概率论论文

毕业论文概率论中有关独立性

的研究

摘要

概率论是研究随机性或不确定性等现象的学科，而独立性的研究是其中重

要内容之一，由于实际需要，对概率论中独立性的研究也较为重要，并且独立

性对解决一些实际问题具有理论意义。

论文关于独立性的研究做了如下分析：

首先，本文研究了随机事件独立性的概念、两个和多个事件的独立性、事

件独立性与互不相容，互斥的关系以及在生活中的应用，并通过实例进行了分

析。

另外，研究了随机变量独立性的概念，性质以及判定方法，也都给出了实

例加以论证。

关键词:随机事件；随机变量；独立性

Abstract

Probabilitytheoryisthesubjectofstudyingrandomnessor

uncertaintyphenomenonsuchasdiscipline,andthestudyof

heactualneed,

itisveryimportanttostudythetheoryofprobability,besides,the

studyofindependencehastheoreticalsignificancetosolvesome

practicalproblems.

Thisthesishasdonethefollowinganalysisontherearchof

independence:苹果8哪年上市

Firstofall,thispaperhasstudiestheconceptofthe

independenceofrandomevent,theindependenceoftwoormore

events,theindependenceofevent,therelationshipof

incompatibilityandthemutualexclusionaswellastheapplicationin

thelife,andtheareanalyzedthroughexamples.

Besides,thispaperhasstudiedtheconcept,thepropertiesand

methodsofindependentrandomvariabilities,andalso

demonstratingthembyexamples.

Keywords:Randomevents;Arandomvariability;Independence

0

目录

引言.........................................................初中读后感 ...1

1随机事件的独立性..............................................2

1.1事件独立性的概念........................................2

2

3

5

1.2随机事件的独立性的应用..................................7

7

7

2随机变量的独立性..............................................9

2.1随机变量独立性的概念....................................9

2.2随机变量独立性的性质..................................10

10

)(xf与)(yg独立而X与Y不独立.......................11

2.3随机变量相互独立的判定.................................12

总结............................................................18

参考文献.........................................................19

致谢............................................................20

1

引言

概率论的研究对生产生活都有着密不可分的联系，在概率论的研究中，研

究随机现象的独立性，尤其显得重要。对于现有的知识水平，掌握好这个问题，

对于培养抽象概括能力、逻辑推广能力、空间想象能力和自学能力，以及研究

这个课题在实际中的应用价值的体现，都有很大的帮助。对于独立性的理解和

判定正确与否直接关系到建模解题全过程。事件的独立性和随机变量的独立性

在概率计算的简化和证明中有广泛的应用。

有不少学者对概率论中的独立性进行了研究。在文献[1]中胡乔林研究了概

率论中有关独立性的问题。在文献[2]中吴俊给出了关于随机事件独立性的若干

性质。在文献[3]中尹传存，吕玉华，李福山分析了随机变量独立性的一些结果。

在文献[5-6]中尤芳等人引入了随机变量独立性的若干判定方法及运用。

基于对独立性的研究，本文综合了概率论问题中的随机事件和随机变量的

独立性的概念，判定以及应用对独立性问题做出了更加深入的讨论，能够让读

者更准确的理解独立性的相关问题。

2

1随机事件的独立性

1.1事件独立性的概念

定义1对于事件A和B，若)()()(BPAPABP就称事件A和B是相互独立

的，简称

A

和

B

独立。

注意:

)1(A

与

B

是互不相容事件是指

A

与

B

不可能同时发生；

(2)A

与

B

相互独立指A发生与B发生互不相关；

(3)由上述定义可知必然事件及不可能事件与任何事件都相互独立，定义1

中允许0)(AP或0)(BP；

(4)若

A

与

B

相互独立，那么容易推出0)(BAP。

证：由条件概率的定义及公式)()()(BPAPABP知:

)(

)(

)()(

)(

)(

)(AP

BP

BPAP

BP

ABP

BAP

我们知道，若

A

与

B

相互独立，由A关于B的条件概率等于无条件概率，即

两事件

A

与

B

独立的实际意义应是事件B发生对事件A发生的概率没有影响，更

准确地讲，两事件

A

与

B

独立的实际意义为：其中任一事件发生与否对另一事

件的概率没有任何影响，这就是下述所谓的独立扩张定理：

定理1若事件

A

与

B

相互独立，则三对事件

),(BA

，

),(BA

，

),(BA

，分别也

是相互独立的。

证：由于ABABA，且AB包含于A，故)()()(ABPAPBAP，因

A

与

B

相互独立，有

)()()(ABPAPBAP

从而

)()()(ABPAPBAP)()())(1)(()()()(BPAPBPAPBPAPAP

A与B相互独立，由A与B的对称性可得A与B也相互独立，把证得结果应用于

),(BA

，可见

),(BA

也相互独立。

3

前面我们学习了两个事件的独立性的概念、定理，由此我们可以给出三个

事件的独立性的概念。

三个事件的独立性的定义：若CBA、、是随机事件E中的三个事件，满足

下列条件：

)1()()()(BPAPABP；(2))()()(CPBPBCP；

(3))()()(CPAPACP；(4))()()()(CPBPAPABCP。

则称CBA、、为相互独立的事件。

若CBA、、只满足上述)3()2()1(、、，则称它们为两两相互独立的事件。

例1袋中装有四个大小相同的球，其中红球﹑蓝球﹑黄球各一个，另一个

是涂有红﹑蓝、黄三种颜色的球。

解：设A“任取一球其上涂有红色”；

B“任取一球其上涂有蓝色”；

C“任取一球其上涂有黄色”。

则

2/1)(AP，2/1)(BP，2/1)(CP

4/1)(ABP，4/1)(ACP，4/1)(BCP，4/1)(ABCP

显然

)()()(BPAPABP，)()()(CPBPBCP，)()()(CPAPACP

但是

)()()()(CPBPAPABCP

由此说明：事件CBA、、是两两相互独立的，但三个事件不是相互独立的。

即定义中的4个条件缺一不可，由满足)3()2()1(、、不能推出(4)。利用两个事件的

独立性中的结论，可以推广得到：设CBA、、是随机试验E的三个相互独立的

事件，把其中任一个事件换为其对立事件，亦相互独立。他们的关系如图1所示

4

图1

例2一个人看管三台机床，设在任一时刻这三台机床正常工作(即不需人照

看)的概率分别为0.850.80.9、、，求在任一时刻(1)三台机床都正常工作的概率；

(2)三台机床中至少有一台正常工作的概率。

解：显然，三台机床工作正常与否是相互独立的。

设

i创始人简介

A表示“第i台机床工作正常”2,3)1,(i,则9.0)(

1

AP，8.0)(

2

AP，

85.0)(

3

AP

。

)1(三台机床都正常工作即

321

AAA、、

同时发生的概率

)(

321

AAAP

而

321

AAA、、

是三个相互独立的事件。

612.085.08.09.0)()()()(

321321

APAPAPAAAP

(2)三台机床

321

AAA、、中至少有一台正常工作即至少有一个发生的概率

为：

)(

321

AAAP

，利用对立事件的概率及摩根律可知

)(1)(

321321

AAAPAAAP

)()()(1)(1

321321

APAPAPAAAP

))(1))((1))((1(1

321

APAPAP

997.015.02.01.01

用数学归纳法可以定义：对于n个事件

3)(,,,

21

nAAA

n



，如果其任意1n

个事件都是相互独立的，且满足

)()()()(

2121nn

APAPAPAAAP

则称

,,,

21n

AAA

这n个事件是相互独立的。

5

正确理解事件独立性这概念还必须明了对下述概念的区别：事件独立与互

不相容的区别与联系。

两个事件相互独立与互不相容的区别与联系：相互独立与互不相容是两个

不同的概念。两事件互不相容是指两事件不能同时发生，即AB，分析：互

不相容描述的是两事件之间的关系，由AB可得

0)()()()()(BAPBPABPAPABP

如0)(AP，则0)(ABP。

反之，如0)(AP，且0)(ABP，则0)(ABP，在古典概型(即样本点有

限)下有AB，即A与B互不相容。

如0)(AP，且0)(ABP，则

A一二年级消防绘画

与

B

两事件必能同时发生，因而

A

与

B

必

然不会互不相容，相互独立与互不相容是两个不同的概念，但它们之间有关系。

例3证明若0)(AP，0)(BP则有

)1(当

A

与

B

两事件独立时，AB，即

A

与

B

相容；

)2(当AB，即

A

与

B

互不相容时，A与B不独立。

证：)1(因

A

与

B

两事件相互独立，且0)(AP，0)(BP。可得

0)()()(BPAPABP

故AB，即

A

与

B

相容。

)2(因AB，故0)()(PABP，而)(AP，)(BP均为正数，故)()(BPAP

也为正数，于是)()()(BPAPABP，即A与B不相互独立。

由上例得到“互不相容”与“独立”之间的关系。

结论：

)1(当A与B发生的概率都非零(大于0)时，如果A与B相互独立，则A与

B必不互不相容(即相容)；

)2(若A与B互不相容，则A与B必不相互独立；

)3(两个事件互不相容只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生一

个，但可以都不发生，两两事件对立则表示它们有且仅有一个发生；值得说明

6

的是，在实际问题中，判断两事件

A

与

B

的独立性通常是根据它们的实际意义

看彼此是否有影响来进行判断的。

注意以上结论是在0)(AP，且0)(BP的条件下得到的，如果这些条件不

满足，所得的结论就不同了。

如果A与B互不相容，且A)0)(,0)((BPAP时，可知A与任何事件

都独立，当然A与B也相互独立，这时两事件A与B相互独立，且互不相容。

例4在一正方形平板上均匀地投掷豆子，记事件A{豆子落在左半边区域

}，

B{豆子落在上半边区域}，则

AB{豆子落在左上4/1平板上}，显然有

2/1)()(BPAP，4/1)(ABP，所以有)()()(BPAPABP，即两事件独立，

但是AB，也就是两事件并不互斥。如果定义A={豆子落在左半边

4/1

区域}，

则

8/1)(2/1)(4/1)(ABPBPAP，，

仍然有)()()(BPAPABP的两事件独立的关系。这说明两事件其中一个事

件的概率发生改变时，两事件仍有可能是独立的。

定理1若A与B相互独立，则A与B,A与B，A与B也相互独立。

例5有两道单选题，记

1

A={第1道题答对}，

2

A={第2道题答对}，两事件

是独立事件，在两道题都不会的情况下乱猜答案，问只答对1道题的概率。

解：第1道题选对第2道题选错的概率

16/34/34/1)()()(

2121

APAPAAP

同样，第1道题选错第2道题选对的概率

)(

21

AAP16/3

所以最终只答对1道题的概率是

8/3

。

例6已知一批种子的出苗率为

0.9

，现每穴种甲，乙两粒。问一粒出苗

一粒不出苗的概率是多少？

解：设A=“甲种子出苗”，B=“乙种子出苗”，C=“一粒出苗另一粒不出

苗”，则BABAC且AB与AB互不相容。由题意知A与B是相互独立的。

所以A与B，A与B也是独立的，因此所求概率为：

)()()()()()()(BPAPBPAPBAPBAPCP

18.09.0)9.01()9.01(9.0

7

1.2随机事件的独立性的应用

在实际生产和生活的各领域，人们在应用概率论的过程中，通常约定俗成

地假定独立性条件满足，即使系统中的各个环节看上去有明显的相依性，也近

似地假定它们是独立运行的，这样做的根本原因是由于独立性十戒诗 的假设可以大大

简化有关概率的计算。

在实际应用过程中，我们通常不能用定义来判断两事件是否独立，而是用

试验的方式来判断的，或者用直观上的性质来看一个事件的发生是否会影响另

一事件发生的概率来判断。

例7在袋中有白球和黑球各6个，在又放回的摸球的试验中，设第一次摸到

白球为事件

1

A，第二次摸到黑球为事件

2

A，显然

1

A只与第一次试验相关，

2

A只

与第二次试验相关。

1

A是否发生不影响事件

2

A发生的概率，即)()(

122

AAPAP，

从而事件

1

A与事件

2

A相互独立。

多个独立事件并和交的运算法则，在实际生活中可以将该性质用于生产中

的系统可靠性分析，从而可以大大简化运算。

例8系统正常工作的概率称作该系统的可靠性，假定系统的各部件是否正

常工作相互独立，第

i),,2,1(ni个部件正常工作的概率为

i

P，由事件独立性

可得，将n个部件串联组成的系统的可靠性可表示为

211

PPR，…

n

P，而这n个

部件并联的系统可靠性为)1)(1(1

212

PPR…)1(

n

P，下面介绍几个比较复

杂的系统：如图2所示

图2

8

以上四个图中，已标号的部件正常工作的概率均为

P

，且各个部件是否正常工

作相互独立，分别计算上述四个系统正常工作的概率

dcba

RRRR，，，。

解：①在图)1(中串联部件

1

至n正常工作的概率为nP，同理串联部件*1至

*n正常工作的概率为

n

P，从而系统)1(正常工作的概率为：

a

R=2n)1(1P

②在图)2(中并联部件

i

与

i

*),3,2,1(ni正常工怎样去除眼袋最有效最快 作的概率为：

2)1(1P

=

P)2(P

将这n个并联电路再串联得系统正常工作的概率为：

nn

b

PPR)2(

③在图)3(中由部件2，3组成的串联电路正常工作的概率为2P，2，3与4

组成的并联电路正常工作的概率为：

)1)(1(12PP

将该子并联电路与部件

1

串联后正常工作的概率为：

PPP)]1)(1(1[12

而部件5与6串联电路正常工作的概率为2P，从而系统正常工作的概率为：

654322222)1))]}(1)(1(1([1{1PPPPPPPPPR

c



④在图)4(中所示的电路图中，系统正常工作的概率可分两种情况进行讨

论，即部件5正常工作与部件5不能正常工作。

、1部件5正常工作为事件

5

A，系统正常工作为事件R，则由Bayes公式，系

统正常工作的概率

)()()()(

55555

APARPAPARPR

当部件5正常工作时，相当于图)2(中2n的情形，易得，系统正常工作的概率

)2()(2

5

PPARP

、2当部件5不能正常工作时，相当于图)1(中2n的情形，易得，系统正

常工作的概率

22

5

)2()(PPARP。

综上，系统正常工作的概率

9

54322222

55555

2532)2()1()2()()()()(PPPPPPPPPPAPARPAPARPR

由此可见，随机事件的独立在实际概率计算中前端开发简历 的广泛用途。

2随机变量的独立性

2.1随机变量独立性的概念

随机变量的独立性概念是概率论中的重要概念之一。

设X及Y为离散随机变量，如果对于他们任意一对可能值

i

x

及

i

y

，事件X=

i

x

与Y=

i

y

是独立的，则称随机变量X与Y是独立的。按独立事件的概率乘法定理，

对于独立离散随机变量X及Y，我们有

)()(),(

iYiXii

ypxpyxp)1(

其中。,,,2,1;,,,2,1njmi这就是说，独立离散随机变量的联合概率函

数等于他们的边缘概率函数的乘积。

设X及Y为连续随机变量，如果对于任意一对数值x及y，事件xX与

yY是独立的，则称随机变量X与Y是独立的。于是，由分布函数的定义，对

于独立连续随机变量X及Y就有

)()(),(yFxFyxF

YX

)2(

这就是说，独立连续随机变量的联合分布函数等于它们的边缘分布的乘积。

在式)1(的两边分别对

x

及y各微分一次，即得

)()(),(yfxfyxf

YX

)3(

这个结果表明，独立连续随机变量的联合概率密度等于它们的边缘概率密度

的乘积。

显然，由式)3(也不难推出式)2(。

例9已知二维随机变量),(YX的联合概率密度为：











其他

＞，＞

,0

00,2

),(

)2(yxe

yxf

yx

随机变量X与Y是否独立？

解：为了判定随机变量X与Y的独立性，应当先求出它们的边缘概率密度。

当

0x

时，显然有0)(xf

X

；当

0＞x

时，有

10

xxyxyx

X

eedyeedyexf













2

1

222)(2)2(

由此得X的边缘概率密度为：













0,0

0,

)(

x

xe

xf

x

X

＞

同理可以求得Y的边缘密度为：













0,0

0,2

)(

2

y

ye

yf

y

Y

＞

由上面得到的结果易知

)()(),(yfxfyxf

YX



所以随机变量X与Y是独立的。

最后，我们指出，在实际问题中，判断随机变量的独立性很少借助于式)1(或

)3(来验证，通常是根据经验的直观想法进行判断。

2.2随机变量独立性的性质

命题1ZYX，，是三个随机变量，由X与Y独立和Y与Z独立不能推出X与

Z独立，即随机变量的独立性没有传递性。

例10设),,(ZYX的联合密度函数为：







0,

12

1

2

1

,,

22

2

2

2

12

1

2

2





















zxzx

y

eezyxf

则),(YX的联合密度函数为：

22

)2(

)1(2

1

2

2

),(

22

22

2

2

2

1

2

1

12

1

2

1

),(

yx

zxzx

y

YX

eedzeyxf



























由此可知，X与Y相互独立，并且都服从标准正态分布。同样可证Y与Z相互独

立，并且都服从标准正态分布，但是X与Z不相互独立。事实上



dyzyxfzxf

ZX



,,,

,

11



















dyee

y

zpxzx

2

2

12

1

2

2

22

2

2

1

12

1









22

2

2

12

1

212

1zpxzx

e













X与Z均为标准正态分布，他们的密度函数分别为：

22

22

2

1

)(,

2

1

)(

z

Z

x

X

ezfexf



所以对一切zx，

)()(),(

),(

zfxfzxf

ZXZX



故X与Z不互相独立。

)(xf

与

)(yg

独立而X与Y不独立

命题2设X与Y是两个随机变量，)(xf和)(yg为一元函数。若)(xf与

)(yg相互独立，则X与Y不一定相互独立。

例11设),(YX的联合密度函数为：

















其他,0

,,

4

)()(1

),(2

ayax

a

yx

yxf



其中0a为常数，)()(yx和都是],[aa上的连续奇函数，且0)()(yx1。

因为)()(yx和均为奇函数，所以

































ay

ay

a

yf

ax

ax

a

xf

YX

,0

,

2

1

)(,

,0

,

2

1

)(

由于)()(yx和均不等于零，所以当ayax，时，)()(),(yfxfyxf

YX

。故X

与Y不相互独立。但是，不难证明2X与2Y是相互独立的。下面就来证明这一结

论：

容易求出),(22YX的联合分布函数为：

12







































22

22

2

22

2

22

2

),(

,,1

,0,

1

,0,

1

0,0,

1

00,0

),(22

ayax

axayy

a

ayaxx

a

ayaxxy

a

yx

yxF

YX

或

而2X与2Y的联合分布函数分别为：













































2

2

2

2

,1

0,

1

0,0

)(

,1

,0,

1

0,0

)(22

ay

ayy

a

y

yF

ax

axx

a

x

xF

YX

所以

)()(),(

2222),(

yFxFyxF

YXYX



故2X与2Y是相互独立的。

2.3随机变量相互独立的判定

判别法之一：定义法

用随机变量独立性的定义判别，是对一系列随机事件的独立性做出判定，

进而断定随机变量的独立性。

判别法之二：分布函数法

由于X与Y的独立条件

)()(),(

22112211

bYaPbXaPbYabXaP＜＜＜＜

是随机变量的概率关系，而随机变量X的分布函数}{X)(xPxF

X

完整地刻画

了X的全部概率特性，因此分布函数可以用来刻画随机变量的独立性。

定理2设随机变量),(YX的联合分布函数为),(yxF，其边缘分布函数分别

为)()(yFxF

YX

，，则X与Y相互独立的充要条件是对任意实数yx,都有

)()(),(yFxFyxF

YX



该定理把随机变量的概率关系转化为函数关系，而函数关系的判别一般来

13

说会容易些。

判别法之三：密度函数法

对于连续型随机变量X与Y的独立性，一些概率教科书给出了如下结果：

设),(YX是二维连续型随机量则X与Y独立的充分必要条件是联合概率密度函

数等于两个边缘概率密度函数的乘积，即

)()(),(yFxFyxF

YX



定理3设二维连续型随机变量),(YX有联合密度),(yxf，其边缘密度分别为

)(),(yfxf

YX

，则X与Y独立的充要条件是：

)()(),(yfxfyxf

YX



几乎处处成立。该定理给出了判别独立性的一个方法：

若

)()(),(yfxfyxf

YX



处处成立，则X与Y相互独立；若存在非零测度集A，使当),(yxA

时恒有

)()(),(yfxfyxf

YX

，则X与Y不独立。上述判别法对数学要求较高，而且边

缘密度函数的计算有时也会很繁琐，故其判例兹不赘述。值得推介的是定理2的

推论：

推论1设二维随机变量),(YX的联合密度函数为连续函数),(yxf，

bxa，dyc，则随机变量X与Y相互独立的充要条件为：

)1(存在连续函数)(xg与)(yh使),(yxf=)(xg)(yh；

)2(dcba，，，分别是与

yx,

无关的常数最大的国家 或。

推论1使随机变量独立性的判别变为考察联合密度函数),(yxf是否可分离变量，

以及),(yxf定域的边界是否为常数的简单工作。

例12设











其他,0

10,0,8

),(

),(

yyxxy

yxf

YX

问X与Y是否独立？

解：二元密度函数值大于

0

的定义域为图3所示的阴影部分，固定]1,0[x，

14













1

2)1(48),()(

x

X

xxxydydyyxfxf

于是











其他,0

10),1(4

)(

2xxx

xf

X

同理求得

















其他,0

10,8

)(0

y

Y

yxydy

yf

可知)()(),(

),(

yfxfyxf

YXYX

不是几乎处处成立，所以X与Y不独立。

图3

判别法之四：用相关性推断独立性我们知道，随机变量的相关系数XY



刻画

了随机变量

X

与Y之间线性相性的程度，那么XY



是否也可以用来描述随机变量

X与Y的独立性呢？我们有：

定理4X与Y独立的必要条件是X与Y不相关，即：X与Y的相关系数

0

xy



，或者怎么画雷锋 X与Y的协方差0),(YXCov；换言之，若0

xy



或0),(YXCov，

则X与Y不独立。

故定理4可以用于判定随机变量不独立。需要指出，定理4的逆命题并不成

立，即：“X与Y不相关”推不出“X与Y独立”。

判别法之五：严格单调连续函数的性质

我们知道，严格单调的连续函数有很好的分析性质，关于随机变量的独立

性有：

定理5设X与Y是两个随机变量，)(xg与)(yh分别是关于x与y严格单调

的连续函数，则X与Y相互独立的的充要条件是随机变量)(Xg与)(Yh相互独

立。

15

判别法之六：利用联合分布概率判断

定理6设),(YX为二维离散型随机变量，且具有如表l的联合分布概率，若

X与Y相互独立，则X与Y的联合分布概率矩阵秩必为1。

例13设二维随机变量),(YX的联合分布列为

问其中ba，取什么值时),(YX独立？

解：若X与Y独立，则

1.0)1.0)(1.0(ba

又15.03.045.0baba，，或3.015.0ba，。

例14设二维随机变量),(YX的联合分布列为：

X

Y0

y

1

y

0

x

1.0b

1

x

a

45.0

X

Y

0

1

2

0

6/19/118/1

1

3

1





16

问其中，取什么值时，),(YX独立？

解：X的分布列：

Y的分布列：

18/1,9/1,2/13/16/1

321

PPP

3/1,3/118/19/16/1

21

PP

由于边缘分布律必满足1

321

PPP及1

21

PP。

又X与Y相互独立的等价条件为

jiij

PPP

，可知

1

21

PP且

2112

PPP

XY

0

1

i

P

18/19/16/1

3/1

XY

0

1

2

j

P

3/16/1

9/1

18/1

17

即9/19/2，。

结果分析：以上两个例子中所对应),(YX的联合分布概率矩阵的秩均为1。

定理7设),(YX是连续型随机变量，其联合密度函数为：

dycbxayxf，，),(

则随机变量相互独立的充分必要条件为:

)1(存在连续函数)()(ygxh，使得：

)()(),(ygxhyxf

)2(dcba，，，是与yx，无关的常数。

该定理避开求边缘密度函数)(xf

X

和)(yf

Y

的联合密度函数的繁琐过程，使

判断随机变量独立性的工作转变为考查联合密度函数是否可分离变量，以及

),(yxf定义域边界是否是常量的简单工作。

推论2在上述定量的条件中，如果

a

，

c

有一个或两个都趋于，b，d中

有一个或两个都趋于，定理的结论也成立。

例14设),(YX的联合密度函数为：













其他

，

,0

0,0

),(

)(yxe

yxf

yx

讨论X与Y的相互独立性。

解：设xexh)(，yeyg)(

，则有)()(),(ygxhyxf。

又00dcba，，，由此可知X与Y相互独立。

至此，我们研究了随机变量独立性的六种判别方法。判别法的各个判定条

件与随机变量独立之间都是充要条件关系，因而它们既可以用于判定独立，也

可以用于判定不独立。在实际运用时，需要仔细地甄别、合理地选择和科学地

利用这些不同的关系方可使独立性的判别更有效率。此外还应当指出，在实际

应用问题中，随机变量的独立性往往是凭直觉经验判断出来的，这也是不乏其

例的。

18

总结

独立性是古典概型事件中一个重要的概念，本论文主要介绍了独立性的概

念，随机事件的独立性的某些性质应用及用它来证明某些概率事件。由部分例

题可以清楚的看到如何用定义及性质来解题，让读者看完后能掌握用独立性解

19

题的方法和独立性的概念应用。

参考文献

[3]尹传存，吕玉华，李福山.随机变量独立性的

几个结果.曲阜师大数学系.1998（04）

20

[4]尤芳.随机变量独立性的若干判别法.苏州大

学数学科学学院.2006（05）

[5]侯玉双,何莉敏,余亭.随机变量独立性的判定与

运用.内蒙古科技大学理学院，中国海洋大

学.2008（03）

[6]概率论与数理统计（第四版）沈恒范

致谢

在本论文的写作过程中，我的导师XXX老师倾注了大量的心血，从选题到

开题报告，从写作提纲，到一遍又一遍地指出每稿中的具体问题，严格把关，

循循善诱，在此我表示衷心感谢。同时我还要感谢在我学习期间给我极大关心

和支持的各位老师以及关心我的同学和朋友。