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高中三角函数公式大全[图]

1三角函数的定义1.1三角形中的定义

图1在直角三角形中定义三角函数的示意图

在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数：

•正弦函数

•余弦函数

•正切函数

•余切函数

•正割函数

•余割函数

1.2直角坐标系中的定义

图2在直角坐标系中定义三角函数示意图

在直角坐标系中，如下定义六个三角函数：

•正弦函数

•余弦函数

•正切函数

•余切函数

•正割函数

•余割函数

2转化关系2.1倒数关系

r

2.2平方关系

2和角公式

3倍角公式、半角公式

3.1倍角公式

3。2半角公式

3。3万能公式

4积化和差、和差化积

4.1积化和差公式

证明过程

首先，sin(+）=sincos+sincos（已证.证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）

因为sin(+)=sincos+sincos(正弦和角公式)

则

sin（—)

=sin［+（—）］

=sincos（-)+sin（-)cos

=sincos—sincos

于是

sin(-）=sincos—sincos（正弦差角公式）

将正弦的和角、差角公式相加，得到

sin（+）+sin(-）=2sincos

则

sincos=sin（+）/2+sin(-)/2（“积化和差公式”之一）

同样地，运用诱导公式cos=sin(/2—）,有

cos(+)=

sin［/2—(+)]

=sin（/2-—）

=sin［（/2-）+(—）］

=sin(/2—)cos（-）+sin（—)cos（/2-)

=coscos-sinsin

于是

cos(+）=coscos—sinsin（余弦和角公式）

那么

cos（-）

=cos［+（—)］

=coscos（-)-sinsin(-)

=coscos+sinsin

cos（-)=coscos+sinsin（余弦差角公式)

将余弦的和角、差角公式相减,得到

cos（+)-cos(-)=—2sinsin

则

sinsin=cos(—)/2—cos(+）/2(“积化和差公式”之二）

将余弦的和角、差角公式相加，得到

cos（+)+cos（—)=2coscos

则

coscos=cos（+）/2+cos(—)/2（“积化和差公式"之三）

这就是积化和差公式:

sincos=sin（+)/2+sin（—)/2

sinsin=cos（-)/2—cos(+)/2

coscos=cos（+）/2+cos（—）/2

4.2和差化积公式

部分证明过程：

sin（—)=sin[+（-)]=sincos（—）+sin（-）cos=sincos-sincos

cos（+）=sin［90-(+)］=sin[(90-）-]=sin(90-）cos—sincos(90—)=coscos-sinsin

cos(-）=cos［+（—）]=coscos(—）—sinsin(—)=co礼堂英语 scos+sinsin

tan（+)=sin(+)/cos（+)=(sincos+siwin10安装失败 ncos）/

（coscos—sinsin)=(costancos+costancos）/（coscos—costancostan)=

（tan+tan）/(1-tantan)

tan(—）=tan[+(—）]=［tan+tan（—）］/[1-tantan（-)］=(tan-tan)/(1+tantan）

诱导公式

•sin(-a)=—sin(a）

•cos(—a）=cos（a）

•sin（pi/2-a)=cos(a)

•cos(pi/2—a)=sin(a)

•sin(pi/2+a)=cos(a）

•cos（pi/2+a)=—sin(a）

•sin（pi-a)=sin（a）

•cos(pi—a）=—cos（a)

•sin(pi+a)=-sin（a)

•cos（pi+a)=—cos（a）

•tgA=tanA=sinA/cosA

两角和与差的三角函数

•sin腐竹 (a+b）=sin(a)cos（b)+cos（）sin(b)

•cos(a+b)=cos（a）cos（b）-sin(a）sin(b）

•sin(a—b)=sin（a)cos（b）-cos(a）sin（b）

•cos（a—b）=cos（a)cos(b）+sin（a)sin（b)

•tan(a+b）=（tan（a)+tan(b））/（1—tan（a）tan(b）)

•tan(a-b)=（tan（a)-tan（b)）/(1+tan(a）tan(b团结就是力量歌词 )）

三角函数和差化积公式

•sin（a）+sin（b）=2sin（（a+b）/2）cos（（a—b)/2）

•sin（a)−sin（b)=2cos（（a+b）/2)sin((a-香椿芽怎么做好吃 b）/2）

•cos（a)+cos（b）=2cos（（a+b）/2)cos((a—b）/2)

•cos(a）-cos（b）=-2sin（（a+b）/2）sin（(a—b）/2)

积化和差公式

•为什么入团 sin（a)sin(b)=—1/2*［cos(a+b)—cos（a-b)］

•cos（a）cos(b)=1/2*［cos(a+b)+cos(a—b)］

•sin(a）cos（b)=1/2*[sin（a+b)+sin(a-b）］

二倍角公式

•sin（2a)=2sin（a）cos(a)

•cos（2a）=cos^2（a)-sin^2（a）=2cos^2（a)—1=1—2sin^2(a）

半角公式

•sin^2（a/2）=（1-cos(a)礼堂英语 )/2

•cos^2(a/2)=（1+cos（a))/2

•tan(a/2)=（1-cos(a)）/sin(a)=sin（a）/（1+cos(a））

万能公式

•sin（a）=(2tan（a/2）)/（1+tan^2(a/2）)

•cos(a)=(1—tan^2(a/2）)/(1+tan^2(a/2））

•tan（a)=(2tan（a/2))/(1-tan^2（a/2)）

其它公式

•a*sin（a)+b*cos（a)=sqrt（a^2+b^2)sin（a+c）［其中，tan(c)=b/a]

•a＊sin（a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a—c）[其中，tan（c)=a/b］

•1+sin(a）=（sin（a/2)+cos（a/2))^2

•1—sin(a）=（sin（a/2)—cos(a/2))^2

其他非重点三角函数

•csc（a）=1/sin(a)

•c（a)=1/cos(a）

双曲函数

•sinh（a)=(e^a—e^（—a）)/2

•cosh(a)=(e^a+e^(—a）)/2

•tgh(a）=sinh（a)/cosh（a）

常用公式表（一)

1。乘法公式

（1）(a+b）=a2+2ab+b2(2)(a—b)=a-2ab+b（3）（a+b）(a—b）=a—b

(4)a+b=(a+b)（a—ab+b）(5）a-b=（a—b)（a+ab+b）

2、指数公式:

(1)a0=1(a≠0）（2）aP=Pa

1

（a≠0）（3）am

n

=m

na

（4)aman=anm（5）aman=n

m

a

a

=anm(6）（am）n=a

（7）（ab)n=a加减法公式 nbn(8）（

b

a

）n=n

n

b

a

（9）（

a

）2=a

（10）2a

=｜a|

3、指数与对数关系:

(1）若ab=N，则Nb

a

log(2)若10b=N，则b=lgN

(3)若be=N，则b=㏑N

4、对数公式:

（1)bab

a

log，㏑eb=b（2）NaaNlog,eNln=N

（3)

a

N

N

aln

ln

log（4）abbealn（5）

NMMNlnlnln

（6）NM

N

M

lnlnln(7）MnMnlnln（8)㏑=小学语文教学方法 M

n

ln

1

5、三角恒等式：

(1)（Sin）+（Cos）=1（2)1+（tan）=（c)

（3）1+(cot)=(csc）（4）





tan

cos

sin

（5）





cot

sin

cos



（6）





tan

1

cot（7）





cos

1

csc(8)





cos

1

c

6、特殊角三角函数值：

0

6



4



3



2





2

3

2

sina0

2

1

2

2

2

310—-10

cosa1

2

3

2

2

2

1

0-—101

tana0

3

3

13∞0——

∞

0

cota∞31

3

3

0——

∞

0∞

7.倍角公式：

（1)(2）







2tan1

tan2

2tan





（3）2222sin211cos2sincos2cos

8.半角公式（降幂公式)：

（1）（

2

sin



）2=

2

cos1a

（2)（

2

cos



）2=

2

cos1a

（3)

2

tan



=

a

a

sin

cos1

=

a

a

cos1

sin



9、三角函数与反三角函数关系:

（1）若x=siny，则y=arcsinx（2）若x=cosy,则y=arccosx

（3)若x=tany，则y=arctanx（4）若x=coty，则y=arccotx

10、函数定义域求法:

（1)分式中的分母不能为0，（

a

1

≠0）

(2）负数不能开偶次方，(

a

≥0）

（3)对数中的真数必须大于0，（N

a

logN>0）

（4）反三角函数中arcsinx，arccosx的x满足：（-—1≤x≤1）

(5）上面数种情况同时在某函数出现时，此时应取其交集。

11、直线形式及直线位置关系:

(1）直线形式:点斜式：

00

xxkyy

斜截式：y=kx+b

两点式：12

1

12

1

xx

xx

yy

yy











（2）直线关系：

111

:bxkyl

222

:bxkyl

平行：若

21

//ll，则

21

kk

垂直：若

21

ll，则1

21

kk

常用公式表(二）

1、求导法则:（1）(u+v）/=u/+v/（2)(u-v）/=u/—v/

（3）（cu）/=cu/（4）(uv）/=uv/+u/v(5）

2v

vuvu

v

u























2、基本求导公式：

(1）(c)/=0（2）（xa）/=ax1a(3)（ax）/=axlna

（4）（ex）/=ex（5）(㏒ax）/=

axln

1

（6）(lnx）/=

x

1

（7）(sinx）/=cosx（8）（co中国假日 sx）/=-sinx

（9）（tanx)/=

2)(cos

1

x

=(cx)2

(10）（cotx）/=—

2)(sin

1

x

=—（cscx）2

(11)(cx）/=cx＊tanx（12）（cscx)/=—cscx*cotx

（13)（arcsinx)/=

21

1

x

(14)（arccosx）/=—

21

1

x

（15)(arctanx）/=21

1

x

(16）

21

1

cot

x

xarc







3、微分

(1）函数的微分：dy=y/dx

（2）近似计算:｜x｜很小时，fxx

0

=f（x0）+f/（x0）*

4、基本积分公式

（1）



kdx=kx+c（2)Cx

a

dxxaa



1

1

1

（3）

cxdx

x

ln

1

（4）C

a

a

dxa

x

x

ln

（5)

cedxexx

（6）Cxxdxcossin

（7)Cxxdxsincos（8）Cxdx

x

xdxtan

cos

1

c

2

2

（9）

(10)





cxdx

x

arcsin

1

1

2

（11）

cxdx

x





arctan

1

1

2

5、定积分公式:

（1）

b

a

b

a

dttfdxxf)()(

（2)

a

a

dxxf0)(

（3)dxxfdxxf

a

b

b

a（4）

b

a

c

a

b

c

dxxfdxxfdxxf)()()(

（5）若f（x）是［—a,a]的连续奇函数，则



a

a

dxxf0)(

（6)若f（x)是[-a,a]的连续偶函数，则:





a

a

a

dxxfdxxf

0

)(2)(

6、积分定理:

(1）xfdttf

x

a





















xaxafxbxbfdttfxb

xa





















2

（3)若F(x）是f（x)的一个原函数，则

)()()()(aFbFxFdxxfb

a

b

a



7.积分表

Cxxxdxtanclnc1Cxxxdxcotcsclncsc2

C

a

x

a

dx

xa





arctan

11

3

22

C

a

x

dx

xa





arcsin

1

4

22

C

ax

ax

a

dx

ax











ln

2

11

5

22

8．积分方法

baxxf1;设：tbax

222xaxf

；设：

taxsin

22axxf

；设：

taxc

22xaxf

;设：

taxtan

3分部积分法：vduuvudv