求极限方法

1

求极限的各种方法

1．约去零因子求极限

例1：求极限

1

1

lim

4

1



x

x

x

【说明】1x表明1与x无限接近，但1x，所以1x这一零因子可以约去。

【解】6)1)(1(lim

1

)1)(1)(1(

lim2

1

2

1









xx

x

xxx

xx

=4

2．分子分母同除求极限

例2：求极限

13

lim

3

23





x

xx

x

【说明】





型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。

【解】

3

1

3

1

lim

13

lim

3

1

1

3

23















x

x

xxx

xx

【注】(1)一般分子分母同除x的最高次方；

(2)





































nm

b

a

nm

nm

bxbxb

axaxa

n

n

m

m

m

m

n

n

n

n

x

0

lim

0

1

1

0

1

1





3．分子（母）有理化求极限

例3：求极限

)13(lim22



xx

x

【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式.

【解】

13

)13)(13(

lim)13(lim

22

2222

22







xx

xxxx

xx

xx

0

13

2

lim

22

海象英文





xxx

例4：求极限

3

0

sin1tan1

lim

x

xx

x





【解】

xxx

xx

x

xx

xxsin1tan1

sintan

lim

sin1tan1

lim

3

0

3

0









2

4

1sintan

lim

2

1sintan

lim

sin1tan1

1

lim

3

0

3

00













x

xx

x

xx

xxxxx

【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子

．．．．．．．．．．．

是解

题的关键

4．应用两个重要极限求极限

两个重要极限是

1

sin

lim

0



x

x

x

和ex

nx

x

x

n

n

x

x





1

0

)1(lim)

1

1(lim)

1

1(lim，第

一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限.

例5：求极限

x

xx

x

















1

1

lim

【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１,再凑

X

1



,最后凑指数

部分.

【解】2

2

2

1

2

1

2

11

2

1

1

1lim

1

2

1lim

1

1

lime

xxx

x

x

x

x

x

x

x

x































































































例6：（1)

x

xx

















2

1

1lim

；（2）已知

8

2

lim



















x

xax

ax

，求a。

5．用等价无穷小量代换求极限

【说明】

（1）常见等价无穷小有：

当0x时,~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin~xxxxxx

1ex,

abxaxxxb~11,

2

1

~cos12;

（2）等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式

．．

；

(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选

．．．．．

.

例7：求极限

0

ln(1)

lim

1cosx

xx

x







【解】

00

2

ln(1)

limlim2

1

1cos

2

xx

xxxx

x

x







.

例8：求极限

x

xx

x

3

0tan

sin

lim





【解】

x

xx

x

3

0tan

sin

lim



6

1

3

lim

3

1cos

lim

sin

lim

2

2

2

1

0

2

0

3

0















x

x

x

x

x

xx

xxx

3

6．用罗必塔碗碗羊肉 法则求极限

例9：求极限

2

2

0

)sin1ln(2cosln

lim

x

xx

x





【说明】





或

0

0

型的极限,可通过罗必塔法则来求。

【解】

2

2

0

)sin1ln(2cosln

lim

x

x培训通讯稿 x

x



x

x

x

x

x

x2

sin1

2sin

2cos

2sin2

lim

2

0











3

sin1

1

2cos

2

2

2sin

lim

2

0























x

xx

x

x

【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解

例10：设函数f(x）连续,且0)0(f，求极限

.

)(

)()(

lim

0

0

0









x

x

xdttxfx

dttftx

【解】由于



0

00

)())(()(

x

xx

utx

duufduufdttxf，于是

















x

xx

x

x

x

xduufx

dtttfdttfx

dttxfx

dttftx

0

00

0

0

0

0)(

)()(

lim

)(

)()(

lim

=











x

x

xxxfduuf

xxfxxfdttf

0

0

0)()(

)()()(

lim=







x

x

xxxfduuf

dttf

0

0

0)()(

)(

lim

=

)(

)(

)(

lim

0

0

0

xf

x

duuf

x

dttf

x

x

x









=.

2

1

)0()0(

)0(



ff

f

7．用对数恒等式求)()(limxgxf

极限

例11:极限x

x

x

2

0

)]1ln(1[lim



【解】x

x

x

2

0

)]1ln(1[lim



=)]1ln(1ln[

2

0

limx

x

x

e



=

.2

)1ln(2

lim

)]1ln(1ln[2

lim

00eeex

x

x

x

xx





【注】对于1型未定式)()(limxgxf的极限，也可用始得西山宴游记 公式

)()(limxgxf)1(=)()1)(lim(xgxfe

4

因为

)1)(1ln()(lim))(ln()(lim)()(limxfxgxfxgxgeexf)()1)(lim(xgxfe

例12:求极限

3

0

12cos

lim1

3

x

x

x

x



















.

【解1】原式

2cos

ln

3

3

0

1

lim

x

x

x

e

x















2

0

2cos

ln

3

lim

x

x

x











2

0

ln2cosln3

lim

x

x

x





（）

0

1

sin

2cos

lim

2x

x

x

x







（）

0

11sin1

lim

22cos6x

x

xx

白水洞 



【解2】原式

2cos

ln

3

3

0

1

lim

x

x

x

e

x















2

0

2cos

ln

3

lim

x

x

x











2

0

cos1

ln

3

lim

x

x

x







（1）

2

0

cos11

lim

36x

x

x





8．利用Taylor公式求极限

例13求极限)0(,

2

lim

2

0







a

x

aaxx

x

。

【解】)(ln

2

ln122

2

lnxa

x

axeaaxx，

)(ln

2

ln122

2

xa

x

axax；

).(ln2222xaxaaxx

a

x

xax

x

aa

x

xx

x

2

2

222

0

2

0

ln

)(ln

lim

2

lim















.

例14求极限

0

11

lim(cot)

x

x

xx



。

5

【解】

00

111sincos

lim(cot)lim

sinxx

xxx

x

xxxxx





32

32

3

0

()[1()]

3!2!

lim

x

xx

xxxx

x









33

3

0

11

()()

1

2!3!

lim

3x

xx

x









。

9．数列极限转化成函数极限求解

例15：极限

21

sinlim

n

nn

n















【说明】这是1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直

接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。

【解】考虑辅助极限6

1

1sin

11

0

1

1

sin

2

2

2

limlim

1

sinlim





















































eee

x

x

y

y

y

y

x

xx

x端午手抄报内容

x

x

所以,6

1

21

sinlim

















e

n

n

n

n

10．n项和数列极限问题

n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法

（1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;

(2）利用两边夹法则求极限.

例16:极限



























222222

1

2

1

1

1

lim

nnnnn



【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算，是把)(xf看成［0,1］定积

分。



























































1

0

)(

211

limdxxf

n

n

f

n

f

n

f

nn



【解】原式＝













































































222

1

1

2

1

1

1

1

11

lim

n

n

nn

nn



6

12

12

ln

2

1

1

11

0

2







dx

x

例17：极限

























nnnnn

222

1

2

1

1

1

lim

【说明】(1）该题遇上一题类似，但是不能凑成

























































n

n

f

n

f

n

f

nn



211

lim

的形式,因而用两边夹法则求解；

(2)两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。

【解】

























nnnnn

222

1

2

1

1

1

lim

因为

1

1

2

1

1

1

22222















n

n

nnnnnn

n



又

nn

n

n

2

lim1

1

lim

2







n

n

n

所以

























nnnnn

222

1

2

1

1

1

lim＝１

12．单调有界数列的极限问题

例18:设数列

n

x满足

11

0,sin(1,2,)

nn

xxxn





（Ⅰ）证明lim

n

n

x



存在，并求该极限;

（Ⅱ)计算

2

1

1limn

x

n

n

n

x

x











。

【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列

极限的存在。

【详解】（Ⅰ）因为

1

0x,则

21

0sin1xx小快板 。

可推得

1

0sin1,1,2,

nn

xxn



，则数列

n

x有界。

于是1

sin

1nn

nn

xx

xx

，（因当0sinxxx时，），则有

1nn

xx



,可见数列

n

x单

调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim

n

n

x



存在。

设lim

n

n

xl



，在

1

sin

nn

xx



两边令

n

，得sinll，解得0l，即lim0

n

n

x



.

7

（Ⅱ）因

22

11

1

sin

limlimnn

xx

nn

nn

nn

xx

xx













，由(Ⅰ)知该极限为1型,

6

1

sin

0

1sin

11

00

3

2

2

2

1

limlimsin

1

lim





































eeex

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

（使用了罗必塔法则）

故

22

11

1

1

6

sin

limlimenn

xx

nn

nn

nn

xx

xx















。