两直线垂直斜率关系

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两条直线的位置关系判断方法

设平面上两条直线的方程分别为卧薪尝胆的主人公是谁

11112222

:0,:0laxbyclaxbyc

一．行列式法

记系数行列式为11

22

,

ab

D

ab

11

22

,

x

cb

D

cb







11

22

y

ac

D

ac







1

l和

2

l相交0D

1221

baba

1

l和

2

l平行0,0

x

DD或

0,0

y

DD

1

l和

2

l重合0

xy

DDD

二．比值法

1

l和

2

l相交

2

1

2

1

b

b

a

a



0b,a

22



；

1

l和

2

l垂直0baba

2211



；

1

l和

2

l平行

2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a



0c,b,a

222



；

1

l和

2

l重合

2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a



0c,b,a

222



三．斜率法

111222

:y0.:y0lkxblkxb（条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式）

12

ll与相交

21

kk；

12

ll与平行

2121

bbkk，

12

ll与重合

2121

bbkk，

；

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12

ll与垂直-1.

21

kk;

特别提醒：在具体判断两条直线的位置关系时，先考虑比值法，但要注意前提条件(分母不

为零)；再考虑斜率法，但也有条件(两条直线的斜率都存在)，最后选择行列式(无条件)；

注：（1）两直线平行是它们的法向量（方向向量）平行的充分非必要条件；

（2）两直线垂直是它们的法向量（方向向量）垂直的充要条件；

（3）两条直线平行它们的斜率均存在且相等或者均不存在；

（4）两条直线垂直他们的斜率均存在且乘积为-1，或者一个存在另一个不存在；

例题分析

1.下列命题中正确的是……………………………………………………………………（B）

A.平行的两条直线的斜率一定相等

B.平行的两条直线倾斜角相等

C.两直线平行的充要条件是斜率相等

D.两直线平行是他们在y轴上截距不相等的充分条件

分析：A.两条直线斜率均不存在时也是平行,此时斜率不存在；

C.”斜率相等”是”两直线平行”的既不充分也不必要条件；

D.既不充分也不必要条件，因为两条直线斜率均不存在时也是平行，此时不存在y

轴上的截距，反之显然不成立；

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2、若l

1

与l

2

为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为a

1

，a

2

，斜率分别为k

1

，k

2

，则下带水字的古诗 列

命题

（1）若l

1

∥l

2

，则斜率k

1

=k

2

；（2）若斜率k

1

=k

2

，则l

1

∥l

2

；

（3）若l

1

∥l

2

，则倾斜角a

1

=a

2

；（4）若倾斜角a

1

=a

2

，则l

1

∥l

2

；

其中正确命题的个数是…………………………………………………………………（C）

A．1B．2C．3D．4

分析：(2)(3)(4)对，此时要注意已知条件l1与l2为两条不重合的直线

3、已知两条不重合的直线l

1

，l

2

的倾斜角分别为

1

，

2

，给出如下四个命题：

①若sin

1

=sin

2

，则l

1

∥l

2

②若cos

1

=cos

2

，则l

1

∥l

2

③若l

1

⊥l

2

，则tan

1

•tan

2

=﹣1

④若l

1

⊥l

2

，则sin

1

sin

2

+cos

1

cos

2

=0

其中真命题是…………………………………………………………………………（B）

A．①③B．②④C．②③D．①②③④

分析：①sin

1

=sin

2，

可知

1

=

2

或

1

+

2

=

，因为倾斜角

1

，

2

的范围0，，所以不一

定推出；

②cos

1

=cos

2,

可知

1

=

2

，因为思想汇报 倾斜角

1,

2

的范围0，，所以可以推出；

③如果成立的话，必须斜率存在，可是

1

=

，

2

=

2

，致使斜率不存在；

④若两条直线斜率都存在时，显然成立，若两条直线斜率有一个不存在时也成立，

下证，不妨设

1

=

，

2

=

2

，此时也成立；

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4、已知直线06y)2k(x3:l

1

与直线02y)3k2(kx:l

2

，记

3k2k杜仲猪腰

)2k(3

D







.”0D”是”骆驼祥子环境描写 两条直线

1

l与直线

2

l平行”的……………………………

(A)

A．充分不必要条件；B．必要不充分条件；C．充要条件;D．既不充分也不必要条

件

5、若直线

1

:l

22xaya与直线

2

:l

1axya不重合，则

12

ll∥的充要条件(C）

A.

1a

；B.

1

2

a；C.

1a

；D.

1a

或

1a

.

分析：法1：比值法，此时要保证分母不为零，故讨论

当0a时，

1

:2lx；

2

:1ly，此时垂直，不满足条件，舍去

当1a-时，

1

:0lxy；

2

:0lyx，此时重合，舍去

当10a-，时，

12

122

1

11







aa

lla

aa

∥

法2.)1a(1a2D);1a(2aD,a1D

yx

2）（1a

类似也可以用斜率法，此时只需要讨论

0a

和0a两种情况

6农村危房改造申请书 、直线

,01byx:l,01yax:l

21



则

1

b

a



是

21

ll

的………………………………（A）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

分析：



21

ll

0ba

7、“a=2”是”直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的…………………………………………（C）

A.充分不痛苦的反义词 必要条件;B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

分析：(比屈原列传特殊句式 值法:先观察有没有一条直线方程前面的系数是不是均为零，若有就把其作为分母)

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直线ax+2y=0平行于直线x+y=1

1

0

1

2

1

a

2a

8.已知直线01m4y)mm(x)3mm2(:l22

1

与直线Ra03y)1a(x2:l

2



(1)m为___1m且

9

8

m__时，

21

ll与相交；

(2)m为__6__时，

21

ll与垂直；

分析：直线方程含有参数

m

，故必须保证这个方程表示的是直线（y,x前面的系数不全为

零),故1m

(1)

21

ll与男士保暖内衣 相交

9

8

m;(2)

21

ll与垂直

6m

9、已知直线Rsinxy:l

1

和直线

cx2y:l

2



，则下列关于直线

21

l,l关系判断正确

的有____.③____

①．通过平移可以重合；②不可能垂直；③可能与x轴围成直角三角形；

分析：①如果两条直线平移之后可以重合，就必须满足斜率相同，可是2sin

②如果两条直线垂直就必须斜率之积等于-1，此时12sin，

6

5



③由第②问中，可知这两条直线有可能垂直，故可能与x轴围成直角三角形，因为只要有一

个角是直角就可以啦；

10、若直线l

1

：2x+（m+1）y+4=0与直线l

2

：mx+3y﹣2=0平行，则m梧州是几线城市 的值为（C）

A．﹣2B．﹣3C．2或﹣3D．﹣2或﹣3

分析：同第5题

11、已知P

1

（a

1

，b

1

）与P

2

（a

2

，b

2

）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于

x和y的方程组的解的情况是…………………………………………（B）

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A．

无论k，P

1

，P

2

如何，总是无解

B．

无论k，P

1

，P

2

如何，总有唯一解

C．

存在k，P

1

，P

2

，使之恰有两解

D．

存在k，P

1

，P

2

，使之有无穷多解

分析：此时使用行列式法，否则用其他方程需要讨论，因为要保证使用条件，故

下面只需要先判断

1221

baba-

是否为0

证：因为

P

1

（a

1

，b

1

）与P

2

（a

2

，b

2

）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点并

且直线y=kx+1的斜率存在，

∴k=，即a

1

≠a

2

，并且b

1

=ka

1

+1，b

2

=ka

2

+1，

∴a

2

b

1

﹣a

1

b

2

=a

2

(ka

1

+1)-a

1

(ka

2

+1)=ka

1

a

2

﹣ka

1

a

2

+a

2

﹣a

1

=a

2

﹣a

1

∴方程组有唯一解．