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第２９卷第５期力学与实践

２００７年１０月

用三线摆测定物体对非质心轴的转动惯量

李刚常１）陈玉坤余征跃

（上海交通大学工程力学实验中心，上海２００２４０）

摘要对三线摆的线性近似模型和转动惯量计算公式的由来作了简要说明．分析了三线摆扭振系统质心

偏移对转动惯量测试的影响，给出了扭振系统质心与三线摆中心轴对齐的判别准则和用三线摆测定物体对非质

心轴转动惯量的工程实用方法．通过工程实例说明了该方法的有效性与可靠性．最后讨论丁提高转动惯量实测

精度的几项具体措施．

关键词三线捏，非质心轴，转动惯量，判别准则，三点称重平衡法

ＴＨＥＭｏＭＥＮＴｏＦＩＮＥＲＴＩＡＭＥＡＳＵＲＥＭＥＮＴｏＦＡＢＯＤＹ

ＡＢｏＵＴＡ

ＮｏＮＣＥＮＴＲＡＬＡＸＩＳＯＦＭＡＳＳＵＳＩＮＧＴＨＲＥＥ．ＳＴＲＩＮＧＰＥＮＤＵＬＵＭ

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ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅ

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ｔｈｒｅｅ－ｐｏｉｎｔｗｅｉｇｈｉｎｇ

近年来工业界对旋转部件或某些结构转动惯量

测定的需求日益增多．三线摆因其简单、实验条件

容易满足而被广为利用．三线摆的应用原理是成熟

的，问题是如何用好三线摆，提高测试精度，获得工

业界认可的结果．国内一些高校的同行已在这方面

做了很多工作，提出了一些好的方法∞ｌ。有的已

经应用于工程实践中．大多数的讨论集中在对物体

质心轴的转动惯量上．但工程中也常常需要直接获

得零部件或结构对非质心轴的转动惯量，因此利用

一种简便、易行并有足够精度的方法测量物体对非

质心轴的转动惯量便有了实际的工程意义．

２００６－－０９－１８收到第１稿，２００７－０３－２６收到修改稿

１）Ｅ－ｍａｉｌ：ｇｃｉｉ＠ｓｊｔｕｅｄｕ．Ｃｌｌ

１三线摆转动惯量的计算公式

关于三线摆线性化模型及其转动惯量计算公式

的由来，国内相关教科书在理论阐述上大都不完善．

图１所示三线摆，悬线长为ｚ，圆盘（或盘与被测物）

质量为ｍ，圆盘半径为Ｒ，悬挂半径为ｒ；０表示圆盘

摆角，ａ表示悬线摆角．按文献［３］，三线摆的微振

动严格地说是摆盘（或盘与物）随其质心的竖向平动

和绕其质心水平向转动的合成运动．根据Ｋｏｅｎｉｇ定

理，其动能可表示为

Ｔ＝；ｊ０２＋严１－。２

万方数据

第５期李刚常等：用三线摆测定物体对非质心轴的转动惯量

其中Ｊ是对Ｏｚ轴的转动惯量，毛是圆盘质心的速

度．五与０通过约束方程（１）相联系

先＝ｚｃｏｓ…（，一可４ｒ２ｓｉｎ２扩（１）

固１三线摆爱其运动

在动能Ｔ＝Ｔ（Ｏ，ｉ）关于口的Ｍａｃｌａｕｒｉｎ级数展开

式中，其平动部分；ｍ霹为口和日二次以上高阶微

量．因此忽略口，口二次以上的微量，系统的动能可

表示为

Ｔ＝妻Ｊａ２（２）

三线摆的势能可表示为

ｙ＝ｍ，（１－ｚＣＯＳ班ｍｇｆ［一１－可４ｒ２ｓｉｎ２扩２］

将势能按幂级数展开并取至微量口的二次项，其势

能可表示为

Ｖ＝唧备铲（３）

忽略阻尼影响，系统机械能守恒，有已。＝

Ｖｒｍ。．将式（２），式（３）的最大值形式代入此式．注意

到兰线摆的线性近似系统作谐振动，日。。＝ｕ０８…

其中ｕｏ＝芸为系统扭转振动的固有圆频率，可得

三线摆转动惯量ｌ，与扭振周期Ｔ的关系式

－，＝（嘉）２罕（４）

式（４）仅在系统为单自由度微幅振动条件下成立．

２扭振系统质心与中心轴对齐的判别准则

式（４）要求被测对象（盘与物）质心位于三线摆

的中心轴线上．在工程实践中已发现，被测对象质心

对三线摆中心轴有微小偏移ｅ时，就会引起实测转

动惯量很大的误差，严重时误差可在１０％以上【４】，

且无法用平行轴定理△Ｊ＝ｍ一解释和修正．其原

因是当被测系统质心偏离三线摆的中心轴时，三线

张力不等，盘在绕中心轴初始释放时，张力在盘面

的投影分量向任意点简化都不能形成纯力偶．由于

附加力的影响，致使圆盘出现晃动，系统绕定轴作

扭转振动的单自由度性质受到破坏．在实测中被测

对象质心偏离三线摆的中心轴往往成为转动惯量测

试的主要误差源，因此在工程测试中消除被测对象

的质心偏移量就显星辰什么意思 得尤为重要．

根据静力学同向平行力合成与分解的原理，我们

有如下判别准则：若作用在一个正三角形三个顶点

上的同向平行力相等，则其合力作用线必过该三角

形外接圆圆心；反之若将作用线过一个圆圆心的力

分解为作用在该圆的内接正三角形三个顶点上的同

向平行力，则该三个力必相等．

实践中我们可利用三点称重装置根据上述判别

准则来检查扭振系统的质心是否偏离三线摆中心

轴．

３对非质心轴转动惯量的测定

当所测物体转动惯量的指定轴是非质心轴时，通

常的方性文章 法是先测定该物体对质心轴的转动惯量，然

后用平行轴定理求得该物体对指定轴的转动惯量．

然而当物体形状复杂，质量非对称分布时，无论是实

测确定其质心位置还是将其置于盘上让其质心与盘

心对齐时都容易出现误差，有时累积误差会很大，使

实测精度受影响．因此为简化测量，提高测试精度，

本文直接将物体的指定轴与三线摆中心轴对齐，预

先借助三点称重装置和跗加配重将整个被测系统质

心拉到三线摆中心轴上，再利用组合法测得物体对

指定轴的转动惯量．下面我们通过一工程实例来说

明这一方法．

图２所示为某型号进口压缩机旋转组件，由①

主轴核心部件、②皮带轮轴承部件、⑦吸盘部件组

台而成，其外形尺寸为４，１１６ｍｍｘｌ６Ｄｍｍ，部件所用

材料包括钢、铁、铜、铝合金等，组件形状复杂，质

量非对称分布，质心位置未知，要求该组件对自身

转轴的转动惯量．显然用通常的办法测定其转动惯

量很麻烦，而且精度得不到保证．在用标准件作检

验，确认扭摆系统和本文所用的测试方法测得的转

动惯量相对误差小于３％后，我们对旋转组件进行

了实测．实洳方法和步骤如下：

万方数据

力学与实践

２００７年第２９卷

图２压缩机旋转组件

（１）用三点称重平衡法调整扭振系统龙爪的功效与作用 质心位置

参见图３，首先在３台精度为１ｇ的小型电子秤

上各粘结一个支点，使其形成一个等边三角形，大

小紧贴圆盘边缘的内接正三角形．三支点应位于同

一水平面，三点称重装置也可用负荷传感器与后续

仪表组成，然后将载有组件的圆盘置于三支点上，

组件的转动轴线过盘心．在完全解除悬线对圆盘的

张力作用后，取一适当大小的砝码作配重放在盘面

轻边空余面积处，沿盘面的周向和径向缓慢移动砝

码，至３台电子秤示数相同．由前述判别准则知，

这时扭振系统质心落在三线摆中心轴线上．撤离称

重装置，这时三线张力相同．由于该方法消除了扭

振时质心偏移所引起的盘面附加力影响，因此我们

将其称为三点穗重平衡法．又由于受盘面空闻和砝

码分级的限制，有时可能需用两个法码才能完成对

图３三点称重平衡法

系统质心位置的调整．

（２）使系统作微幅扭振，用秒表记录扭振周期

，按式（４）计算系统对三线扭摆中心轴总转动惯量

山，式中系统总质量ｍ应包括组件、圆盘和砝码．

（３）保持原配重位置不变，用对称加载法测２倍

配重（砝码）与盘对中心轴的转动惯量Ｊ２ａ＋，．

（４）测定空圆盘对其盘心的转动惯量矗．

１（５）计算配重附加的转动惯量＾＝芍药怎么种植 ；（也，一占）．

（６）根椐Ｊ南＝‘一占一以求得压缩机旋转组

件对其自身转动轴的转动惯量．

实测数据及转动惯量的计算结果如表Ｉ所示．

表１三线摆扭振系统的实测数据和转动惯量的计算结果

窭删对象组件＋盘＋ｌ配重盘＋２配重

盘１配重组件

ｍ，ｋｇ２．６１ｓ＋０２２９＋０．０２００２２弭２ｘ０．０２００２２９００２０２．６１８

ｆ／ｍｏ７１７０７１０７０

７１０一一

Ｔ／ｓ０．７０４１．２２７５１２２０一一

Ｊ／ｋ６．ｍ２４．７２４７１０—３ｌ３５９７１０—３１１４４５１０—３

０．１０７６１０—３

３．４７２６１０—３

（矗）（Ｊ２ｂ＋，）（山）

（＾）

（厶酊）

表中扭振周期Ｔ由２组５０个周期计时平均所

得，摆线长ｆ计及了圆盘承载后摆线的静伸长量．式

（４）中悬挂半径ｒ＝９８ｍｍ（圆盘半径Ｒ＝１００ｒｍ）．

组件转动惯量实测结果为３．４７２６ｘｉ０～ｋｇｍ２，与事

后获悉的生产方计算结果３３６６６ｘ１０～ｋｇｍ２具有

可比性，相对误差为３．１５％

４提高转动惯量实测精度的几项措施

为保证本文所给方法的测量精度，实测中还应采

取以下几短句个性签名 项措施：

（Ｉ）对三线摆作自检

每次实测都应检查三线摆空盘转动惯量根据式

（４）计算所得的实测值和根据寺ｍＲ２计算所得的理

论值之间的相对误差．只要三线摆的摆盘水平和悬

线长度调整得好，其相对误差一般可做到小于１％，

否则应重新调整三线摆或检查三线摆的运动是否满

足单自由度微幅振动的力学条件．

（天道经典台词 ２）计及三线摆承载后悬线的变形量

目前所见到的文献大都不考虑三线摆承载后悬

线的变形量，并据此得出被测物转动惯量简化的计

算公式．这对被测物质量轻小，悬线变形不大时是

可行的；然而当被测物质量较大，悬线变形显著时，

万方数据

第５期李刚常等：用三线摆测定物体对非质心轴的转动惯量５７

就会导致可观的系统误差．在本文的工程实例中，

压缩机组件引起悬线的静伸长量达到７ｍｍ，如不计

及就会引起很大的测量误差，使组件转动惯量实测

值与数值计算结果的相对误差扩大到４．５３％，实测

精度较计及变形时下降１．３８个百分点．这里将转动

惯量的数值计算结果视为参考值，以方便讨论．

（３）三线摆悬线应有足够长度

本文三线摆的悬线长度虽己满足实测精度要

求，但因压缩机组件质量较大，使系统扭振周期较

小，仅ｏ．７０４ｓ，给实测带来困难．因此悬线还可放长

些，使扭振频率变小些，即扭振周期变大些，使之更

易测量、更易测准．由于扭振频率变小，系统角速度

也变小，兵法 因而可降低因模型简化而忽略的系统外阻

尼（空气阻力）的影响Ｉｓ】，从而有利于提高实测精

度．然而受原有支架预留空间的限制，悬线未能再放

长，故未能取得相关的实验信息，这是一点缺憾．

５结论

本文给出的非质心轴转动惯量的三线摆测试方

法，简单、易行，精度高．该方法的可靠性与有效性

已得到工程实践的检验．三点称重平衡法在三线摆

转动惯量的测试中具有普遍意义．当指定轴为质心

轴时，所需配重为零．对复杂形体，这时利用三点称

重法可直接将系统的质心与三线摆中心轴对齐，而

不必预先测定物体的质心．从而简化测试，克服了

ＬＬ接第７３页）

”＝…。晡ｎａ＋ｃｔａｎ‘（字）ｓｉｎ－ａ（Ｏ叫ｓⅢｃｍ２“

ｚ＝咄ｍｃｒ＋ｃｔ一‘（字）ｓｉｎ－ｉ（０叫一ｅｃ毋“

由此看出，当猎狗追到兔子时候，满足条件０＝ａ，而＞１，

由初始条件，ｔ＝ｏ，。＝ｏ，ｙ＝Ｏ，口＝；，得到

ｃ对（；一；）ｃｏｓｏ＝－ｚ

同样，由微分方程组（１０）和式（１２），得到

ｖ２ｄｔ＝ｃｔｕ‘（字）（ｔ“一一ｔ—ａ－２ｃ＊。舢

积分．得到当追逐角为０对，追逐时同￡为

警＝；ＣＯＳ２［击甜“（字）

南甜“（字）卜而劬…ｌＴＪＪ一

人为误差，也提高了测试精度．

致谢泛亚汽车技术中心有限公司周柿工程师

为本文写作提供了组件转动惯量的数值计算结果，

谨表谢意．

参考文献

１陈春澄，庄表中等关于测试物体转动惯量方法的探讨．力学

与实践，１９９２，１４（６）：４８—４９（Ｃｈｅｎ

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二分册．吴礼义等译北京＾民教育出版社＋１９５８．３９８～４０４

４姚志宏．对用三线摆测物体转动惯量方法的改进．南京师范大

学学报（自然科学版），１９９５，１８（４）：１６２～１６４（Ｙａｏ

Ｚｈｉｈｏｎｇ．

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５宋超．潘钧俊等．用三线摆方法测试物体转动惯量的误差问题．

力学与实践，２００３，２５（１）：５９～６１（ＳｏｎｇＣｈａｏ，ＰａｎＪｕｎｊｕｎ，

矾ａ１．Ｔｈｅｉｎｍｅａｓｕｒｉｎｇｔｈｅｍｏｍｅｎｔｏｆｉｎｃｒｔｉｎｔｕｓｉｎｇ

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由此看出．当猎狗速率大于兔子速率时候，追逐时间Ｔ为ｒ＝击［志一１（：一；）ｃｏｓａ一

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化简得到ｒ＝乞｝笺竿老，唯美情侣网名 与相对运动方法给出的式（４）

一致．

致谢蒋明明，杨虹的工作得到了湖州师范学院大学生

科研立项的资助．

参考文献

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２毛置映．追击问题中关于临界范围是椭圆的证明．力学与实践。

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万方数据

用三线摆测定物体对非质心轴的转动惯量

作者：李刚常，陈玉坤，余征跃，LIGangchang，CHENYukun，YUZhengyue

作者单位：上海交通大学工程力学实验中心,上海,200240

刊名：

力学与实践

英文刊名：MECHANICSINENGINEERING

年，卷(期)：2007，29(5)

引用次数：0次

1.陈春澄.庄表中关于测试物体转动惯量方法的探讨1992(06)

2.姚建安用三线摆测量转动惯量的研究1991(04)香菜鸡蛋汤

3.洛强斯基.路尔叶.吴礼义理论力学教程1958

4.姚志宏对用三线摆测物体转动惯量方法的改进[期刊论文]-南京师大学报(自然科学版)1995(04)

5.宋超.潘钧俊用三线摆方法测试物体转动惯量的误差问题[期刊论文]-力学与实践2003(01)

本文链接：/Periodical_

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