菱形判定定理

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菱形的判定

菱形的判定

(1)四条边相等的四边形是菱形；

(2)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

01基础题

知识点1有一组邻边相等的平行四边形是菱形

1．如图，若要使▱ABCD成为菱形，则可添加的条件是()

A．AB＝CDB．AD＝BC

C．AB＝BCD．AC＝BD

第1题图第2题图

2．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是()

A．AB＝BCB．AC＝BCC．∠B＝60D．∠ACB＝60

3．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．

知识点2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4．如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件(答案不唯一)，

使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)

5．(2017岳阳)求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．

已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD．

2

知识点3四条边相等的四边形是菱形

6．(2016大庆)下列说法正确的是()

A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的虾的做法 对角线互相垂直

C．一组对边平行的四边形是平行四边形D．四边相等的四边形是菱形

7．(2017宁夏)在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，

求证：四边形ABMD是菱形．

02中档题

8．(2017聊城)如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是()

A．AB＝ACB．AD＝BDC．BE⊥ACD．BE平分∠ABC

9．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A和点B为圆心，大于

1

2

AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是()

A．矩形B．菱形C．一般的四边形D．平行四边形

10．(2016兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝23，DE＝2，

则四边形OCED的面积为()

A．23B．4

C．43D．8

11．(2016沈阳)如图，△ABC≌△AB神话故事有哪些 D，点E在边AB上，CE∥触动心灵的力量 BD，连接DE.求证：

3

12．(2016聊城)如图，在冈拼音组词 Rt△ABC中，∠B＝90，点4的英文 E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，

作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．

03综合题

13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.

(1)求证：AD＝BC；

(2)若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．

一．选择题

1．下列命题正确的是（）

A．邻角相等的四边形是decide名词 菱形B．有一组邻边相等的四边形是菱形

C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形

2．下列命题中，正确的是（）

A．有一个角是60的平行四边形是菱形B．有一组邻边相等的四边形是菱形

C．有两边相等的平行四边形是菱形D．四条边相等的四边形是菱形

1．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（）

A．AB=CDB．AC=BD

C．当AC⊥BD时，它是菱形D．当∠ABC=90时，它是矩形

2．下列命题不正确的是（）

A．对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形;

B．两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形;

C．两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形;

D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形.

4

二．填空题

1．在平行四边形ABCD中，若一条对角线平分一个内角，则四边形ABCD为______形．

2．如图所示，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分的四边给长辈的生日祝福 形ABCD是______形．

3．（方案设计题）小华为班级设计了一个班徽，图中有一菱形，为了检验小华所画的菱形是否准确，请你以

带有刻度的三角尺为工具，帮小华设计一个检验的方案．

4．在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥BC，请添加一个条件，使四边形ABCD是菱形，所添加的条

件是_________．

三．解答题

1.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E

.求证:四边形AFCE是菱形.

5

2.如图所示，O是矩形对角线交点，过O作EF⊥AC分别交AD，BC于E，•F，•若AB=2cm，BC=4cm，求四边形

AECF的面积．

3.如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB•交AC于点F，求证：AD⊥EF．

4.（2017安顺）已知：如图11所示，在ABC△中，ABACDEF，，，

分别是ABBCAC，，边上的中点．

（1）求证：四边形ADEF是菱形

（2）若24AB，求菱形ADEF的周长．

A

D

F

B

E

C

图11

6

5.如图所示，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD，BC，AC•分别交于点E，F，O，连接AF，

EC，则四边形AFCE是菱形吗？为什么？

6．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF•∥AB•交AC于点F，试说明四边形AEDF是菱形．

7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AP∥BD，DP∥AC，AP、DP相交于点P，则四边形AODP是什

么样的特殊四边形，并说明你的理由．

7

8.如图所示，过ABCD的对角线的交点O作互相垂直的两条直线EG，FH，•与平行四边形各边分别交于E，F，

G，H，求证：四边形EFGH是菱形．

7..如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠BAC=60，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E.又点F在DE

的延长线上，且AF=CE.求证：四边形ACEF是菱形.

8.如图,在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH

为菱形，并说明理由.

8

9．如图所示，在矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，•CD的延长线分别交于E，F．

（1）求证：△BOE≌△DOF；

（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论．

10.如图,已知过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边

分别相交于点E、F、G、H.求证：四边形EFGH是菱形.

11.（2017青岛）将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．

（1）求证：△ABE≌△AD′F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结鼻尖长痣 论．

A

B

C

D

E

F

D′

9

12．在如图中，若△ADE≌△CBF，点E、F分别为AB、CD的中点，BD是对角线AG//DB交CB的延长线

于G。

①求证：四边形ABCD是平行四边形；

②若四边形BFDE是菱形，则四边形AGBD是矩形；

③在②中应增加什么条件，才能判别矩形AGBD是正方形。

13．如图，已知O是矩形ABCD对角线BD的中点，过点O作BD•的垂线交DC于F，交AB于E，说明四边形DEBF

的形状．

14.如图所示，在△ABC中，AB=AC，P为BC的中点，PE⊥AB于E，PF⊥•AC于F，EM⊥AC于M，FN⊥AB

于N，EM与FN相交于点Q，那么四边形PEQF是菱形吗？说明你的理由．

10

15．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90，AD平分∠BAC交BC于D，CG⊥AB•于G，交AD于F，DE⊥AB

于E，那么四边形CDEF是菱形吗？说说你的理由．

16.（2015•郴州）如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．

（1）求证：△AOE≌△COF；

（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由．

17.已知边长为10的菱形ABCD，对角线BD＝16，过线段BD上的一个动点P(不与B、D重合)分别向直

线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．

(1)如图1，求证：△PBE∽△PDF；

(2)连接PC，当PE＋PF＋PC取最小值时，求PB的长；

(3)如图2，对角线BD、AC交于点O，以PO为半径(PO＞0)的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时，求

PB的长．

A

B

C

D

E

P

F

第21题图1

O

A

B

C

D

E

P

F

第21题图2

A

B

C

D

O

第21题备用图2

A

B

C

D

O

第21题备用图1

11

如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是ADBC，的中点，GH，分别是BDAC，的中点，ABCD，

满足什么条件时，四边形EGFH是菱形？请证明你的结论．

ABC△是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点BC、重合），ADE△是以AD为边

的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线ABAC、于点FG、，连接BE．

（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．

①求证：AEBADC△≌△；

②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；

（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？

（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．

A

B

C

D

E

（第27题图）

F

G

H

A

G

C

D

B

F

E

图（a）

A

D

C

B

F

E

G

图（b）

第25题图