数学教科书

6.3.1平面向量基本定理

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二次承认》（人教A版）第六章《平面向

量及其应用》，本节课主要学习平面向量基本定理及其应用。

本节课是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算(向量的加法、减法、

数乘向量、共线向量定理)之后的又一重点内容,它是引入向量坐标表示,将向量的几何运算转化为代

数运算的基础,使向量的工具性得到初步的体现,具有承前启后的作用。平面向量基本定理揭示了平

面向量之间的基本关系,是向量解决问题的理论基础

本节内容用1课时完成。

课程目标学科素养

A.理解平面向量基本定理及其意义；

B.会用基底表示某一向量；

C.通过学习平面向量基本定理，让学生体

验数学的转化思想，培养学生发现问题的

能力。

1.数学抽象：平面向量基本定理的意义；

2.逻辑推理：推导平面向量基本定理；

3.数学运算：用基底表示其它向量；

1.教学重点：平面向量基本定理及其意义；

2.教学难点：平面向量基本定理的探究。

多媒体

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、复习回顾，温故知新

1.共线向量定理

【答案】向量)0(aa与

b

共线的充要条件是：存在唯一一个实数

，使ab。

2.向量的加法法则

【答案】三角形法则

ACBCAB。

特点:首奋斗素材 尾相接，连首尾。

平行四边形法则

OCOBOA

特点:同一起点,对角线。

二、探索新知

探究：如图6.3-2（1），设

21

ee，是同一平面内两个不共线的向量，

a

是这一平面内与

21

ee，都不共线的向量，如图6.3-2（2），在平面

内任取一点O，作,,,

21

aOCeOBeOA将

a

按

21

ee，的方向分

通过复习前面所学

知识，引入本节新

课。建立知识间的

联系，提高学生概

括、类比推理的能

力。

通过探究，利用

向量加法的平行四

边形法则，用两个不

解，你有什么发现？

【答案】如图，

2211

eeONOMOCa

思考1.若向量

a

与

21

ee或共线，a还能用

2211

eea表示吗？

【答案】当向量

a

与

1

e共线时，

211

0eea。

当向量

a

与

2

e共线时，

221

0eea。

思考2.当

a

是零向量时，

a

还能用

2211

eea表示吗？

【答案】

21

00eea

思考3.设

21

ee，是同一平面内两个不共线的向量，在

2211

eea

中，

21

，是否唯一？

【答案】假设

221122112211

eeeeeea，则，

即0,00)()(

2211222111

且，所以ee，

所以

2211

，且，所以

21

，唯一。

1.平面向量基本定理：

如果

21

ee，是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内

共线的向量表示另

一个向量，引出平面

向量基本定理，提高

学生的解决问题、分

析问题的能力。

通过思考，进

一步完善结论，推

出平面向量基本定

理。提高学生分析

问题、概括能力。

的任一向量

a

，有且只有一对实数

21

，，使

2211

eea。

我们把}{

21

ee，叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。

说明：(1).基底的选择是不唯一的；

(2).同一向量在选定基底后，

21

，是唯一存在的。

(3).同一向量在选择不同基底时，

21

，可能相同也可能不同。

例1.如图，OBOA,不共线，且)(RtABtAP，用OBOA,表示

OP。

解：因为)(RtABtAP

，所以

ABtOAAPOAOP

OAtOBtOAOAOBtOA)(

OBtOAt)1(

思考4：观察OBtOAtOP)1(你有什么发现？

【结论】如果BAP、、三点共线，点O是平面内任意一点，若

OBOAOP，则1。

例2.如图，CD是ABC的中线，ABCD

2

1

，用向量方法证明

ABC是直角三角形。

证明：设,,,,,baCBbDBbaCAbDAaCD于是则

通过说明，让波字成语 学生进

一步理解平面向量

基本定理，提高学生

理解问题的能力。

通过例题练习平面

向量基本定理的运

用，提高学生解决

问题的能力。

通过思考，得

到结论，提高学生

的观察、概括能

力。

通过例题巩固平面

向量基本定理的运

ABCDbababaCBCA

2

1

.))((22因为

所以2

2

2

2,DAbCDaDACD，因为，

所以

CBCACBCA。因此0

。

于是ABC是直角三角形。

用，提高学生用向

量知识解决问题的

能力。

三、达标检测

1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量

基底的是()

A．AB

→

，DC

→

B．AD

→

，BC

→

C．BC

→

，CB

→

D．AB

→

，DA

→

【解析】由于AB

→

，DA

→

不共线，所以是一组基底．

通过练习巩固本节

所学知识，通过学

生解决问题的能

力，感悟其中蕴含

的数学思想，增强

学生的应用意识。

【答案】D

2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e电脑开机蓝屏 1，e2不共线，则a＋b与

c＝6e1－2e2的关系是()

A．不共线B．共线C．相等D．不确定

【解析】∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝2(a＋b)，

∴a＋b与c共线．

【答案】B

3．如图，在矩形ABCD中，若BC

→

＝5e1，DC

→

＝3e2，则OC

→

＝()

A．

1

2

(5e1＋3e2)B．

1

2

(5e1－3e2)

C．

1

2

(3e2－5e1)D．

1

2

(5e2－3e1)

【解析】OC

→

＝

1

2

AC

→

＝

1

2

(BC

→

＋AB

→

)

＝

1

2

(BC

→

＋DC

→

)＝

1

2

(5e1＋3e2)．

【答案】A

4．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有CD

→

＝

4

3

CA

→

＋CB

→

，则

＝()

A．

2

3

B．

1

3

C．－

1

3

D．－

2

3

【解析】∵A，B，D三点共线，

∴存在实数t，使AD

→

＝tAB

→

，则CD

→

－CA

→

＝t(CB

→

－CA

→

)，即CD

→

＝CA

→

＋

定理部分讲解比较到位,把总结和找关键词的机会给学生,充分发挥了学生的主观能动性,掌握的

效果也比较好。为了理解定理中的关键词适当插入思考巩固,效果比较好,帮助学生加深印象。

平面向量基本定理的出现如果是由教师直接给出,在自我鉴定大专 定理给出之后让学生观看例题板演然后练习

巩固,这样就完全体现不出来新课程的数学教学理念,因为在新课程的结束的英文短语 理念中重点强调了,教师在

进行数学教学时要充分考虑到数学学科的特点,针对不同水平、不同兴趣学生的学习需要,运用

多种教学方法和手段引导学生积极主动的学习。

t(CB

→

－CA

→

)＝(1－t)CA

→

＋tCB

→

，∴











1－t＝

4

3

，

t＝，

即＝－

1

3

.

【答案】C

5．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋

e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.

【解】∵a，b不共线，

∴可设c＝xa＋yb，

则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)

＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.

又∵e1，e2不共线，

∴









3x－2y＝7，

－2x＋y＝－4，

解得









x＝1，

y＝－2，

∴c＝a－2b.

四、小结

1.平面向量基本定理；

2.基底；

五、作业

习题6.31,11（1）题

通过总结，让学生

进一步巩固本节所

学内容，提高概括能

力,提高学生的数学

运算能力和逻辑推

理能力。

高考数学：试卷答题攻略

一、“六先六后”，因人因卷制宜。

考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的

战术原则。1.先易后难。2.先熟后生。3.先同后异。先做同科同类

型的题目。4.先小后大。先做信息量少、运算量小的题目，为解决

大题赢得时间。5.先点后面。高考数学解答题多呈现为多问渐难式

的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步

为营，由点到面。6.先高后低。即在考试的后半段时间，如估计两

题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施

“分段得分”。

二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对

全。

审题要慢，解答要快。在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步

步准确。假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。

三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策

略，争取得分。

对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取

化一般为特殊，化抽象为具体。对不能全面完成的题目有两种常用

方法：1.缺步解答。将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的

步骤，每进行一步就可得到一步的分数。2.跳步解答。若题目有两

问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问。

四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否

定。

对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。

对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与

“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，

则步骤所至，结论自明。理综求准求稳求规范

第一：认真审题。审题要仔细，关键字眼不可疏忽。不要以为

是“容易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新

意”。也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃，要

知道“难题”也可能只难在一点，“新题”只新在一处。

第二：先易后难。试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着

“先易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中

的学科转换次数。高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排

列，建议大家由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠。

第三：选择题求稳定。做选择题时要心态平和，速度不能太

快。生物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有

把握的题，先确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和李官 方法

选择;若还不能作出正确选择，也应猜测一个答案，不要空题。物

理题为不定项选择，在没有把握的情况下，确定一个答案后，就不

要再猜其他答案，否则一个正确，一个错误，结果还是零分。选择

题做完后，建议大家立即涂卡，以免留下后患。

第四：客观题求规范。①用学科专业术语表达。物理、化学和

生物都有各自的学科语言，要用本学科的专业术语虎跟狗属相合不合 和规范的表达方

式来组织答案，不能用自造的词语来组织答案。②叙述过程中思路

要清晰，逻辑关系要严密，表述要准确，努力达到言简意赅，切中

要点和关键。③既要规范书写又要做到文笔流畅，不写病句和错别

字，特别是专业名词和概念。④遇到难题，先放下，等做完容易的

题后，再解决，尽量回忆本题所考知识与我们平时所学哪部分知识

相近、平时老师是怎样处理这类问题的。⑤尽量不要空题，不会做

的，按步骤尽量去解答，努力抓分。记住：关键时候“滥竽”也是里根总统

可以“充数”的。