数学卷

2018

年上海市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共

6

小题，每小题

4

分，共

24

分）

1

．下列实数中，无理数是（）

A

．

0B

．

C

．﹣

2D

．

【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．

【解答】解：

0

，﹣

2

，是有理数，

数无理数，

故选：

B

．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如

，，

0.8080080008…

（每两个

8

之间依次多

1

个

0

）等形式．

2

．下列方程中，没有实数根的是（）

A

．

x2﹣

2x=0B

．

x2﹣

2x

﹣

1=0C

．

x2﹣

2x

+

1=0D

．

x2﹣

2x

+

2=0

【分析】分别计算各方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．

【解答】解：

A

、△

=

（﹣

2

）2﹣

4

1

0=4

＞

0

，方程有两个不相等的实数根，所以

A

选项错误；

B

、△

=

（﹣

2

）2﹣

4

1

（﹣

1

）

=8

＞

0

，方程有两个不相等的实数根，所以

B

选项错误；

C

、△

=

（﹣

2

）2﹣

4

1

1=0

，方程有两个相等的实数根，所以

C

选项错误；

D

、△

=

（﹣

2

）2﹣

4

1

2=

﹣

4

＜

0

，方程没有实数根，所以

D

选项正确．

故选

D

．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程

ax2+

bx

+

c=0

（

a

≠

0

）的根与△

=b2﹣

4ac

有如下关系：当△＞

0

时，方程有两个

不相等的实数根；当△

=0

时，方程有两个相等的实数根；当△＜

0

时，方程无实数根．

3

．如果一次函数

y=kx

+

b

（

k

、

b

是常数，

k

≠

0

）的图象经过第一、二、四象限，那么

k

、

b

应满足的条件是（）

A

．

k

＞

0

，且

b

＞

0B

．

k

＜

0

，且

b

＞

0C

．

k

＞

0

，且

b

＜

0D

．

k

＜

0

，且

b

＜

0

【分析】根据一次函数的性质得出即可．

【解答】解：∵一次函数

y=kx

+

b

（

k

、

b

是常数，

k

≠

0

）的图象经过第一、二、四象限，

∴

k

＜

0

，

b

＞

0

，

故选

B

．

【点评】本题考查了一次函数的性质和图象，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．

4

．数据

2

、

5

、

6

、

0

、

6

、

1

、

8

的中位数和众数分别是（）

A

．

0

和

6B

．

0

和

8C

．

5

和

6D

．

5

和

8

【分析】将题目中的数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的众数和中位数，本题得以解决．

【解答】解：将

2

、

5

、

6

、

0

、

6

、

1

、

8

按照从小到大排列是：

0

，

1

，

2

，

5

，

6

，

6

，

8

，

位于中间位置的数为

5

，

故中位数为

5

，

数据

6

出现了

2

次，最多，

故这组数据的众数是

6

，中位数是

5

，

故选

C

．

【点评】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一组数据的众数和中位数．

5

．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）

A

．菱形

B

．等边三角形

C

．平行四边形

D

．等腰梯形

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：

A

、菱形既是轴对称又是中心对称图形，故本选项正确；

B

、等边三角形是轴对称，不是中心对称图形，故本选项错误；

C

、平行四边形不是轴对称，是中心对称图形，故本选项错误；

D

、等腰梯形是轴对称，不是中心对称图形，故本选项错误．

故选

A

．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对

称图形是要寻找对称中心，旋转

180

度后两部分重合．

6

．已知平行四边形

ABCD

，

AC

、

BD

是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）

A

．∠

BAC=

∠

DCAB

．∠

BAC=

∠

DACC

．∠

BAC=

∠

ABDD

．∠

BAC=

∠

ADB

【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．

【解答】解：

A

、∠

BAC=

∠

DCA

，不能判断四边形

ABCD

是矩形；

B

、∠

BAC=

∠

DAC

，能判定四边形

ABCD

是菱形；不能判断四边形

ABCD

是矩形；

C

、∠

BAC=

∠

ABD

，能得出对角线相等，能判断四边形

ABCD

是矩形；

D

、∠

BAC=

∠

ADB

，不能判断四边形

ABCD

是矩形；

故选：

C

．

【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定；熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键．

二、填空题（本大题共

12

小题，每小题

4

分，共

48

分）

7

．计算：

2aa2=2a3．

【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的

因式，计算即可．

【解答】解：

2aa2=2

1aa2=2a3．

故答案为：

2a3．

【点评】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．

8

．不等式组的解集是

x

＞

3

．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的

解集．

【解答】解：解不等式

2x

＞

6

，得：

x

＞

3

，

解不等式

x

﹣

2

＞

0

，得：

x

＞

2

，

则不等式组的解集为

x

＞

3

，

故答案为：

x

＞

3

．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知

“

同大取大；同小取小；大小小大中间找；

大大小小找不到

”

的原则是解答此题的关键．

9

．方程

=1

的解是

x=2

．

【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方，解出

x

的值，然后，验根解答出即可．

【解答】解：，

两边平方得，

2x

﹣

3=1

，

解得，

x=2

；

经检验，

x=2

是方程的根；

故答案为

x=2

．

【点评】本题考查了无理方程的解法，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的

结构特征选择解题方法，解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．

10

．如果反比例函数

y=

（

k

是常数，

k

≠

0

）的图象经过点（

2

，

3

），那么在这个函数图象所在的每个象限内，

y

的值随

x

的值

增大而减小．（填

“

增大

”

或

“

减小

”

）

【分析】先根据题意得出

k

的值，再由反比例函数的性质即可得出结论．

【解答】解：∵反比例函数

y=

（

k

是常数，

k

≠

0

）的图象经过点（

2

，

3

），

∴

k=2

3=6

＞

0

，

∴这个函数图象所在的每个象限内，

y

的值随

x

的值增大而减小．

故答案为：减小．

【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．

11

．某市前年

PM2.5

的年均浓度为

50

微克

/

立方米，去年比前年下降了

10%

，如果今年

PM2.5

的年均浓度比去年也下降

10%

，

那么今年

PM2.5

的年均浓度将是

40.5

微克

/

立方米．

【分析】根据增长率问题的关系式得到算式

50

（

1

﹣

10%

）2，再根据有理数的混合运算的顺序和计算法则计算即可求解．

【解答】解：依题意有

50

（

1

﹣

10%

）2

=50

0.92

=50

0.81

=40.5

（微克

/

立方米）．

答：今年

PM2.5

的年均浓度将是

40.5

微克

/

立方米．

故答案为：

40.5

．

【点评】考查了有理数的混合运算，关键是熟练掌握增长率问题的关系式．

12

．不透明的布袋里有

2

个黄球、

3

个红球、

5

个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概

率是．

【分析】由在不透明的袋中装有

2

个黄球、

3

个红球、

5

个白球，它们除颜色外其它都相同，直接利用概率公式求解，即可得到

任意摸出一球恰好为红球的概率．

【解答】解：∵在不透明的袋中装有

2

个黄球、

3

个红球、

5

个白球，它们除颜色外其它都相同，

∴从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是：

=

．

故答案为：．

【点评】此题考查了概率公式的应用．解题时注意：概率

=

所求情况数与总情况数之比．

13

．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（

0

，﹣

1

），那么这个二次函数的解析式可以是

y=2x2﹣

1

．，

∴该抛武线的解析式为

y=ax2﹣

1

，

又∵二次函数的图象开口向上，

∴

a

＞

0

，

∴这个二次函数的解析式可以是

y=2x2﹣

1

，

故答案为：

y=2x2﹣

1

．

【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．

14

．某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如图所示，又知二月份产值是

72

万元，那么该企业第一季度月

产值的平均数是

120

万元．

【分析】利用一月份的产值除以对应的百分比求得第一季度的总产值，然后求得平均数．

【解答】解：第一季度的总产值是

72

（

1

﹣

45%

﹣

25%

）

=360

（万元），

则该企业第一季度月产值的平均值是

360=120

（万元）．

故答案是：

120

．

【点评】本题考查了扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通

过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位

1

），用圆的扇形面积表示

各部分占总数的百分数．

15

．如图，已知

AB

∥

CD

，

CD=2AB

，

AD

、

BC

相交于点

E

，设

=

，

=

，那么向量用向量、表示为+

2

．

【分析】根据

=

+，只要求出即可解决问题．

【解答】解：∵

AB

∥

CD

，

∴

==

，

∴

ED=2AE

，

∵

=

，

∴

=2

，

∴

=

+

=

+

2

．

【点评】本题考查平面向量、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则求向量，属于基础题．

16

．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点

C

与

F

重合，边

CA

与边

FE

叠合，顶点

B

、

C

、

D

在一条直线上）．将三角尺

DEF

绕

着点

F

按顺时针方向旋转

n

后（

0

＜

n

＜

180

），如果

EF

∥

AB

，那么

n

的值是

45

．

【分析】分两种情形讨论，分别画出图形求解即可．

【解答】解：①如图

1

中，

EF

∥

AB

时，∠

ACE=

∠

A=45

，

∴旋转角

n=45

时，

EF

∥

AB

．

②如图

2

中，

EF

∥

AB

时，∠

ACE

+∠

A=180

，

∴∠

ACE=135

∴旋转角

n=360

﹣

135=225

，

∵

0

＜

n

＜

180

，

∴此种情形不合题意，

故答案为

45

【点评】本题考查旋转变换、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

17

．如图，已知

Rt

△

ABC

，∠

C=90

，

AC=3

，

BC=4

．分别以点

A

、

B

为圆心画圆．如果点

C

在⊙

A

内，点

B

在⊙

A

外，且⊙

B

与⊙

A

内切，那么⊙

B

的半径长

r

的取值范围是

8

＜

r

＜

10

．

【分析】先计算两个分界处

r

的值：即当

C

在⊙

A

上和当

B

在⊙

A

上，再根据图形确定

r

的取值．

【解答】解：如图

1

，当

C

在⊙

A

上，⊙

B

与⊙

A

内切时，

⊙

A

的半径为：

AC=AD=4

，

⊙

B

的半径为：

r=AB

+

AD=5

+

3=8

；

如图

2

，当

B

在⊙

A

上，⊙

B

与⊙

A

内切时，

⊙

A

的半径为：

AB=AD=5

，

⊙

B

的半径为：

r=2AB=10

；

∴⊙

B

的半径长

r

的取值范围是：

8

＜

r

＜

10

．

故答案为：

8

＜

r

＜

10

．

【点评】本题考查了圆与圆的位置关系和点与圆的位置关系和勾股定理，明确两圆内切时，两圆的圆心连线过切点，注意当

C

在⊙

A

上时，半径为

3

，所以当⊙

A

半径大于

3

时，

C

在⊙

A

内；当

B

在⊙

A

上时，半径为

5

，所以当⊙

A

半径小于

5

时，

B

在⊙

A

外．

18

．我们规定：一个正

n

边形（

n

为整数，

n

≥

4

）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正

n

边形的

“

特征值

”

，记为

n，

那么

6

=

．

【分析】如图，正六边形

ABCDEF

中，对角线

BE

、

CF

交于点

O

，连接

EC

．易知

BE

是正六边形最长的对角线，

EC

的正六边形的

最短的对角线，只要证明△

BEC

是直角三角形即可解决问题．

【解答】解：如图，正六边形

ABCDEF

中，对角线

BE

、

CF

交于点

O

，连接

EC

．

易知

BE

是正六边形最长的对角线，

EC

的正六边形的最短的对角线，

∵△

OBC

是等边三角形，

∴∠

OBC=

∠

OCB=

∠

BOC=60

，

∵

OE=OC

，

∴∠

OEC=

∠

OCE

，

∵∠

BOC=

∠

OEC

+∠

OCE

，

∴∠

OEC=

∠

OCE=30

，

∴∠

BCE=90

，

∴△

BEC

是直角三角形，

∴

=cos30=

，

∴

6

=

，

故答案为．

【点评】本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，

构造特殊三角形解决问题．

三、解答题（本大题共

7

小题，共

78

分）

19

．计算：+（﹣

1

）2﹣

9

+（）﹣1．

【分析】根据负整数指数幂和分数指数幂的意义计算．

【解答】解：原式

=3

+

2

﹣

2

+

1

﹣

3

+

2

=

+

2

．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在

二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

20

．解方程：﹣

=1

．

【分析】两边乘

x

（

x

﹣

3

）把分式方程转化为整式方程即可解决问题．

【解答】解：两边乘

x

（

x

﹣

3

）得到

3

﹣

x=x2﹣

3x

，

∴

x2﹣

2x

﹣

3=0

，

∴（

x

﹣

3

）（

x

+

1

）

=0

，

∴

x=3

或﹣

1

，

经检验

x=3

是原方程的增根，

∴原方程的解为

x=

﹣

1

．

【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．

21

．如图，一座钢结构桥梁的框架是△

ABC

，水平横梁

BC

长

18

米，中柱

AD

高

6

米，其中

D

是

BC

的中点，且

AD

⊥

BC

．

（

1

）求

sinB

的值；

（

2

）现需要加装支架

DE

、

EF

，其中点

E

在

AB

上，

BE=2AE

，且

EF

⊥

BC

，垂足为点

F

，求支架

DE

的长．

【分析】（

1

）在

Rt

△

ABD

中，利用勾股定理求出

AB

，再根据

sinB=

计算即可；

（

2

）由

EF

∥

AD

，

BE=2AE

，可得

===

，求出

EF

、

DF

即可利用勾股定理解决问题；

【解答】解：（

1

）在

Rt

△

ABD

中，∵

BD=DC=9

，

AD=6

，

∴

AB===3

，

∴

sinB===

．

（

2

）∵

EF

∥

AD

，

BE=2AE

，

∴

===

，

∴

==

，

∴

EF=4

，

BF=6

，

∴

DF=3

，

在

Rt

△

DEF

中，

DE===5

．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中

考常考题型．

22

．甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．

甲公司方案：每月的养护费用

y

（元）与绿化面积

x

（平方米）是一次函数关系，如图所示．

乙公司方案：绿化面积不超过

1000

平方米时，每月收取费用

5500

元；绿化面积超过

1000

平方米时，每月在收取

5500

元的基

础上，超过部分每平方米收取

4

元．

（

1

）求如图所示的

y

与

x

的函数解析式：（不要求写出定义域）；

（

2

）如果某学校目前的绿化面积是

1200

平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．

【分析】（

1

）利用待定系数法即可解决问题；

（

2

）绿化面积是

1200

平方米时，求出两家的费用即可判断；

【解答】解：（

1

）设

y=kx

+

b

，则有，

解得，

∴

y=5x

+

400

．

（

2

）绿化面积是

1200

平方米时，甲公司的费用为

6400

元，乙公司的费用为

5500

+

4

200=6300

元，

∵

6300

＜

6400

∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．

【点评】本题主要考查一次函数的应用．此题属于图象信息识别和方案选择问题．正确识图是解好题目的关键．

23

．已知：如图，四边形

ABCD

中，

AD

∥

BC

，

AD=CD

，

E

是对角线

BD

上一点，且

EA=EC

．

（

1

）求证：四边形

ABCD

是菱形；

（

2

）如果

BE=BC

，且∠

CBE

：∠

BCE=2

：

3

，求证：四边形

ABCD

是正方形．

【分析】（

1

）首先证得△

ADE

≌△

CDE

，由全等三角形的性质可得∠

ADE=

∠

CDE

，由

AD

∥

BC

可得∠

ADE=

∠

CBD

，易得∠

CDB=

∠

CBD

，可得

BC=CD

，易得

AD=BC

，利用平行线的判定定理可得四边形

ABCD

为平行四边形，由

AD高考励志故事 =CD

可得四边形

ABCD

是菱形；

（

2

）由

BE=BC

可得△

BEC

为等腰三角形，可得∠

BCE=

∠

BEC

，利用三角形的内角和定理可得∠

CBE=180

=45

，易得∠

ABE=45

，

可得∠

ABC=90

，由正方形的判定定理可得四边形

ABCD

是正方形．

【解答】证明：（

1

）在△

ADE

与△

CDE

中，

，

∴△

ADE

≌△

CDE

，

∴∠

ADE=

∠

CDE

，

∵

AD

∥

BC

，

∴∠

ADE=

∠

CBD

，

∴∠

CDE=

∠

CBD

，

∴

BC=CD

，

∵

AD=CD

，

∴

BC=AD

，

∴四边形

ABCD

为平行四边形，

∵

AD=CD

，

∴四边形

ABCD

是菱形；

（

2

）∵

BE=BC

∴∠

BCE=

∠

BEC

，

∵∠

CBE

：∠

BCE=2

：

3

，

∴∠

CBE=180

=45

，

∵四边形

ABCD

是菱形，

∴∠

ABE=45

，

∴∠

ABC=90

，

∴四边形

ABCD

是正方形．

【点评】本题主要考查了正方形与菱形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．

24

．已知在平面直角坐标系

xOy

中（如图），已知抛物线

y=

﹣

x2+

bx

+

c

经过点

A

（

2

，

2

），对称轴是直线

x=1

，顶点为

B

．

（

1

）求这条抛物线的表达式和点

B

的坐标；

（

2

）点

M

在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为

m

，联结

AM

，用含

m

的代数式表示∠

AMB

的余切值；

（

3

）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点

C

在

x

轴上．原抛物线上一点

P

平移后的对应点为点

Q

，如果

OP=OQ

，

求点

Q

的坐标．

【分析】（

1

）依据抛物线的对称轴方程可求得

b

的值，然后将点

A

的坐标代入

y=

﹣

x2+

2x

+

c

可求得

c

的值；

（

2

）过点

A

作

AC

⊥

BM

，垂足为

C

，从而可得到

AC=1

，

MC=m

﹣

2

，最后利用锐角三角函数的定义求解即可；

（

3

）由平移后抛物线的顶点在

x

轴上可求得平移的方向和距离，故此

QP=3

，然后由点

QO=PO

，

QP

∥

y

轴可得到点

Q

和

P

关于

x

对称，可求得点

Q

的纵坐标，将点

Q

的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的

x

的值，则可得到点

Q

的坐标．

【解答】解：（

1

）∵抛物线的对称轴为

x=1

，

∴

x=

﹣

=1

，即

=1

，解得

b=2

．

∴

y=

﹣

x2+

2x

+

c

．

将

A

（

2

，

2

）代入得：﹣

4

+

4

+

c=2

，解得：

c=2

．

∴抛物线的解析式为

y=

﹣

x2+

2x

+

2

．

配方得：

y=

﹣（

x

﹣

1

）2+

3

．

∴抛物线的顶点坐标为（

1

，

3

）．

（

2

）如图所示：过点

A

作

AC

⊥

BM

，垂足为

C

，则

AC=1

，

C

（

1

，

2

）．

∵

M

（

1

，

m

），

C

（

1

，

2

），

∴

MC=m

﹣

2

．

∴

cot

∠

AMB==m

﹣

2

．

（

3

）∵抛物线的顶点坐标为（

1

，

3

），平移后抛物线的顶点坐标在

x

轴上，

∴抛物线向下平移了

3

个单位．

∴平移后抛物线的解析式为

y=

﹣

x2+

2x

﹣

1

，

PQ=3

．

∵

OP=OQ

，

∴点

O

在

PQ

的垂直平分线上．

又∵

QP

∥

y

轴，

∴点

Q

与点

P

关于

x

轴对称．

∴点

Q

的纵坐标为﹣．

将

y=

﹣代入

y=

﹣

x2+

2x

﹣

1

得：﹣

x2+

2x

﹣

1=

﹣，解得：

x=

或

x=

．

∴点

Q

的坐标为（，﹣）或（，﹣）．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系《茅屋为秋风所破歌》 数法求二次函数的解析式、锐角三角函数的定义、

二次函数的平移规律、线段垂直平分线的性质，发现点

Q

与点

P

关于

x

轴对称，从而得到点

Q

的纵坐标是解题的关键．

25

．如图，已知⊙

O

的半径长为

1

，

AB

、

AC

是⊙

O

的两条弦，且

AB=AC

，

BO

的延长线交

AC

于点

D

，联结

OA

、

OC

．

（

1

）求证：△

OAD

∽△

ABD

；

（

2

）当△

OCD

是直角三角形时，求

B

、

C

两点的距离；

（

3

）记△

AOB

、△

AOD

、△

COD

的面积分别为

S

1、

S

2、

S

3，如果

S

2是

S

1和

S

3的比例中项，求

OD

的长．

【分析】（

1

）由△

AOB

≌△

AOC

，推出∠

C=

∠

B

，由

OA=OC

，推出∠

OAC=

∠

C=

∠

B

，由∠

ADO=

∠

ADB

，即可证明△

OAD

∽△

ABD

；

（

2

）如图

2

中，当△

OCD

是直角三角形时，可以证明△

ABC

是等边三角形即可解决问题；

（

3

）如图

3

中，作

OH

⊥

AC

于

H

，设

OD=x

．想办法用

x

表示

AD

、

AB

、

CD

，再证明

AD2=ACCD

，列出方程即可解决问题；

【解答】（

1

）证明：如图

1

中，

在△

AOB

和△

AOC

中，

，

∴△

AOB

≌△

AOC

，

∴∠

C=

∠

B

，

∵

OA=OC

，

∴∠

OAC=

∠

C=

∠

B

，∵∠

ADO=

∠

ADB

，

∴△

OAD

∽△

ABD

．

（

2

）如图

2

中，

∵

BD

⊥

AC

，

OA=OC

，

∴

AD=DC

，

∴

BA=BC=AC

，

∴△

ABC

是等边三角形，

在

Rt

△

OAD

中，∵

OA=1

，∠

OAD=30

，

∴

OD=OA=

，

∴

AD==

，

∴

BC=AC=2AD=

．

（

3

）如图

3

中，作

OH

⊥

AC

于

H

，设

OD=x

．

∵△

DAO

∽△

DBA

，

∴

==

，

∴

==

，

∴

AD=

，

AB=

，

∵

S

2是

S

1和

S

3的比例中项，

∴

S

2

2=S

1

S

3，

∵

S

2

=ADOH

，

S

1

=S△

OAC=ACOH

，

S

3

=CDOH

，

∴（

ADOH

）2=ACOHCDOH

，

∴

AD2=ACCD

，

∵

AC=AB

．

CD=AC

﹣

AD=

﹣，

∴（）2=

（﹣），

整理得

x2+

x

﹣

1=0

，

解得

x=

或，

经检验：

x=

是分式方程的根，且符合题意，

∴

OD=

．

【点评】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用

所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．

专项训练二概率初步

一、选择题

1．(徐州中考)下列事件中的不可能事件是()

A．通常加热到100℃时，水沸腾B．抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上

C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．任意画一个三角形，其内角和是360

2．小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是()

A．25%B．50%C．75%D．85%

3．(2016贵阳中考)2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委

会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机从这200

辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是()

A.

1

10

B.

1

5

C.

3

10

D.

2

5

4．(金华中考)小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选

择“参加社会调查”的概率为()

A.

1

4

B.

1

3

C.

1

2

D.

3

4

5．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄

球和一个红球的概率为()

A.

1

2

B.

1

3

C.

1

4

D.

1

6

6．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝

上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是()

A.

1

3

B.

1

6

C.

1

9

D.

1

12

7．分别转动图中两个转盘一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或

3的倍数的概率等于()

A.

3

16

B.

3

8

C.

5

8

D.

13

16

第7题图第8题图

8．(2016呼和浩特中考)如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB＝15，AC＝9，BC＝12，阴影部分

是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为()

A.

1

6

B.

6

C.

8

D.

5

二、填空题

9．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，













2

3

，

3

2

，













－5，－

1

5

，从中随机选取一个点，在反比例函数y＝

1

x

图象上的

概率是________．

10．(黄石中考)如图所示，一只蚂蚁从A点出发到D，E，F处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左

下或右下的路径(比如A岔路口可以向左下到达B处，也可以向右下到达C处，其中A，B，C都是岔路口)．那么，蚂蚁从A出

发到达E处的概率是________．

11．(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一

张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回炒鸡块 ，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率卧底归来下载 约为

0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．

12．(荆门中考)荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5

名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是________．

13．(重庆中考)点P的坐标是(a，b)，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，再从余下的四个数中任

取一个数作为b的值，则点P(a，b)在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．

14．★从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数记为a，那么，使关于x的一次函数y＝2x＋a的图象与x轴、y轴围

成的三角形的面积为

1

4

，且使关于x的不等式组







x＋2≤a，

1－x≤2a

有解的概率为________．

三、解答题

15．(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．

(1)先从袋子中取出m(m＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A，请完成下列表格：

事件A必然事件随机事件

m的值________________

(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于

4

5

，求m的值．

16．(菏泽中考)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有

3个选项，第二道梭子蟹怎么挑 单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持

人去掉其中一题的一个错误选项)．

(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；

(2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；

(3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．

17．(丹东中考)甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5.将三张牌背面朝

上，洗匀后放在桌子上．

(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数

字的概率；

(2)若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率

的知识加以解释．

18．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从

袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：

摸球总

次数118

“和为

8”出

现的频

数

212110150

“和为

8”出

现的频

率

0.200.500.430.400.330.310.320.340.330.33

(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；

(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是

1

3

，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果

x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值．

参考答案与解析

1．D2.B3.C4.A5.A6.C7.C

8．B解析：∵AB＝15，BC＝12，AC＝9，∴AB2＝BC2＋AC2，∴△ABC为直角三角形，∴△ABC的内切圆半红萝卜排骨汤 径为

12＋9－15

2

＝

3，∴S

△ABC

＝

1

2

ACBC＝

1

2

129＝54，S

圆

＝9，∴小鸟落在花圃上的概率为

9

54

＝

6

.

9.

1

2

10.

1

2

11.1512.

3

5

1彼岸花的画法 3.

1

5

14.

1

3

15．解：(1)42或3

(2)根据题意得

6＋m

10

＝

4

5

，解得m＝2，所以m的值为2.

16．解：(1)

1

4

解析：第一道肯定能对，第二道对的概率为

1

4

，所以锐锐通关的概率为

1

4

；

(2)

1

6

解析：锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则第一道题对的概率为

1

3

，第二道题对的概率为

1

2

，所以锐锐能通关

的概率为

1

2

1

3

＝

1

6

；

(3)锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A，B表示剩下的第一道单选题的2个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题

的3个选项，树状图如图所示．共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，∴锐锐顺利通关的概率为

1

6

.

17．解：(1)所有可能出现的结果如下表，从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取

相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为

1

3

；

(2)不公平．从表格可以看出，两人抽取数字之和为2的倍数有5种，两人抽取数字之和为5的倍数有3种，所以甲获胜的

概率为

5

9

，乙获胜的概率为

1

3

.∵

5

9

＞

1

3

，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．

235

2223252

3233353

5253555

18．解：(1)0.33

(2)图略，当x为4时，数字和为9的概率为

2

12

＝

1

6

≠

1

3

，所以x不能取4；当x＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的

概率是

1

3

.