指数运算公式大全

对数指数函数公式全集

1

指数函数与对数函数

重点、难点:

重点:指数函数与对数函数的概念、图象与性质。

难点:指数函数与对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数yayxx

a

，log在

a1及01a两种不同情况。

1、指数函数:

定义:函数yaaax01且叫指数函数。

定义域为R,底数就是常数,指数就是自变量。

为什么要求函数yax中的a必须aa01且。

因为若a0时,yx4,当x

1

4

时,函数值不存在。

a0,yx0,当x0,函数值不存在。

a1时,yx1对一切x虽有意义,函数值恒为1,但

yx1的反函数不存在,因为要求函数明星剧照 yax中的

aa01且。

1、对三个指数函数yyyx

x

x













2

1

2

10，，的图象的

认识。

图象特征与函数性质:

图象特征函数性质

(1)图象都位于x轴上方;

(1)x取任何实数值时,都有ax0;

(2)图象都经过点(0,1);

(2)无论a取任何正数,x0时,y1;

(3)yyxx210，在第一象限内的纵坐标

都大于1,在第二象限内的纵坐标都小于

1,y

x















1

2

的图象正好相反;

(3)当a1时,

xa

xa

x

x















01

01

，则

，则

当01a时,

xa

xa

x

x















01

01

，则

，则

(4)yyxx210，的图象自左到右逐渐上

升,y

x















1

2

的图象逐渐下降。

(4)当a1时,yax就是增函数,

当01a时,yax就是减函数。

对图象的进一步认识,(通过三个函数相互关系的比较):

①所有指数函数的图象交叉相交于点(0,1),如yx2与yx10相交于()01，,当x0时,yx10的图

对数指数函数公式全集

2

象在yx2的图象的上方,当x0,刚好相反,故有10222及10222。

②yx2与y

x















1

2

的图象关懵逼是什么意思 于y轴对称。

③通过yx2,yx10,y

x















1

2

三个函数图象,可以画出任意一个函数yax(aa01且)的示意

图,如yx3的图象,一定位于yx2与yx10两个图象的中间,且过点()01，,从而y

x















1

3

也由关于y轴

的对称性,可得y

x















1

3

的示意图,即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

2、对数:

定义:如果aNaab()01且,那么数b就叫做以a为底的对数,记作bN

a

log(a就是底数,N就是

真数,log

a

N就是对数式。)

由于Nab0故log

a

N中N必须大于0。

当N为零的负数时对数不存在。

(1)对数式与指数式的互化。

由于对数就是新学的,常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题,如:

求log

.032

52

4













分析:对于初学者来说,对上述问题一般就是束手无策,若将它写成log

.032

52

4













x,再改写为指数式就

比较好办。

解:设log

.032

52

4













x

则

即

∴

即

032

52

4

8

25

8

25

1

2

52

4

1

2

1

2

032

.

log

.

x

x

x







普通话等级标准







































评述:由对数式化为指数式可以解决问题,反之由指数式化为对数式也能解决问题,因此必须因题而异。如求

35x中的x,化为对数式xlog

3

5即成。

(2)对数恒等式:

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3

由aNbNb

a

()log()12

将(2)代秋葵要焯水吗 入(1)得aNa

Nlog

运用对数恒等式时要注意此式的特点,不能乱用,特别就是注意转化时必须幂的底数与对数的底数相同。

计算:31

3

2log

解:原式

















3

1

3

1

2

2

22

1

3

1

3

log

log

。

(3)对数的性质:

①负数与零没有对数;

②1的对数就是零;

③底数的对数等于1。

(4)对数的运算法则:

①logloglog

aaa

MNMNMNR，

②logloglog

aaa

M

N

MNMNR，

③loglog

a

n

a

NnNNR

④loglog

a

n

a

N

n

NNR

1

3、对数函数:

定义:指数函数yaaax()01且的反函数

yx

a

log

x(,)0叫做对数函数。

1、对三个对数函数yxyxloglog

21

2

，，

yxlg的图象的认识。

图象特征与函数性质:

图象特征函数性质

(1)图象都位于y轴右侧;(1)定义域:R+,值或:R;

(2)图象都过点(1,0);

(2)x1时,y0。即log

a

10;

(3)yxlog

2

,yxlg当x1时,图象在

x轴上方,当00x时,图象在x轴下

方,yxlog

1

2

与上述情况刚好相反;

(3)当a1时,若x1,则y0,若

01x,则y0;

当01a时,若x0,则y0,若

01x时,则y0;

(4)yxyxloglg

2

，从左向右图象就是

上升,而yxlog

1

2

从左向右图象就是下降。

(4)a1时,yx

a

log就是增函数;

01a时,yx

a

log就是减函数。

对图象的进一步的认识(通过三个函数图象的相互关系的比较):

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4

(1)所有对数函数的图象都过点(1,0),但就是yxlog

2

与yxlg在点(1,0)曲线就是交叉的,即当

x0时,yxlog

2

的图象在yxlg的图象上方;而01x时,yxlog

2

的图象在yxlg的图象的下

方,故有:.

2

1515;.

2

0101。

(2)yxlog

2

的图象与yxlog

1

2

的图象关于x轴对称。

(3)通过yxlog

2

,yxlg,yxlog

1

2

三个函数图象,可以作出任意一个对数函数的示意图,如作

yxlog

3

的图象,它一定位于yxlog

2

与yxlg两个图象的中间,且过点(1,0),x0时,在yxlg的上

方,而位于yxlog

2

的下方,01x时,刚好相反,则对称性,可知yxlo以后的英文 g

1

3

的示意图。

因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

4、对数换底公式:

log

log

log

log(.)

log

b

a

a

ne

g

N

N

b

LNNeN

LNN







其中…称为的自然对数

称为常数对数

271828

10

由换底公式可得:

LN

N

e

N

N

n



lg

lg

lg

.

.lg

04343

2303

由换底公式推出一些常用的结论:

(1)log

log

loglog

a

b

ab

b

a

ba

1

1或

(2)loglog

a

m

anb

m

n

b

(3)loglog

a

n

anbb

(4)log

a

m

na

m

n



5、指数方程与对数方程*

定义:在指数里含有未知数的方程称指数方程。

在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。

由于指数运算及对数运算不就是一般的代数运算,故指数方程对数方程不就是代数方程而属于超越方程。

指数方程的题型与解法:

名称题型解法

基本型

同底数型

不同底数型

需代换型



abfx

aafxx()()



abfxx





F

ax

0

取以a为底的对数fxb

a

log

取以a为底的对数fxx

取同底的对数化为fxaxblglg

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5

换元令tax转化为t的代数方程

对数方程的题建材购销合同 型与解法:

名称题型解法

基本题log

a

fxb

对数式转化为指数式fxab

同底数型loglog

aa

fx马斯洛 x转化为fxx(必须验根)

需代换型

F

a

x(log)

0

换元令tx

a

log转化为代数方程