第二次数学危机

史上的三次数学危机

第一次数学危机

历史背景

毕达哥拉斯（约公元前572年——公元前492年）是一位古希腊

的数学家及哲学家，他曾有一句名言「凡物皆数」，意思是万物的本

原是数，数的规律统治万物。不过要注意的是，在那个年代，他们相

信一切数字皆可以表达为整数或整数之比——分数，简单逢山开路 而言，他们

所认识的只是「有理数」。

有趣的有理数

当时的人只有「有理数」的观念是绝不奇怪的。对于整数，在数

在线我们可以知道是一点点分散的，而且点与点之间的距离是一，那

就是说，整数不能完全填满整条数线，但有理数则不同了，我们发现

任何两个有理数之间，必定有另一个有理数存在，例如：1与2之间有

1/2，1与1/2之间有1/4等，因此令人很容易以为「有理数」可以完

全填满整条数线，「有理数」就是等于一切数，可惜这个想法是错的，

因为……

勾股定理、毕氏铁拳

伟大的时刻来临了，毕达哥拉斯发现了现时众所周知的勾股定理

（其实中国于公元前一千一百年已有此定理），从这个定理中，毕达

哥拉斯发现了一件不可思议的事，就是腰长为１的等腰直角三角形的

斜边长度，竟然是一个无法写成为有理数的数。亦即是说有理数并非

一切数，存在有理数以外的数，有理数不可以完全填满整条数线，他

们心中的信念完完全全被破坏了，他们所恃和所自豪的信念完全被粉

碎。在当时的数学界来说，是一个极大的震撼，也是历史上的「第一

次数学危机」。

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原来「第一次数学危机」是「无理数」的发现，不过它还说出了

「有理数」的不完备性，亦即有理数不可以完全填满整条数线，在有

理数之间还有「罅隙」，无疑这些都是可被证明的事实，是不能否定

的。面对着事实，数学家展开广阔的胸襟，把「无理数」引入数学的

大家庭，令数学更丰富更完备，加添了无理数，数线终于被填满了。

第二次数学危机

「飞矢不动」的吊诡

古代的希腊是研究哲学的人聚集的地方，在云党员半年总结 云的哲学学派之中，

其中一派主张「存在是静止的，不变的，永恒的，变化与运动只是幻

觉。」至于这个主张的理念，不是我们的讨论范围，不过，这个学派

的学者之一——芝诺，为了论证运动是幻帮助排便的食物 象，提出了「飞矢不动」的

「理论」：箭在每一瞬间都要占据一定的空间位置，即箭在每一瞬间

存在，即箭在每一瞬间都是静止的，又怎可能动呢？

数学——打破吊诡的夫妇的英文 武器

当然我们完全明白「飞矢不动」是一个歪论，但数学是一个讲究

严谨的学科，数学家们要从问花园里的父爱 题的核心「动」作为开始，要证明「飞

矢必动」。所谓动是指有速率，而速率便是所走的路程和所用的时间

的比，换句话说，要证明箭在每一瞬间都是动即，要证明箭在每一瞬

间都有速率，但这是一个难题，因为如何找出每一瞬间的速率呢？

无坚不摧——微积分

要解决每一瞬间的速率（以下称瞬时速度）的问感恩教育作文 题，伟大的数学

家和物理学家——牛顿（1643–1727），发现了一件无坚不摧的武器

——微积分，其中微分便正好可以计算出物体的瞬时速度。这个发现

震惊了整个数学界和物理学界，而且除了瞬时速度，微积分更在不同

方面有广泛的应用，并得到了瞬速的发展。不过，好境不常．．．

既不是零又不是非零？

因为微积分必须要考虑所谓「无穷小量」的问题，所谓「无穷小

量」是指一个「非零而又极接近零的量」，而所谓「极接近零」是指

这个量「与零之间不容许有任何空间和距离」，换句话说，「无穷小

量」是一个既不是零又不是非零的量，那么，「无穷小量」是零吗？

如果解不到这个问题，所谓无坚不摧的微积分，便无立足之地，一切

由微积分所得出来的完美的数学和物理学上的结果也付诸流水，所以

数学史上称之为「第二次数学危机」。

化危为机

数学是讲究严谨的学科，数学猪大肠的做法 家必不逃避问题，面对困难，接受

挑战，是数学家的不朽格言。另一位伟大的数学家柯西（1789–

1857），重新建立微积分学的基础——数学分析。数学分析是透过一

套严格的「数学语言——–语言」来说明甚么是变量、无穷小和极限

等的概念和定义，解决了甚么是既不是零又不是非零的问题，而这次

的危机亦安然渡过，并为数学的大家庭增添了一位成员「数学分析」。

第三次数学危机

一个有趣的故事

在村有一位手艺高超的理发师，他只给村上一切不给自己刮脸的

人刮脸，那么，他给不给自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他是个

不给自己刮脸的人，他应当给自己刮脸；如果他给自己刮脸，由于他

只给不给自己刮脸的人刮脸，他就不应当给自己刮脸了。他应该如何

呢？

数学和哲学界的巨匠——罗素

以上的故事就是著名的「罗素悖论」。罗素（1872–1970手自一体与自动挡的区别 ）是英

国著名的哲学家和数学家，曾获得诺贝尔文学奖金。他想把算术系统

全归结于逻辑，所以他与怀海德合作写的一本巨著《数学原理》。

理发师的威力

罗素的悖论确是给当时正为了微积分的严格基础被建立而欢欣鼓

舞的数学家们泼了一盆冷水，但这个理发师的力量有多大，竟然可以

推倒数学大厦呢？在较高等的数学里，我们会把整个数学的基础纳入

「集合论」之中，换拉人 句话说，集合论便是数学大厦的基石，所以当集

合论中出现矛盾时，建基于此之上的数学大厦也会站不住脚，而罗素

的悖论却是向着这个基石作出致命的一击，这个「自己既要属于自己

又同时不属于生涯规划是什么 自己」的矛盾是在集合论中的矛盾，也就是在数学基础

中的矛盾，只要矛盾一日存在，数学大厦也不可稳固，更会在倒塌的

危机，这个也是数学的第三次危机。

解铃还须系铃人

罗素虽然提出了问题，成为危机的制造者，但同时也是危机的解

决者，罗素在他的著作之中提出了层次的理论以解决这个矛盾，使得

「自己既要属于自己又同时不属于自己」不可能出现。不过，这个层

次理论十分复杂，所以数学家要把这个方法加以简化，而先提出的人

是策墨罗，他提出了「有限抽象原则」和几条公理，及后再由弗兰克

和斯柯伦的补充修改，仍成现在在数学上较为流行公理系统——

「ZFS公理系统」。这样不单只解决了罗素的悖论，令数学从回到严

紧和无矛盾的领域，而且更促使一门新的数学分支——「数学基础」

有着迅速的发展。