明思路

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几何证明的思路与方法（一）

宝山区教师进修学院张波

图形与几何的学习，帮助我们认识了丰富多彩的几何图形、发展了我们的空间观念、

增进了我们逻辑推理的意识与能力，并增强了运用这些知识认识世界与改造世界的能力。

学习几何离不开几何证明。几何学是适合培养我们逻辑思维能力的绝好资源。

但是，我们发现有不少学生害怕几何，害怕几何证明。原因之一是大家感到几何证明

似乎找不到一种通用的方法，不同的问题常常需要不同的处理。

我们很容易掌握解方程，因为它们有着较为固定的处理程序。如解一个一元一次方

程，我们只要按照“去分母、去括号、移项、合并、未知数的系数化为1”这样的步骤，

就可以求出一元一次方程的解。

而几何问题的解决就很难形成这样的程序步骤，它常常需要我们根据具体的问题做出

具体的分析，才能找到解决问题的路径和方法。

但这并不是说几何问题的解决没有规律。我们还是可以在实践与反思的基础上，整

理、归纳出一些思考问题的一般次序，这样的思维序列可以指导我们面对几何问题如何去

思考，进而找到解决问题的办法。

下面我们就来一起梳理处理几何证明问题时值得总结的思维角度与思维次序。

一、思路梳理：

我们都知道，证明题的结构基本上由“题设”和“结论”两部分组成，通常的表现形

式是“已知------，求证------。”这里的“已知------”就是题设，或者称为条件，

“求证------”就是结论。

拿到一个几何证明题，我们都是如何思考的呢？我们都思考什么？有哪些思考的角

度？有没有一个思考的次序？

很多同学可能会说：“拿到一个几何证明题，我要先弄清楚已知条件。”

很好。那么，怎样算是弄清楚了已知条件呢？你都做些什么事情去帮助自己弄清楚已

知条件？

同学们会说：“我会把已知条件在图上标记出来。”

这是一个不错的做法，在图上做标记。

事实上，图形是几何证明题的一个重要组成部分。几何问题离不开图形，如果一个几

何问题没有相应的图形，我们首先要做的事情就是画一张符合条件的图形。

又有同学说：“我会思考条件的作用，由某些条件会推出些什么样的结论。”

这也是一个好的习惯，思考条件的可能作用。

大家还会说：“在清楚条件之后，我会从结论入手，进行分析。”

非常好！从结论入手，分析要证结论成立，需要证什么。

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不同的结论形式，我们会有不同的想法。如“要证明线段相等，我们可能会想证明三

角形全等、或者等角对等边、或者平行四边形对边相等，还有线段垂直平分线的性质、角

平分线的性质，或者通过等量代换等等，最近，我们有时还会利用比例式去证明线段相

等。”

要证明某个结论成立，可能的路径、方法有很多种。我们又如何选择呢？

大家可能会说，这时要经营惨淡 结合条件进行判断，也有的同学会说，要看图形，看图形的结

构特点，直觉判断有怎样的可能，或者排除某些方法。

非常好！图形结构。这又是解决几何问题时，一个非常值得关注的部分。事实上，几

何离不开图形，图形中蕴含着重要的信息。

对图形及其结构的整体感觉，我们可以称为“图感”。就像学习语言需要“语感”、学

习音乐需要“乐感”一样，“图感”对几何学习也是非常重要的。我们在几何学习过程中，

要有意识地去积累、丰富和不断完善我们的图形感觉。

比如，最近我们研究相似形有关内容时，就提炼和总结了许多的图形结构。在我们优

化学习系列讲座的前面几讲中，老师们曾总结过如下的一些基本图形结构：

看到这些基本的图形结构，我们就会非强化四个意识 常迅速地做出与之相应的反应。立即想到可能有

怎样的线段成比例，或者某两个三角形相似。

小结：拿到一个几何证明题（事实上，几何计算等其它几何问题也基本如此），我们

常常从条件、图形结构和结论等方面去加以思考。我们可以根据已知条件在图上适当做标

记，并思考条件的可能作用；我们可以观察图形的结构特点，通过观察，获得一定的直觉

判断（如某两条线段或某两个角可能相等、某两条直线可能平行或垂直、两个三角形可能

全等或相似等等）；我们看问题的结论，分析要证明结论成立，需要证什么。事实上，结

论本身也是重要的信息。

二、证明举例：

例1.已知△中，，是边上一点，且，

，垂足为点，联结。求证：.

旋转型

A

B

C

D

E

相交线型

平行线型

C

A

E

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【分析】看题目中的条件，作标记、思考条件的可能作用。

本题的条件似乎都较为明了，没有特别复杂的条件。

看结论（即要证明的目标），分析要证明结论成立，

需要证什么。

要证：，结合已知图形，我们应该

很容易发现一个熟悉的结构——“A”型图。

于是，要证：，想证∽.

这两个三角形有一个公共角,

因此要么证明另一对角相等，要么证明夹边成比例。

结合已知条件，应该选择证明夹边成比例，

即想证明，也就是想证明.

要证（或），我们的目光肯定会向图形的右侧转移。因

为仅仅看上述的“A”型图，所有条件都几乎派不上用场。

当我们的目光转移到右侧、重新审视整个图形时，我们可能做什么呢？

【思路一】我们可能由，想到取DC的中点F，

然后会注意到△CDE是直角三角形，F是斜边中点，

因此联结EF.

这样一来，我们就有.

因此，比例式中的线段就可以有

很多种方式进行替换。如：、或等等，

然后，我们逐一地观察。我们大多会选择.

这时，我们又会看到一个基本的图形结构（如右图）。

于是，我们联结AE，进而想证△DEF与△ADF相似。

我们不难注意到△DEF是等腰三角形，我们自然希望△ADF也是等腰三角形，由图形

的对称性，我们不难证明它确实是。又它们有一个公共的底角，因此它们相似，从

而得证。

B

A

D

E

B

C

A

D

E

F

A

D

E

F

A

E

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【法一】取DC的中点F，联结EF.、AF，则DF=EF、DF=DB，

又易证，所以，

从而得到△DEF∽△DFA，即.

又，所以，

所以∽，.

回到我们的目标，要证，并且我们的目光转移到右侧。我们重新审视整个

条件与图形结构。我们也可能从△是等腰三角形着手。对等腰三角形而言，作底边

上的高，从而三线合一，是最基本、最常用的辅助线。于是有以下尝试：

【思路二】作AH⊥BC，垂足为点H。

高AH一出现，我们应该注意到AH、CE是

△ACD的两条高（我们的目光正在关注右侧的图形）。

又有一个熟悉的图形结构，呈现在我们眼前，

我们不难发现∽.

于是，我们得到，即.

我们心中应该一直在想着我们的目标：。

于是，现在只要证.

对此，我们应该感觉到前途光明。因为，

点H又是BC的中点。因此线段BC、BC、BC之间存在着

丰富的数量关系（如设，则，，

.），这些数量关系可以帮助我们解决问题。

【法二】作AH⊥BC、垂足为点H，易证∽，

从而，即.

设，则，，.

于是，即.

所以，从而∽，.

B

C

A

D

E

H

C

A

D

E

H

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小结：几何证明的基本思考角度与思考次序：看条件，根据已知条件在图上适当做标

记，并思考条件的可能作用；看结论，分析要证明结论成立，需要证什么。分析的过程是

一个逆向的思维过程，即逐步地分析使得结论成立的各种可能条件，从中寻找与题设及图

形结构相匹配的条件和路径。同时，我们还应该关注图形，事实上，几何证明题不仅仅只

有“条件”和“结论”两个要素，图形是几何证明题的又一个非常重要的组成部分。下图

反映了我们的思维角度与思维次序。

接下来，我们以最近研究比较多的“证明线段比例式（或乘积式）”为例，进一步梳

理几何证明的思维次序与方法（以思路分析为主，证明过程略）。

在前面的复习过程中，老师和同学们

一起梳理过，要证明线段成比例（乘积式

总是先化为比例式），我们常常会想证相似。

进而，我们会观察比例式中四条线段

所处的位置（横看或竖看），找到两个三角

形，然后想办法去证明这两个三角形相似。

如果不成功，我们会想办法替换，替换的

方式有两种，一种是替换线段，一种是

替换比式。

在刚才的讨论中，

我们来看具体的例子。

例2．如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，，CD与BE相

交于java论文 点F，求证：

要证线段成比例

想证三角形相似

观察比例式中四条线段

所处的位置（横看、竖看）

证三角形相似

替换

已知条件要证结论图形

根据已知条件，在图上做标

记；

结合图形，思考条件的作用；

分析要证结论成立，常用的傲然屹立 方法

与需要的条件；结合已知条件和

图形结构，对方法进行比较和筛

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【分析】（一）根据上述讨论，首先，我们会看已知条件，根据已知条件在图上适

当做标记，思考条件的作用。

条件中的哪些部分引起你更多的注意？应该是“”

条件“”引起你怎样的思考？它可能会有什么作用？

同学们肯定会说看到这个条件，我会想到相似。

那么，是哪两个三角形相似？

我们会“横看”：分子上，线段、，是△的两条边；

分母上，线段、，是△的两条边；

又是公共角，从而我们得到△∽△。

我们还可能“竖看”：等式左边的比式中，线段、，是△的两条边；

等式右边的比式中，线段、，是△的两条边；

又是公共角，从而我们得到△∽△。

所得到的相似三角形是否有用，又有怎样的作用，我们可能还要看目标的需要。

（二）看图形结构。该图形中有好几个基本图形，看到这些基本图形，我们也会有相

似三角形的直觉判断。

（三）看结论，分析要证明结论成立，需要证什么。

要证的的结论是，即要证明四条线段成比例。因此，我们想证三角形相

似。证哪两个三角形相似呢？我们观察比例式中的四条线段，“横看”或者“竖看”。我

们就会看到这四条线段分别是△与△的两条边（横看），或者分别是△

与△的两条边（竖看）。因此我们就想要证明△∽△或者△∽△

.

然后，我们应该在需要证明的结论与已知推出的结论之间不断地观察与比较，然后找

到解决问题的路径。

通过上述几方面的分析，我们不难找到本题的证明思路：

△∽△

△∽△

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

B

C

D

E

B

C

D

E

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事实上，对本题来说，上述几方面的思考，任何一方面都可能帮助我们找到解决问题

的办法。当然，如果问题复杂一些，就可能需要多方面的思考，并把这些思考有机地结合

起来，而且这三方面的思考可能是交替使用、多次反复的。

例3.如图：已知△ABC，AD平分∠BAC，F为AD中点，过点F作AD的垂线，交AB于点

G，交AC于点H，交ＢＣ延长线于点Ｅ，求证：

我们依然按照上述的思考步骤和方法进行思考。

【分析】（一）看已知条件，根据已知条件在图上适当做标记，思考条件的作用。

根据条件，我们在图上做出标记（如图）。

什么条件引起你更多的注意？

部分同学可能会说，角平分线、线段的垂直平分线等条件，

会让我们想到角平分线的性质和线段垂直平分线的性质。

（二）看图形结构。初看，可能没有什么引起大家特别

注意的地方。

（三）看结论，分析要证明结论成立，需要证什么。

要证的的结论是，立即化为比例式。因此，我们想证三

角形相似。

我们观察比例式中的四条线段（“横看”与“竖看”）。我们发现这四条线段都位于

同一条直线上，因此，不可能是某个三角形的两条边。

这时，我们怎么办？我们常规的思考是什么？我们常规的思考是考虑“替换”。

那么替换什么？又如何进行替换呢？

我们说可以替换线段，也可以替换比式。

先考虑替换线段。我们会观察图中有没有和、或相等的线段，如果有，

我们就用这样的线段替换比例式中的线段。

这时，我们可能会想到线段垂直平分线的性质，于是，联结,则.

用线段替换要证结论中的，则我们的目标式变为：

我们观察新的比例式中的四条线段（“横看”或者“竖看”)。我们就会看到这四条线

段分别是△与△的两条边，从而，想证△∽△。

图形看上去有些复杂，这种时候我们常常可以重新画一张图，

去除暂时无关的点和线，只关注当前的问题。

A

H

B

CD

E

F

G

A

H

B

CD

E

F

G

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当前的问题是什么呢？

当前的问题是△与△相似吗？又如何证明？

这时，我们眼中出现的应该是右边这样一张图，凭直观

观察，我们差不多可以判风信子怎么养水培 断△∽△。

我们应该看到，它是一个典型的基本图形，两个三角形

有一个公共角（）,还需要再证明另外一对

对应角相等，比如想证.

那么，如何证呢？通过全等？等边对等角？相似？我们会在心中快

速地搜索可行的方案。

【我们曾经观察过不少学生对这个问题的思考过程，我们发现许多同学基本上能够作

出上述的思考、分析和判断，但其中有相当一部分同学在证明时受

阻。】

我们如何选择证明的路径？这时，我们应该结合已知条件及图形结

构特征。我们会排除全等、相似等方法。

这时，我们可能会回到原图，进一步搜索可以利用的条件和信息。我们有可能发现

，即，从而

在上述思考过程中，部分同学可能会遇到各种各样的困难。当我们遇到困难时，我们

可以再一次地思考条件、观察图形结构、分析目标成立所需要的条件等等。

（四）再次观察图形结构。有的同学注意到平分，

且这个图形局部。因此就会作出的反应。

于是与互相垂直平分，所以如果联结、，则

四边形是菱形。

这样我们就不难得到∥且∥，而平行线

会推出比例式。

由∥推出，

∥推出，

从而得证。

这里的思考过程中，同学们抓住了一个特殊的条件组合

（平分，且），及其相应的图形结构。

从而作出了合理的月计划表格模板 反应：平分（事实上还有，

等）。

这样的条件组合，我们在以前的学习过程中，是使用过的。如：

题1.已知△中，，，平分，交

的延长线于点，求证：。

A

B

C

E

A

H

B

CD

E

F

G

A

H

B

CD

E

F

G

G

A

H

F

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简析：延长与的延长线交于点，则，即，

又，所以，从而。

题2.已知△中，，平分，交的延长线于

点，是的中点，求证：。

简析：延长与的延长线交于点，则，，又

，

所以。

在学习过程中，我们要注意积累和总结这样的条件组合及相应的图形结构。它们是几

何问题与几何图形的重要构成模块，就像是围棋中的定式。这样的模块积累的越多、熟悉

程度越高，我们面对几何问题时的思考就会越迅速和有效。事实上，前面曾总结过的基本

图形都是一定的条件组合及其图形结构。类似地，

如图1，平分，∥，则.

如图2，，，则，.

如图3，，，，则∽.

如图4，，，则，∽.

等等。

A

B

C

D

E

A

B

C

DE

F

（图1）

BC

A

D

E

B

C

A

D

E

F

B

C

A

D

E

F

G

B

C

A

D

（图2）

B

C

A

D

E

（图3）

E

B

C

A

D

F

（图4）

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小结：（1）证明线段成比例的思考流程如下图所示。

要证明线段成比例（乘积式总是先化为比例式），我们通常会想证相似。然后我们会观

察比例式中四条线段所处的位置，通过横看或竖看，判断这四条线段是否分别是两个三角

形的两条边。如果是，我们再直观判断它们是否相似，如果也是，我们就想办法去证明这

对三角形相似；如果这四条线段不能够得到两个三角形，或者，虽然得到两个三角形，但

是它们不相似，这时，我们常常会考虑替换。替换的方式有两种，一种是替换线段，一种

是替换比式。替换后得到新的比例式，要证这个新的比例式成立，我们又会重复上述思

考。

（2）我们要注意扑捉问题中的特殊条件与条件组合，及其相应的图形结构，并作出合

理的反应。

是

是

四条线段分别是两个

三角形的两条边三个代表指的是 吗？

要证线段成比例

想证三角形相似

观察比例式中四条线段

所处的位置（横看、竖看）

这两个三角形是否相似吗？

证三角形相似

否

否

替换

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例4.已知△中，，，是边上一点，，

交于点，交于点。求证：.

【分析】（一）看已知条件，看图形结构。

根据已知条件在图上适当做标记，思考条件的作用,

关注图形结构，特别是一些特殊的条件组合及其对应

的图形模块。

根据已知条件，这图上作出适当的标记。

条件中的哪些部分引起你更多的注意？

同学会注意到等腰直角三角形，从而会联想

它的有关特征。还应该发现图中有一个基本图形

结构——直角三角形及其斜边上的高，从而会立即

想到其中有许多角的关系。如：

，等。

这些信息是否有用？有什么用？又需要结合目标分析。

（二）看目标，分析要证明结论成立，需要证什么。

要证的的结论是四条线段成比例：。因此，我们想证三角形相似。

于是，我们观察比例式中的四条线段（“横看”与“竖看”）。我们发现线段、

是的两条边，但是线段、位于同一条直线上，不是某个三角形的两条

边。

因此，我们考虑“替换”。先考虑替换线段。我们会观察图中有没有与要证的比例式

中所涉及的线段、、或相等的线段，如果有，我们就用这样的线段替换

比例式中的线段。

经过观察与思考，我们发现没有这样的线段。

接下来，我们尝试替换比式。我们想把哪个比式换掉呢？应该是。

因为线段、是的两条边，而且还是一个直角三角形，、

是其两条直角边。但、位于同一条直线上，不是某个三角形的两条边，所以

想替换比式，并且希望替换以后的两条线段恰好是一个直角三角形的两条直角边。

E

B

C

A

D

F

E

B

C

A

D

F

4545

E

F

A

H

12/15

那么等于哪两条线段之比呢？经过观察与思考，

我们可能有以下方法。

【法一】过点作交于点.

于是∥，从而。

根据上述分析，我们希望、是某个

直角三角形的两条直角边。现在是吗？

不是。、也是在一条直线上。

这时，有一部分同学容易放弃当前的处理方法，而去考虑另外的办法。这很可惜。

我们应该再用我们的思维流程思考一下。

由于、在一条直线上，因此，我们想要替换。

先考虑替换线段。即图中有与线段或相等的线段吗？

当我们清楚地去问自己这个问题的时候，我们差不多就解决问题了。我们不难发现

，而、恰好是直角三角形的两条直角边。

继而，我们想证∽，这是不难实现的。

当然，要替换比式，也可能有其他做法。

【法二】过点作∥交的延长线

于点.则。

以下请自己思考是否可行，若可行，完成证明。

【法三】部分同学可能看到会想到面积比。

即。

进而，我们可以发现把与的

边、看作底边，它们也是等底的。因此过

点分别作、，垂足分别

是点、，则。

从而要证明原题结论成立，只需证，这应该是不困难的事情。

（三）根据前面的分析，如果我们注意到线段、是直角三角形的两条

直角边羊排怎么炖 。因此就希望找到（如果找不到，就想办法作出）一个直角三角形，使其两条直角

边分别是线段、。

这样的想法也是合理的。

E

B

C

A

D

F

4545

H

E

B

C

A

D

F

4545

K

E

B

C

A

D

F

4545

M

N

E

B

C

A

D

F

4545

P

13/15

按照这样的想法，由于我们在现有的图形中找不到

这样的直角三角形，因此，我们就有可能过点或点

去作的垂线，从而构造出符合条件的直角三角形。

【法四】过点作交于点.

我们本需要截取，注意到，

因此，这个交点就是满足的点。从而就是以线段、为直角边

的直角三角形。

现在要证明，就是要证明，因此想证明∽。

从合情的角度思考，如果所证的结论正确，则一定有∽。

那么如何证明∽呢？

显然两个三角形都是直角三角形，并且已经有一对角相等。即

.

因为边成比例是需要通过相似得到的，所以这里应该想证明另外一对角相等。

选择证哪一对角相等呢？是去证明，还是去证明?

当我们无法判断时，可以分别去观察和思考一下。

（如果我们具备四点共圆的知识，那么证明其中任何一对都是一样的。）

当我们观察与思考如何证明时，

我们可以发现也是的一个内角，

而，因此只需要证明，

这时，我们的眼前会出现一个基本图形（如右图）。

因此我们想证∽。

这是可以实现的。因为是公共角，

又，所以∽.

从而，进而，

所以∽，问题得证。

（如果有的同学说我过点作的时候，

是向下作的，并截取。那么我想证明

∽，可以吗？

结论是肯定的。整个思路与上述方法类似，

留给同学们自己去完成。）

也有的同学可能会选择过点作，这也是合理的。

【法五】过点作，并截取。

联结，进而想证明∽。

B

C

A

D

45

P

E

B

C

A

D

F

4545

P

E

B

C

A

D

45

45

Q

F

14/15

这时，我们是否会联结，发现是

由绕点逆时针方向旋转90得到。

因此，从而得到，

，所以。

这时，我们的眼前就会出现，

这又是一个基本的图形结构，我们不难得到，

又，所以，

所以∽。

如果我们看到中，，想到等腰三角形三线合一，于是就可能、会

有以下尝试。

【法六】作平分交于点.

通过观察，我们会发现，

，于是，如果记与的

交点，则∽.

从而，即.

与要证结论的比较，我们发现只要证明.

即证明.

通过横看、竖看，我们发现横看得到，

但分母中的、不是一个三角形的两条边。

这时，我们怎么办？

对，替换。

替换什么？

先考虑替换线段。

即我们会去观察图形中是否有和或相等的线段。这样，我们就不难发现

。而、是的两条边。

这时我们可以重画一张图（如果需要），我们主要

关注和，我们就不难发现:

,.

从而∽，问题得证。

（事实上，在发现∽的同时，部分同学就能够想到∽。

这是一种对称的感觉，即如果图形左右两侧是平等的，那么某一侧具有的特征，另一侧也

会具有类似特征。）

E

B

C

A

D

45

45

Q

F

B

C

A

D

Q

E

B

C

A

D

F

4545

S

E

B

C

A

D

F

4545

S

T

E

B

C

A

D

F

45

45

S

T

15/15

三、反思与感悟：

1.人们对几何图形的认识既需要形象思维，又需要抽象思维，两者相辅相成。直观、

实

验是初级认识手段，逻辑推理则是高级认识手段。

但是，直觉引导思维。因此，我们要重视图形，重视直观观察与实验操作，帮助我们

形成直觉判断。

2.解题就像游泳、滑雪或弹钢琴一样，只有通过实践才能学到它。你想学会游泳，你

就必须下水，你想成为解题的能手，你就必须去解题。

解题是一种实践活动，解题后的交流与讨论是一种社会活动。它们都需要在实践中充

分体验，在体验的基础上获得经验与感悟，进而通过反思，归纳、提炼形成方法，发现规

律。

3.要提高解题能力，并不只是要一味地做题，以为多多益善。有的同学题目做了不

少，其结果却是碰到稍微陌生的问题仍然无所适从，有的甚至还会不断重复自己的错误。

导致这种现象的原因可能是缺少解题后的反思与整理。大多数同学都可以花半个小时以上

的时间去思考和探求一个问题的解，但当问题获得解决之后，往往就立即把它扔掉了，这

很可惜。

花费了一定的力气才解决的问题，非常值得我们及时地回顾、反思、整理、总结。

反思是对学习与思考过程的再认识、是对经验的总结与提升。反思的过程，常常同时

伴随着概括、比较、推理、驳证等思维能力的发展，以及对数学思想方法的提炼。

我们可能需要回顾与反思的东西很多，如（1）该问题的特征特点（背景、条件、目标

等方面），以前是否做过类似的问题，它们之间又有怎样的区别与联系；（2）解决该问题

的方法以前是否使用过，这里有没有变化，使用这种方法的问题之间有着哪些共同的特

征；（3）自己的思维过程是怎样的，走了些怎样的弯路，问题中的哪些信息对问题的解决

起着关键作用，它们是否可以提醒自己少走这样的弯路；（4）解决问题的过程中出现了怎

样的错误，如何才能避免今后不犯或少犯这样的错误等等。并在回顾、反思的基础上加以

归类、总结和整理，这样我们解题的收获就增加了很多，渐渐地我们的解题能力就会不断

提高。

一个富有挑战性的问题，经过自己的艰苦努力获得解决，是一件非常令人高兴的事

情，是一次愉快的体验，也是一种内在的激励。愿同学们在不断的解题实践与反思中，更

加热爱数学、更加充满自信。