求极限的方法总结

求极限方法总结

1、四则运算

设lim(),lim()

pp

fxAgxB（A、B为常数）则

lim[()()]lim()lim()

ppp

fxgxfxgxAB；

lim[()()]li十旬休假 m()lim()

ppp

fxgxfxgxAB；

lim()

()

lim(0)

()lim()

p

p

p

fx

fxA

B

gxgxB



例1

3

2

lim(23).

x

xx





解:333

2222

lim(23)limlim(2)lim322237

xxxx

x抗疫背景 xxx





2、约去零因子法

当分子极限

0

0

lim()()0

xx

pxpx



时，即当

0

xx时，分式

()

()

Px

Qx

的分子、分母的极

限均为0（称此式

0

0

型不定式）时，多项式()Px与()Qx必有公因子

0

()xx，故在求

0

()

lim

()xx

Px

Qx

时，分子分母可以先约去

0

()xx黑豆的功效与作用禁忌 电脑插上耳机没声音怎么办 ，再求极限。

例2.

2

3

3

lim

9x

x

x





解：2

333

3311

limlimlim

93336xxx

xx

xxxx







3、同除以最高次丢脸 幂

当

x

时，分子与分母都是无穷大，故不能直接应用商的极限运算法则。将分子分母

同除以

x

的最高次幂，此时分子、分母都有极限存在，且分母极限不为零。

例3

2

3

51

lim

232x

xx

xx





解：

2

23

23

3

23

23

511

511

lim

510

limlim0

32

32

2322

2

lim2

x

xx

x

xx

xxx

xxx

xx

xx

xx

































推论

1

011

1

011

lim

nn

nn

mm

x

mm

axaxaxa

bxb茶树菇怎么做好吃 xbxb

















1

0110

1

0110

0,

lim,

,

nn

nn

mm

x

mm

mn

axaxaxaa

mn

bxbxbxbb

mn



































4、等价无穷小代换

当0x时，有下面一些常用的等价无穷小

sinxx；2

1

1cos

2

xx；11

2

x

x；tanxx；

arcsinxx；arctan~xx；1~xex；ln1~xx

例4、

0

tan3

lim

sin5x

x

x

解：因为当0x时，tan33xx，sin55xx，所以

00

ta观察日记动物 n333

limlim

sin555xx

xx

xx

.

5、两个重要极限

例5、

0

tan

lim

x

x

x

解：

0000

tansin1sin1

limlimlimlim1

coscosxxxx

xxx

xxxxx









5.1

1

lim1

x

x

e

x









型1

lim1x

x

xe





例6

22

lim1

x

xx









解：

4

4

22

2

4

211

lim1lim1lim1

22

xx

x

xxx

e

xx

x

罗曼罗兰经典语录 



























基本功训练 

