在三角形abc

..

..文章.

解三角形

一．选择题（共20小题）

1．（2015•XX二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60，则△ABC的周长

是（）

A．18B．19C．16D．17

2．（2015•XX二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60，则△ABC的周长

是（）

A．17B．19C．16D．18

3．（2014•XX模拟）在△ABC中，b2﹣a2﹣c2=ac，则∠B的大小（）

A．30B．60C．120D．150

4．（2013•XX）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角少先队图片 形D．不确定

5．（2013•XX）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）

A．B．C．D．

6．（2013•XX二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=30，B=105，a=1．则c=（）

A．﹣1B．.C．.D．.2

7．（2013•XX模拟）在钝角△ABC中，已知AB=，AC=1，∠B=30，则△ABC的面积是（）

A．B．C．D．

8．（2013•XX一模）在△ABC中，∠A=60，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）

A．B．3C．D．7

9．（2013•浦东新区三模）已知△ABC中，AC=2，BC=2，则角A的取值X围是（）

A．B．C．D．

10．（2012•XX）在△ABC中，若∠A=60，∠B=45，，则AC=（）

A．B．C．D．

11．（2012•天河区三模）在△ABC中，若A=60，BC=4，AC=4，则角B的大小为（）

A．30B．45C．135D．45或135

12．（2010•XX）在△ABC中，a=15，b=10，A=60，则cosB=（）

A．

﹣

B．C．

﹣

D．

-.

--.可修编-

13．△ABC的内角A、B、C对边的长a、b、c成等比数列，则的取值X围是（）

A．（0，+∞）B．（0，2+）C．（1，+∞）D．（1，2+）

14．（2014•XX）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）

A．

﹣

B．C．1D．

15．（2014•XX三模）在△ABC中，若，则∠B等于（）

A．30B．45C．60D．90

16．（2014•萧山区模拟）在锐角△ABC中，若C=2B，则的X围（）

A．B．C．（0，2）D．

17．（2014•XX模拟）在△ABC中，如果，B=30，那么角A等于（）

A．30B．45C．60D．120

18．（2014•XX模拟）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠A：∠B=1：2，且a：b=1：，

则cos2B的值是（）

A．

﹣

B．C．

﹣

D．

19．（2014•鄂尔多斯模拟）在△ABC中，∠A=60，b=1，△ABC的面积为，则边a的值为（）

A．B．C．D．3

20．（2014•文登市二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA+csinC+asinC=bsinB，则∠B（）

A．B．C．D．

二．解答题（共10小题）

21．（2014•XX）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

22．（2014•东城区一模）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．

23．（2014•XX）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA

﹣sinBcosB．

（Ⅰ）求角C的大小；

-.

--.可修编-

（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．

24．（2014•XX）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．

25．（2014•兴安盟一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0．

（Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；

（Ⅱ）求sinA+sin（C﹣）的取值X围．

26．（2014•XX模拟）设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2．

（Ⅰ）当时，求角A的度数；

（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

27．（2014•XX模拟）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）

=2sin2C．

（1）求内角B的余弦值；

（2）若b=，求△ABC的面积．

28．（2014•XX）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．

（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；

（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．

29．（2014•XX）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．

（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；

（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．

30．（2014•启东市模拟）在△ABC中，A，B，C为三个内角a，b，c为三条边，，且．

（Ⅰ）判断△ABC的形状；

（Ⅱ）若，求的取值X围．

参考答案与试题解析

一．选择题（共20小题）

1．（2015•XX二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60，则△ABC古巴首都 的周长

是（）

A．18B．19C．16D．17

-.

--.可修编-

考点：余弦定理．

专题：解三角形．

分析：利用余弦定理列出关系式，把a，c，cosB的值代入求出b的值，即可确定出三角形ABC周长．

解答：解：∵△ABC中，a=3，c=8，B=60，

∴b2=a2+c2﹣2accosB=9+64﹣24=49，即b=7，

则△ABC周长为3+8+7=18，

故选：A．

点评：此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

2．（2015•XX二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60，则△ABC的周长

是（）

A．17B．19C．16D．18

考点：余弦定理．

专题：解三角形．

分析：利用余弦定理列出关系式，将a，b及cosB的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．

解答：

解：∵a=3，c=9，B=60，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，即：b2=9+64﹣24，即b=7，

则a+b+c=18

故选：D．

点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

3．（2014•XX模拟）在△ABC中，b2﹣a2﹣c2=ac，则∠B的大小（）

A．30B．60C．120D．150

考点：余弦定理．

专题：解三角形．

分析：利用余弦定理表示出cosB，把已知等式变形后代入计算求出cosB的值，即可确定出B的度数．

解答：

解：∵在△ABC中，b2﹣a2﹣c2=ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac，

∴cosB==﹣，

则∠B=150，

故选：D．

点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

4．（2013•XX）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定

考点：正弦定理．

专题：解三角形．

分析：由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可

得A=，由此可得△ABC的形状．

解答：解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，

-.

--.可修编-

即sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，

故选B．

点评：本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．

5．（2013•XX）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）

A．B．C．D．

考点：正弦定理．

专题：计算题；解三角形．

分大同小异 析：利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．

解答：解：∵在△ABC中，2asinB=b，

∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，

∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，

∴A=．

故选D．

点评：本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．

6．（2013•XX二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=30，B=105，a=1．则c=（）

A．﹣1B．.C．.D．.2

考点：正弦定理．

专题：解三角形．

分析：

由已知可先求C，然后结合正弦定理可求

解答：解：∵A=30，B=105，

∴C=45

∵a=1．

由正弦定理可得，

则c===

故选B

点评：本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的简单应用，属于基础试题

7．（2013•XX模拟）在钝角△ABC中，已知AB=，AC=1，∠B=30，则△ABC的面积是（）

A．B．C．D．

考点：正弦定理．

专题：解三角形．

分析：利用余弦定理列出关系式，把c，b，以及cosB的值代入求出a的值，利用三角形面积公式即可求出三角形

ABC面积．

-.

--.可修编-

解答：解：∵在钝角△ABC中，已知AB=c=，AC=b=1，∠B=30，

∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即1=a2+3﹣3a，

解得：a=1或a=2，

当a=1时，a=b，即∠A=∠B=30，此时∠C=120，满足题意，△ABC的面积S=acsinB=；

当a=2时，满足a2=c2+b2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，

则△ABC面积是．

故选传统文化论文 ：B．

点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

8．（2013•XX一模）在△ABC中，∠A=60，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）

A．B．3C．D．7

考点：余弦定理．

专题：解三角形．

分析：

由△ABC的面积S

△ABC=，求出AC=1，由余弦定理可得BC，计算可得答案．

解答：

解：∵S

△ABC==ABACsin60=2AC，

∴AC=1，

△ABC中，由余弦定理可得BC==，

故选A．

点评：本题考查三角形的面积公式，余弦定理的应用，求出AC，是解题的关键．

9．（2013•浦东新区三模）已知△ABC中，AC=2，BC=2，则角A的取值X围是（）

A．B．C．D．

考点：余弦定理．

专题：解三角形．

分析：知道两边求角的X围，余弦定理得到角和第三边的关系，而第三边根据三角形的构成条件是有X围的，这

样转化到角的X围．

解答：

解：利用余弦定理得：4=c2+8﹣4ccosA，即c2﹣4cosAc+4=0，

∴△=32cos2A﹣16≥0，

∵A为锐角

∴A∈（0，]，

故选：C．

点评：此题属于解三角形题型，解题思路为：利用余弦定理解答三角形有解问题，知道两边求角的X围，余弦定

理得到角和第三边的关系，而第三边根据三角形的构成条件是有X围的，这样转化到角的X围，有一定难

度．

-.

--.可修编-

10．（2012•XX）在△ABC中，若∠A=60，∠B=45，，则AC=（）

A．B．C．D．

考点：正弦定理．

专题：计算题．

分析：

结合已知，根据正弦定理，可求AC

解答：

解：根据正弦定理，，

则

故选B

点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题

11．（2012•天河区3分钟演讲 三模）在△ABC中，若A=60，BC=4，AC=4，则角B的大小为（）

A．30B．45C．135D．45或135

考点：正弦定理的应用．

专题：计算题．

分析：

先根据正弦定理将题中所给数值代入求出sinB的值，进而求出B，再由角B的X围确定最终答

案．

解答：

解：由正弦定理得，

∴B=45或135

∵AC＜BC，

∴B=45，

故选B．

点评：本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．正弦定理在解三角形中有着广泛的应用，要熟练掌握．

12．（2010•XX）在△ABC中，a=15，b=10，A=60，则cosB=（）

A．

﹣

B．C．

﹣

D．

考点：正弦定理．

分析：

根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定∠B的X围，进而利用sin2B+cos2B=1求解．

解答：

解：根据正弦定理可得，

，

解得，

又∵b＜a，

∴B＜A，故B为锐角，

-.

--.可修编-

∴，

故选D．

点评：正弦定理可把边的关系转化为角的关系，进一步可以利用三角函数的变换，注意利用三角形的边角关系确

定所求角的X围．

13．△ABC的内角A、B、C对边的长a、b、c成等比数列，则的取值X围是（）

A．（0，+∞）B．（0，2+）C．（1，+∞）D．（1，2+）

考点：正弦定理；等比数列的通项公式．

专题：解三角形．

分析：

设==q，则由任意两边之和大于第三边求得q的X围，可得的取值X围

解答：

解：设==q，则==q+q2，则由，求得＜q＜，

∴＜q2＜，∴1＜q+q2＜2+，

故选：D．

点评：本题考查数列与三角函数的综合应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角形三边关系的

灵活运用

14．（2014•XX）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）

A．

﹣

B．C．1D．

考点：余弦定理；正弦定理．

专题：解三角形．

分析：根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．

解答：

解：∵3a=2b，∴b=，

根据正弦定理可得===，

故选：D．

点评：本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．

15．（2014•XX三模）在△ABC中，若，则∠B等于（）

A．30B．45C．60D．90

考点：正弦定理．

专题：计算题．

分析：根据所给的等式和正弦定理，得到要求角的正弦和余弦相等，由根据这是一个三角形的内角得到角的度数

-.

--.可修编-

只能是45．

解答：

解：∵，

又由正弦定理知，

∴sinB=cosB，

∵B是三角形的一个内角，

∴B=45，

故选B．

点评：本题考查正弦定理，是一个基础题，解题时注意当两个角的正弦值和余弦值相等时，一定要说清楚这个角

的X围，这样好确定角度．

16．（2014•萧山区模拟）在锐角△ABC中，若C=2B，则的X围（）

A．B．C．（0，2）D．

考点：正弦定理；函数的值域．

专题：计算题．

分析：

由正弦定理得，再根据△ABC是锐角三角形，求出B，cosB的取值X围即可．

解答：

解：由正弦定理得，∵△ABC是锐角三角形，∴三个内角均为锐角，

即有，0＜﹣C﹣B=﹣3B＜

解得，又余弦函数在此X围内是减函数．故＜cosB＜．

∴＜＜

故选A

点评：本题考查了二倍角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质．易错点是B角的X围确定不准确．

17．（2014•XX模拟）在△ABC中，如果，B=30，那么角A等于（）

A．30B．45C．60D．120

考点：正弦定理；余弦定理．

分析：本题考查的知识点是正弦定理和余弦定理，由在△ABC中，如果，我们根据正弦定理边角互

化可以得到a=c，又由B=30，结合余弦定理，我们易求出b与c的关系，进而得到B与C的关系，然后

根据三角形内角和为180，即可求出A角的大小．

解答：解：∵在△ABC中，如果

∴a=c

又∵B=30

由余弦定理，可得：

cosB=cos30===

解得：b=c

则B=C=30

A=120．

故选D．

-.

--.可修编-失恋情歌

点评：

余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．余弦定理可以变形为：cosA=（b2+c2

﹣a2）2bc，cosB=（a2+c2﹣b2）2ac，cosC=（a2+b2﹣c2）2ab

18．（2014•XX模拟）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠A：∠B=1：2，且a：b=1：，

则cos2B的值是（）

A．

﹣

B．C．

﹣

D．

考点：正弦定理；二倍角的余弦．

分析：根据正弦定理得到sinA：sinB，因为∠A：∠B=1：2，利用二倍角的三角函数公式得到A和B的角度，代入

求出cos2B即可．

解答：解：依题意，因为a：b=1：，

所以sinA：sinB=1：，

又∠A：∠B=1：2，则cosA=，

所以A=30，B=60，cos2B=﹣

故选A

点评：考查学生灵活运用正弦定理解决数学问题的能力，以及灵活运用二倍角的三角函数公式化简求值的能力．

19．（2014•鄂尔多斯模拟）在△ABC中，∠A=60，b=1，△ABC的面积为，则边a的值为（）

A．B．C．D．3

考点：正弦定理．

专题：解三角形．

分析：

根据正弦定理的面积公式，结合题中数据算出边c=4，再由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子算出a2=13，

即可算出边a的长度．

解答：解：∵△ABC中，∠A=60，b=1，

∴可得△ABC的面积为S=bcsinA=1csin60=

解之得c=4

根据余弦定理，得

a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣214cos60=13，所以a=（舍负）

故选C

点评：本题给出三角形一边、一角和面积，求边a的长度．着重考查了正弦定理的面积公式和利用余弦定理解三

角形等知识，属于基础题．

20．（2014•文登市二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA+csinC+asinC=bsinB，则∠B（）

A．B．C．D．

考点：正弦定理．

专题：计算题；解三角形．

-.

--.可修编-

分析：

由已知结合正弦定理可得，，然后利用余弦定理可得，cosB==﹣，可

求B

解答：解：∵asinA+csinC+asinC=bsinB，

∴由正弦定理可得，

由余弦定理可得，cosB==﹣

∵0＜B＜

∴B=．

故选：D．

点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．

二．解答题（共10小题）

21．（2014•XX）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

考点：正弦定理．

专题：解三角形．

分析：（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．

（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．

解答：

解：（Ⅰ）∵cosA=，

∴sinA==，

∵B=A+．

∴sinB=sin（A+）=cosA=，

由正弦定理知=，

∴b=•sinB==3．

（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞

∴cosB=﹣=﹣，

sinC=sin（﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=（﹣）+=，

∴S=a•b•sinC=33=．

点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重

了基础知识的综合运用．

-.

--.可修编-

22．（2014•东城区一模）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．

考点：正弦定理；两角和与差的正切函数．

分析：本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，

（Ⅰ）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中，进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB，

再利用弦化切的方法草莓营养 即可求的值．

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，结合角A，B，C为△ABC的内角，我们易得tanA=4tanB＞0，则tan（A﹣B）可化

为，再结合基本不等式即可得到tan（A﹣B）的最大值．

解答：

解：（Ⅰ）在△ABC中，，

由正弦定理得

即sinAcosB=4cosAsinB，

则；

（Ⅱ）由得

tanA=4tanB＞0

当且仅当时，等号成立，

故当时，

tan（A﹣B）的最大值为．

点评：在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等

式两边是关于三边的齐次式．

23．（2014•XX）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA

﹣sinBcosB．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．

考点：正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦．

专题：解三角形．

分析：（Ⅰ）△ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2•cos（A+B）sin（A﹣B）．

-.

--.可修编-

求得tan（A+B）的值，可得A+B的值，从而求得C的值．

（Ⅱ）由sinA=求得cosA的值．再由正弦定理求得a，再求得sinB=sin[（A+B）﹣A]的值，从而求得△ABC

的面积为的值．

解答：

解：（Ⅰ）∵△ABC中，a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB，

∴﹣=sin2A﹣sin2B，

即cos2A﹣cos2B=sin2A﹣sin2B，即﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2•cos（A+B）sin（A﹣B）．

∵a≠b，∴A≠B，sin（A﹣B）≠0，

∴tan（A+B）=﹣，∴A+B=，∴C=．

（Ⅱ）∵sinA=＜，C=，∴A＜，或A＞（舍去），∴cosA==．

由正弦定理可得，=，即=，∴a=．

∴sinB=sin[（A+B）﹣A]=sin（A+B）cosA﹣cos（A+B）sinA=﹣（﹣）=，

∴△ABC的面积为==．

点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．

24．（2014•XX）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．

考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数．

专题：三角函数的求值．

分析：（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示

出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；

（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公

式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值

代入计算即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，

代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，

∴cosA===；

（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，

∴sinA==，

∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，

-.

--.可修编-

则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asincarry过去式 =﹣+=．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与

差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

25．（2014•兴安盟一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0．

（Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；

（Ⅱ）求sinA+sin（C﹣）的取值X围．

考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．

专题：计算题．

分析：利用正弦定理化简已知条件，根据三角形的内角和定理及诱导公式化简，由sinC不为0，得到cosB的值，

由B的X围，利用特殊角的三角函数值即可得到B的度数，

（Ⅰ）根据余弦定理，由b，cosB和a+c的值，求出ac的值，然后利用三角形的面积公式，由ac的值和sinB

的值即可求出三角形ABC的面积；

（Ⅱ）由求出的B的度数，根据三角形的内角和定理得到A+C的度数，用A表示出C，代入已知的等式，

利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据A的X围求出这个角的X围，由正弦

函数的值域即可得到所求式子的取值X围．

解答：解：由已知及正弦定理得：（2sinC﹣sinA）cosB﹣sinBcosA=0，

即2sinCcosB﹣sin（A+B）=0，

在△ABC中，由sin（A+B）=sinC

故sinC（2cosB﹣1）=0，

∵C∈（0，），∴sinC≠0，

∴2cosB﹣1=0，所以B=60（3分）

（Ⅰ）由b2=a2+c2﹣2accos60=（a+c）2﹣3ac，

即72=132﹣3ac，得ac=40（5分）

所以△ABC的面积；（6分）

（Ⅱ）因为=

=，（10分）

又A∈（0，），∴，

则sinA+sin（C﹣）=2sin（A+）∈（1，2]．

点评：此题考查学生灵活运用正弦定理及诱导公式化简求值，灵活运用三角形的面积公式及两角和的正弦函数公

式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题．

26．（2014•XX模拟）设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2．

（Ⅰ）当时，求角A的度数；

（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

考点：正弦定理．

-.

--.可修编-

专题：计算题．

分析：

（I）由可求sinB=且B为锐角，由b=2，a=考虑利用正弦定理可求sinA，结合三

角形的大边对大角且a＜b可知A＜B，从而可求A，

（II）由，b=2利用余弦定理可得，b2=a2+c2﹣2accosB，把已知代入，结合a2+c2≥2ac可求ac的X围，

在代入三角形的面积公式可求△ABC面积的最大值．

解答：

解：∵∴sinB=且B为锐角

（I）∵b=2，a=

由正弦定理可得，

∴

∵a＜b∴A＜B

∴A=30

（II）由，b=2

利用余弦定理可得，b2=a2+c2﹣2accosB

∴

从而有ac≤10

∴

∴△ABC面积的最大值为3

点评：本题（I）主要考查了利用正弦定理及三角形的大边对大角解三角形（II）利用余弦定理及基本不等式、三角

形的面积公式综合求解三角形的面积．考查的是对知识综合运用．

27．（2014•XX模拟）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）

=2sin2C．

（1）求内角B的余弦值；

（2）若b=，求△ABC的面积．

考点：正弦定理；余弦定理．

专题：解三角形．

分析：

（Ⅰ）三角形ABC中，由条件化简可得sinA=2sinC，故有a=2c．再由b2=ac=2c2，求得cosB=的

值．

（Ⅱ）根据b=，b2=ac=2c2，求得c和a的值，求得sinB=的值，再根据△ABC的面积S=ac•sinB，

计算求得结果．

解答：解：（Ⅰ）三角形ABC中，

∵sinB+sin（A﹣C）=2sin2C，

∴sin（A+C）+sin（A﹣C）=4sinCcosC，sinA=2sinC，

-.

--.可修编-

∴a=2c．

又因为b2=ac=2c2，

∴cosB==．

（Ⅱ）∵b=，b2=ac=2c2，

∴c=，∴a=．

又∵sinB==

∴△ABC的面积S=ac•sinB=．

点评：本题主要考查两角和差的三角公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．

28．（2014•XX）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．

（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；

（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．

考点：余弦定理；正弦定理．

专题：三角函数的求值．

分析：（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变

形即可得证；

（Ⅱ）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关

系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，

∴2b=a+c，

利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，

∵sinB=sin[﹣（A+C）]=sin（A+C），

∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；

（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，

∴b2=ac，

∴cosB==≥=，

当且仅当a=c时等号成立，

∴cosB的最小值为．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的

关键．

29．（2014•XX）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．

（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；

（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．

-.

--.可修编-

考点：余弦定理；正弦定理．

专题：三角函数的求值．

分析：

（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即

可；

（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式

变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，

代入S=sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值．

解答：

解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，

∴c=8﹣（a+b）=，

∴由余弦定理得：cosC===﹣；

（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，

整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，

∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，

∴sinA+sinB=3sinC，

利用正弦定理化简得：a+b=3c，

∵a+b+c=8，

∴a+b=6①，

∵S=absinC=sinC，

∴ab=9②，

联立①②解得：a=b=3．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及田忌赛马教案 公式是解本题的关键．

30．（2014•启东市模拟）在△ABC中，A，B，C为三个内角a，b，c为三条边，，且．

（Ⅰ）判断△ABC的形状；

（Ⅱ）若，求的取值X围．

考点：正弦定理；余弦定理．

专题：计算题；解三角形．

分析：（1）先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，利用二倍角公式和两角和公式整理求得

sinB=sin2C，进而根据B，C的X围，求得B+2C=，判断出A=C，即三角形为等腰三角形．

（2）利用平面向量的性质，依据已知条件求得a2+c2+2ac•cosB=4，根据a的值求得cosB的值．

解答：

解：（1）由及正弦定理，得，

即sinBsinA﹣sinBsin2C=sinAsin2C﹣sinBsin2C，即sinBsinA=sinAsin2C，

因为A是三角形内角，所以sinA≠0，

可得sinB=sin2C，

-.

--.可修编-

∵，∴，∴B+2C=，

∵A+B+C=，∴A=C，△ABC为等腰三角形．

（2）∵∴B∈（0，），

∴cosB∈（，1）

由（1）可知a=c，

由，得a2+c2+2ac•cosB=4，

∴a2=，

∴=cosB=a2•cosB==2﹣∈（，1）（12分）．

点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理进行了边角问题的转化．