n=a

或{}

n

x，{}

n

y都是无穷小量，且{}

n

y是严格单调减少数列，且

1

n

1

limnn

nn

xx

a

yy













(

a

为有限量，



与)，则

n

limn

n

x

a

y



证明{}

n

y是严格单调增加的正无穷大量，且1

n

1

limnn

nn

xx

a

yy













(

a

为有限量，



与)

则

n

limn

n

x

a

y



证：

(1)考虑

a

=0的情况

由1

n

1

lim0nn

nn

xx

yy













，有1

1

,,(),nn

nn

xx

NnnN

yy











即

11nnnn

xxyy





则

1121nnnnnNNN

xxxxxxxx



L

1121nnnnNNN

xxxxxxx



L

1121nnnnNNN

yyyyyyx







L

n

y是严格单调增加的，因此

1121

N

nnnnnNN

nnn

x

xyyyyyy

yyy







L

N

nnN

nnn

x

xyy

yyy







N

n

nn

x

x

yy



n

y是正无穷大量

22

,(),N

n

x

NnnN

y



取'

2

Nmax(,)1NN，'()nnN有

2n

n

x

y



所以

n

lim0n

n

x

y



(2)当a是非零有限数时，令'

nnn

xxay，于是由

''

11

nn

11

limlim0nnnn

nnnn

xxxx

a

yyyy













得到

'

n

lim0n

n

x

y



，从而

'

nn

limlimnn

nn

xx

aa

yy



(3)a的情况

首先'

11

,(),

nnnn

NnnNxxyy





说明{

n

x}也严格单调增加，且从

nNnN

xxyy可知{

n

x}是正无穷大量

将前面的结论应用到n

n

y

x







，得到

1

1

limlim0nnn

nn

nnn

yyy

xxx













因而

n

limn

n

x

y



(4)对于

a

的情况，证明方法类同

2．{}

n

x，{}

n

y都是无穷小量，且{}

n

y是严格单调减少数列，且1

n

1

limnn

nn

xx

a

yy













(

a

为有

限量，



与)，则

n

limn

n

x

a

y



证：

a

为有限量

因11

nn

11

limlimnnnn

nnnn

xxxx

a

yyyy













，所以

1

1

,,(),

22

nn

nn

xx

NnnNaa

yy













，其中

1

0

nn

yy





111

()()()()

22nnnnnn

ayyxxayy







采用类似定理1的证明，可以得到

()()()()

22nnpnnpnnp

ayyxxayy







令p，且0

np

x



，0

np

y





利用Stolz定理时，应注意验证题目所给数列是否满足定理的内容

例求极限lim

nn

n

k

k

k

1

k21





解经检验分母1nk，时，n且单调递增，所以满足条件。令

xn

=1k+2k+…nk，y

n

=nk1

lim

n









yy

xx

nn

nn

1

1lim

n）1(kn

nk

=

nCn

n

n

n

k

k

2)1k（

=

1

1

k

可得原极限=

1

1

k

例已知数列

n

x满足条件0)(

2lim





nn

n

xx

证明01袁隆平爷爷的故事 lim







n

xx

nn

n

显然由Stolz定理可得

lim

n

n

xxn

2

12n2



=lim

n

(

)12(2

123-22-22







nn

xxxxnnnn)

=

2

1lim

n

(xn2

—xn12

+x3-n2

—x2-n2

)

=0

又∵lim

n）12(12

21n2







nn

xxn=lim

n)12(12

221221n2







nn

xxxxnnn

=

2

1lim

n

(x1n2

—x2-n2

+xn12

—xn2

)

=0

∴lim

n

n

xxnn

)(

1



=0

1.8利用特殊极限

利用特殊极限法即将题目变成一些特殊的极限形如lim

n

)

n

1

1（

n

=e。

现证明：

1

lim(1)n

nn

存在。

证明：先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n有

11

(1)

nn

n

ba

nb

ba







或11(1)()nnnbanbba，整理后得不等式1[(1)]nnabnanb。

（1）

令a=1+

1

1n

，b=1+

1

n

，将它们代入（1）。由于

11

(1)(1)(1)(1)1

1

nanbnn

nn





，

故有1

11

(1)(1)

1

nn

nn





，这就是说

1

{(1)}n

n



为递增数列。

再令a=1，b=1+

1

2n

代入（1）。由于

11

(1)(1)(1)

22

nanbnn

n



，故有

11

1(1)

22

n

n



，

1

2(1)

2

n

n



。不等式两端平方后有2

1

4(1)

2

n

n



，它对一切自然数n成立。联系数列的单

调性，由此又推得数列

1

{(1)}n

n



是有界的。于是由单调有界定理知道极限

1

lim(1)n

nn



是存

在的。

我们通常用拉丁字母代该数列的极限即

1

lim(1)n

nn

=e

利用该种方法应该记忆一些常用数列的极限。

例求

n

2

lim(1)n

n



解

2

2

2

n

22

lim(1)lim1

n

n

n

e

nn

















例求极限lim

n

n)

3n2

1-n2

(



解lim

n

n)

3n2

1-n2

(



=lim

n

32

4

*

4

32

)

32

4

1(





n

nn

n

=e2-

1.9利用定积分

利用定积分求极限的方法即利用定积分的定义计算项数无限增多的无穷小量之和，有时

可设法把问题化为某一函数在某一区间上的积分和的极限问题，从而利用定积分求解。

有时问题呈现乘积的形式，也可试用本方法，只式要先取对数将问题转化为和的形式。

定积分的定义设函数f(x)在[ab]上有界在[ab]中任意插入若干个分点

ax

0

x

1

x

2

x

n



1

x

n

b

把区间[ab]分成n个小区间

[x

0

x

1

][x

1

x

2

][x

n



1

x

n

]

各小段区间的长依次为

x

1

x

1

x

0

x

2

x

2

x

1

x

n

x

n

x

n



1



在每个小区间[x

i



1

x

i

]上任取一个点

i

(x

i



1



i

x

xi

)作函数值f(

i

x)与小区

间长度x

i

的乘积

f(

i

x)x

i

(i12n)并作出和







n

i

ii

xfS

1

)(

记max{x

1

x

2

x

n

}如果不论对[ab]怎样分法也不论在小区间[x

i



1

x

i

]

上点

i

怎样取法只要当0时和S总趋于确定的极限I这时我们称这个极限I

为函数f(x)在区间[ab]上的定积分记作b

a

dxxf)(

即









n

i

ii

b

a

xfdxxf

1

0

)(lim)(





其中f(x)叫做被积函数f(x)dx叫做被积表达式x叫做积分变量a叫做积分下限b

叫做积分上限[ab]叫做积分区间

定义设函数f(x)在[ab]上有界用分点ax

0

x

1

x

2

x

n



1

x

n

b把[ab]分成n

个小区间[x

0

x

1

][x

1

x

2

][x

n



1

x

n

]记x

i

x

i

x

i



1

(i12n)

任

i

[x

i



1

x

i

](i12n)作和







n

i

ii

xfS

1

)(



记max{x

1

x

2

x

n

}如果当0时上述和式的极限存在且极限值与

区间[ab]的分法和

i

的取法无关则称这个极限为函数f(x)在区间[ab]上的定积分

记作b

a

dxxf)(

即









n

i

ii

b

a

xfdxxf

1

0

)(lim)(





根据定积分的定义曲边梯形的面积为

b

a

dxxfA)(

而我们经常利用积分定义中的下面的式子

lim

n





n

1i

f（（b-a）i

n

1

）（b-a）

n

1

=b

a

f(x)dx

利用这种方法时应注意区间的对应性

例求极限lim

n

n

1

(

)

)1(

sin

2

sinsin

n

n

nn





=

n

1



n

1i

sin(i-1/n)



=1

0

sin



x=



2

例求极限lim

n

n

1

nnn

1

)12(*)2(*)1(n*n

解设xn

==lim

n

n

1

nnn

1

)12(*)2(*)1(n*n=lim

n

n

n

n

n

1

)

1

1(*)

2

1(*)

n

1

(1





则

分析直接不能使用积分法，可先取对数，再去求解

lim

n

lnxn

=

n

1孕妇喝牛奶 



1

0n

ln

n

（1+

n

k

）=1

0

ln(1+x)=2ln2-1

例计算

1

lim

!

n

nnn

（2n）!

解

1(2(2)!12

(1)(1)...

!!

nnn

n

n

nnn

a

nnnnnnn



）！

（1+）

、

先考虑

11

11

lnln(1)ln(1)

nn

n

ii

ii

a

nnnn



，从而有

1

1

0

0

limlnln(1)(1)ln(1)12ln21

n

n

axdxxx





因此2ln21

4

lim

n

n

ae

e







1.10利用级数

利用级数方法即根据数列构造相应的级数，当级数收敛时，所求数列极限为0，判别级

数收敛的方法常用的如下

（一）比较原则：设n

u与n

v是两个正项级数，若

（1）当10时，两级数同时收敛或同时发散；

（2）当0l且级数n

v收敛时，级数n

u也收敛；

（3）当l且级数n

v发散时，级数n

u也发散；

（二）比式判别法（极限形式）若n

u为正项级数，且limq

u

u

n

n1则

(1)当1q时，级数n

u也收敛；

(2)当1q时，或q时，级数n

u发散；

注：当1q时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛

的，也可能是发散的.例如，级数2

1

n

与

n

1

，它们的比式极限都是1lim1



n

n

nu

u

但

2

1

n

是收敛的，而

n

1

是发散的.

（三）根式判别法（极限形式）若n

u为正项级数，且

1lim



n

n

n

u

则

(1)当

1l

时，级数收敛

(2)当

1l

时，级数发散

注：当

1l

时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，级数2

1

n

与

n

1

，二者都有

1lim



n

n

n

u

，但2

1

n

是收敛的，而

n

1

是发散的.但2

1

n

是收敛的

而

n

1

是发散的.

（四）积分判别法：设

f

是,1上非负递减函数那么正项级数)(nf与非正常积分



1

)(dxxf同时收敛或同时发散；

（五）拉贝判别法（极限形式）若n

u为正项级数，且

r

u

u

n

n

n

n





)1(lim1

存在，则

(1)当1r时，级数n

u收敛；

(2)当1r时，级数n

u发散；

(3)当1r时拉贝判别法无法判断.

构造一般项级数或构造相应的幂级数，求得其数项级数的和。利用这种方法时应注意所

代入的数是否在收敛域内，否则不能用该种方法

例求极限lim

nnn

n!2n

解构造级数∑

nn

n!2n

用达朗贝尔判别法有lim

n!

)!1(

2)1(

2

1n

1

n

n

n

n

nn

n



=

lim

n

nn

n

)

1

1(

1

)1(

n2





=

e

2

<1

从而级数∑

nn

n!2n

收敛。由收敛的必要条件得lim

nnn

n!2n

=0

例求级数lim

n

a1+2a2+…nan

解构造幂级数f(x)=

1n

nxn,显然该幂级数的收敛域为（-1,1）。下面求和函数。

因为

f(x)=

1n

n

xn

=x

1n

n

xn1

=xg(x),其中g(x)=

1n

n

xn1

，所以

x

0

g(t)dt=

1n

nx

0tn1dt=

1n

xn=

x1

x

故lim

n

a1+2a2+…nan=f(a)=

2

)1(a

a



(0

1.11各种方法的综合使用

有时除了以上几种方法外，还必须多种方法综合使用。

例求极限lim

n

1n

(sin



）

n



+

2

1

)

2

sin(

n

n



+…

n

n

1

sin





分析直接利用积分法无法求解，但通过放缩后可以利用积分法求解，然后再利用迫敛

法求解

解记xn

=

1n

(sin



）

n



+

2

1

)

2

sin(

n

n



+…

n

n

1

sin





则





n

k1

1

)sin(

n

n

k



＜xn

＜



n

k

n

n

n

k

1

1

)sin(

且lim

n





n

k1

1

)sin(

n

n

k



＝lim

n

［

1

n

n





n

k1

n

n

k

)sin(

］＝1

0

xsin）（ｄｘ=



2

lim

n





n

k

n

n

n

k

1

1

)sin(

=lim

n

n

n

n

1







n

k

n

n

n

k

1

1

)sin(

=1

0

xsin）（ｄｘ=



2

故lim

n

xn

=



2

对于

何实数a，设数列xn

＝asinsinsin，其中ｓｉｎ符号为ｎ重，ｎ＝１,2,3….证明数

列

xn

是收敛的，并求出lim

n

xn

．

解显然对aR,-1≤asin≤1

①妨设0≤

asin

≤1,即0≤x1

≤1,xn1

=sinxn

，0≤xn

≤1，n=1,2….即

数列

xn

是有界的。又xn1

=sinxn

≤xn

，n=1,2….即数列

xn

是递减的。

故数列

xn

的极限存在。记xn1

=A,对xn1

=sinxn

。俩边求极限

即lim

n

xn

=0，

若-电脑录音怎么录 1≤

asin

≤0，则xn

=-

asinsinsin

,可转化为①，同样有lim

n

xn

=0