平稳信号

傅里叶变换分析信号的缺点

基于傅里叶(Fourier)变换的信号频域表示,揭示了时间函数和

频谱函数之间的内在联系,在传统的平稳信号分析和处理中发挥了极

其重要的作用,很多理论研究和应用研究都把傅里叶变换当作最基本

的经典工具来使用.但是傅里叶变换存在着严重的缺点:用傅里叶变换

的方法提取信号频谱时,需要利用信号的全部时域信息,这是一种整体

变换,缺少时域定位功能,因此必须对其加以改进.

傅里叶变换的特点及其局限性

设函数f(t)在(-∞,+∞)内有定义,且使广义积分

F=−

+∞

−∞

(1)

ft=

1

2

+∞

−∞

(2)

都收敛,则称(1)式定义的广义积分为函数f(t)的傅里叶变换,记为

F{f(t)},(2)式定义的广义积分为逆傅里叶变换,记为F−1{F()}。傅里叶变

换可以完成从时域到频域的转换(正变换),也可以完成从频域到时域

的转换(逆变换),但不能同时具有时域和频域信息。其核函数是

,

由于三角函数具有填满整个空间的特性,其在物理空间中是双向无限

延伸的正弦波,在积分变换中体现为积分范围从+∞到-∞。因此,傅里叶

变换是先天的非局限性,它对信号f(t)中体现任何局部信息处理都是相

同的。而事实上,工程技术中的许多画火箭 信号,如:语音信号、地震信号、心

电图和各种电脉冲,他们的信号值只出现在一个短暂的时间间隔∆t内,

以后快速减为零,∆t以外是未知的,可能为零,也可能是背景噪音,如果

用(1)式从信号中提取谱信号F(),就要取无限的时间量,使用过去的及

将来的信号只为计算单个频谱,不能反映出随时间变化的频率,实际上

我们需要的是确定的某个时间间隔内的频谱。这就使人们想到改进傅

里叶变换使其能用来处理某个确定时间范围内的信号。Gabor提出的

窗口傅里叶变换就是一个有效的方法。

另外,傅里叶变换之所得到广泛应用与透镜能实现傅里叶变换是分不

开的。由公式

U

,

=

−

1−

0

2

+

2

0

(

0

,

0

)

−

2

(

0

+

0

)

0

0

其中物平面为(x

0

,y

0

),焦平面为(x

,y

),d0为物距,d1为象平面。要使

U

,

=F{t

0

(x

0

,y

0

)},即准确实现傅里叶光学变换,只有在,d

1

=,d

0

=f

时才能实现,否则将出现位相弯曲。并且,只有正透镜才能实现傅里叶

变换,这些限制给工程技术中无疑增加了困难。这使得人们不得不寻

求新得的方法,分数傅立叶变换不要求严频谱面,可根据需要在既包含

空域信息也包括空频域信息的平面上进行处理,这使光学信息处理更

具灵活性。

1傅里叶变换缺乏时间和频率的定位功能

傅里叶变换及其逆变换表示如下

S=fst=−

+∞

−∞

St=

1

2

−+∞

−∞

由以上两式可知,傅里叶变换是一种整体变换,对信号的表征要么完全

在时域内,要么完全在频域内,和t是互相排斥的两个变量.用傅里叶

变换的方法得到某一个频率0的频谱分量S(0),必须从-∞~+∞的整

个时间轴上进行积分.如果要从频谱得到信号在某一时刻t0的值s(t0),

则需要对S(X)在整个频率轴上进行积分.因此,傅里叶变换得到的是信

号s(t)在整个时间范围内的频率特性,它不能告诉人们在某段时间里

信号发生了什么变化,也无法获得某一频率出现的狗晚上能看见吗 时刻信息,因此,它

不具有时间和频率的定位功能.

2傅里叶变换对于非平稳信号的局限性

信号的瞬时频率,表示了信号的谱峰在时间-频率平面上的位置及其随

时间的变化情况,一般平稳信号的瞬时频率为常数,而非平稳信号的瞬

时频率是时间t的函数.从傅里叶变换变换的表达式可以看出,S(X)是

单变量X的函数,信号的傅里叶变换不随时间的变化而变化,因此,傅里

叶变换仅仅适用于平稳信号.但是,在实际工作中,我们分析和处理的

往往是时变的或非平稳的信号,它们的频率随时间变化而变化,其相关

函数、功率谱等也是时变信号,用傅里叶变换进行分析,得到的信号频

谱反映的是整体信号中包含的某一频率分量的平均值.所以傅里叶变

换不能反映信号瞬时频率随时间的变化情况,仅仅适用于分析平稳信

号.对频率随时间变化的非平稳信号,傅里叶变换只能给出其总体效果,

不能完整地把握信号在某一时刻的本质特征.

3傅里叶变换在时间和频率分辨率上的局限性

分辨率是信号处理的基本概念之一,包括频率分辨率和时间

分辨率.在时域分析中,信号处理的目标是尽可能地同时获得高的时间

分辨率和频率分辨率.然而,可以证明时域窗和频域窗乘积恒定且大于

等于1/2,也即不可能同时获得高的时频分辨率,这就是著名的不确定

性原理.傅里叶变换在这方面的表现尤其不尽如人意.傅里叶变换可以

改写成内积的形式,即

S=−dt

+∞

−∞

=<,e>

由于傅里叶变换等效于s(t)和基函数e

做内积,而e

对不同的构

成一族正交基,因此S()精确地反映了s(t)在该频率点的分量大小.基

函数e

在频域是位于处的函数,因此,当用傅里叶变换来分析信号

的频域特性时,具有最好的频率分辨率.但是,e

在时域对应的是正弦

函数,其在时域的持续时间是-∞~+∞因此,其时域分辨率最差.对于傅

里叶逆变换,分辨率的情况正好相反.这一结果既体现了信号的时频不

确定性原理,也反映了傅里叶变换在时域和频域分辨率方面所固有的

矛盾.显然,傅里叶变换本身不可能根据信号的特性来自动调节时域和

频域的分辨率.

时频分析

时频分析（JTFA）即时频联合域分析（JointTime-FrequencyAnalysis）

的简称，作为分析时变非平稳信号的有力工具，成为现代信号处理研

究的一个热点，它作为一种新兴的信号处理方法，近年来受到越来越

多的重视。时频分析方法提供了时间域与频率域的联合分布信息，清

楚地描述了信号频率随时间变化的关系。

时频分析的基本思想是：设计时间和频率的联合函数，用它同时描述

信号在不同时间和频率的能量密度或强度。时间和频率的这种联合函

数简称为时频分布。利用时频分布来分析信号，能给出各个时刻的瞬

时频率及其幅值，并且能够进行时频滤波和时变信号研究。信号时频

分析具有重要的意义。我们很有必要对信号的时频进行研究分析。

常用的时频分析方法

时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量，信号的时域和

频域之间具有紧密的联系。根据时间早餐麦片 和频率之间的关系，信号的时频

分析的主要方法有：窗口傅立叶变换（Gabor变换）；小波变换；希

尔伯特黄变（Hilbert-HuangTransform，HHT）。

窗口傅里叶变换

窗口傅里叶变换亦称短时傅里叶变换，它是由Gabor首先系统地使用

的。其基本想法为：傅里叶变换是频域分析的基本工具，为了达到时

间域上局部化，在傅里叶分析中的基本变换函数之前乘上一个时间上

有限的时限函数，即窗口函数)(tg，然后再用它们来作傅里叶分析，

这样tje−起频限作用，)(tg起到时限作用，合起来，就可起到时频

双限制作用。其七月份是什么星座 中)(tg是有紧支集（即窗口外数据为零）的函数。)(tx

为被分析的信号。随着的位置变动，)(tg所确定的“时间窗”在t

轴上移动，使)(tx逐步进入被分析的状态。窗口函数)(tg，一般为实的

偶函数，窗口外数据为零（紧支集）或很快趋于零。这时傅里叶变换

结果不再为)(X，而是)(*)(GX，这里),(xG大致反映了)(tx在时刻

时频率为的“信号成分”的相对含量。时频局部化就是希望找一

种信号的表示方法，它能同时提供时域和频域的局部化信息。而这种

变换确实能反映函数在窗口内部（附近）的频谱特征。窗口傅里叶

变换可使信号达到局部平稳,更好地研究局部范围的特性。窗口函

数)(tg的傅里叶变换，它在有限区间之外数据恒等于零。用)(−tg乘)(tx，

即在附近开窗口，为窗口傅里叶变换。

Gabor只做了高斯窗的傅里叶变换，它是窗口傅里变换的一种。尽管

窗口傅里叶变换是一种时频分析，是信号处理的重要工具，并得到广

泛的应用，但是窗口傅里叶变换的一个主要缺点是时域和频域的采样

间隔都是常数，即这种窗口大小和形态与频率无关，是固定不变的，

不能使变换窗口大小随频率而变化。但在处理实际问题，我们希望时

域的采样间隔随着频率的增高而减小，同时窗口傅里叶变换不管如何

离散化均不能使它成为一组正交基。为此，等人对窗口傅里

叶变换进行了改造，引入了小波变换。

连续小波变换

小波变换时今年来在图像处理中受到十分重视的新技术，面向图像压

缩、特征测以及纹理分析等许多方法在时频分析中有重要的应用。线

性系统理论中的傅立叶变换是以在两个方向上都分别的近义词 无限伸展的正弦曲

线波作为正交基函数的。对于瞬态信号或高度局部化的信号（例如边

缘），由于这些成分并不类似于任何一个傅立叶基函数，它们的变换

系数（频谱）不是紧凑的，频谱上呈现出一幅相当混乱的构成。这种

情况下，傅立叶变换是通过复杂的安排，以抵消一些正弦波的方式构

造出在大部分区间都为零的函数而实现的。为了克服上述缺陷，使用

有限宽度基函数的变换方法逐步发展起来了。这些基函数不仅在频率

上而且在位置上是变化的，它们是有限宽度的波并被称为小波

（wavelet）。基于它们的变换就是小波变换。所有小波是通过对基本

小波进行尺度伸缩和位补充条款 移得到的。基本小波是一具有特殊性质的实值

函数，它是震荡衰减的，而且通常衰减得很快，在数学上满足积分为

零的条件：

tdt=0

+∞

−∞

而且其频谱满足条件：

=

|()|2

+∞

−∞

<∞

即基本小波在频域也具有好的衰减性质。有些基本小波实际上在某个

区间外是零，这是一类衰减最快的小波。一组小波基函数是通过尺度

因子和位移因子由本小波来产生。

连续小波变换定义为：

,

=1

(−

)

小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。

现在，它已经在科技资讯产业领域取得了令人瞩目的成就。电子资讯

技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是影像和信号

处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号

处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或

存储、精确地重构（或恢复）。从数学的角度来看，信号与影像处理

可以统一看作是信号处理（影像可以看作是二维信号），在小波分析

地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对于

其性质随实践是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。

但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定

信号的工具就是小波分析。

希尔伯特黄变换

希尔伯特特换变换的方法主要由2个部分组成：:经验模态分解

（empiricalmodedecomposition，简称EMD）和Hilbert谱分析。经验吃猪油好吗

模态分解方法是一种自适应的、高效的数据分解方法。由于这种分解

是以局部时间尺度为基础，因此，它适应于非线性、非平稳过程。通

过经验模型分解，任何复杂的数据集都可以被分解为个数有限的、而

且常常是为数不多的几个固有模函数(intrinsicmodefunctions，简称

IMF)的线性叠加。一个固有模态函数是满足以下两个条件的函数[1]：

（1）在整个数据区间内，极值点的数目与过零点的数目相等或至家庭教育经验 多

相差1个；（2）在任意一点处，由局部极大值点定义的包络以及由局

部极小值点定义的包络的均值为零。

EMD方法通过不断的剔出极大值和极小值连接上下包络的均值

将原信号分解为

xt=

+

()

=1

(1)

其中

为一个IMF分量，

()为残余分量，一般为信号的

平均趋势，为常数序列或单调序列。从基函数理论的角度来看，EMD

对不同信号分解出的基函数

是不同的，它不同傅里叶分解的基

(一系列恒定幅度与频率的正余弦函数)，也不同于小波分解的基函数

(预先给定基函数的形式)。因此，EMD分解不仅改进了信号分解的效

率，而且使这种分解方法更有利于非平稳数据处理。通过分解得到

IMF后，就可以对每一个分量做希尔伯特变换，得到其瞬时频率和幅

度。设IMF分量为，则它的复解析信号为

Hct=ct+jt=ate()

其中a(t)为幅值函数，表达式为

(t)为相位函数，表达式为

t=tan−1(()/())

其中幅值函数表示信号每个采样点的瞬时幅度能量；相位函数表

示信号每个采样点的瞬时相位，对其求导就得到瞬时频率。对每个

IMF分量做Hilbert变换并忽略分解余项，数据可以表示为:

Xt=()exp⁡()

=1

根据式（1）可以将幅度和瞬时相位作为时间的函数表示在三维

平面中，幅度的这种时一频分布被称为希尔伯特幅度谱，简称为希尔

伯特谱。习惯上用幅度的平方来表示能量密度，这里如果用幅度平方

代替希尔伯特幅度谱中的幅度，将得到希尔伯特能量谱。对于希尔伯

特能量谱，如果EMD分解得到的IMF分量彼此完全正交，那么信号

的平方:

式中的第二项为0，这对于时频能量表示是十分有利的。虽然对

于某些特殊的数据，相邻的分量在不同的时间段内可能含有相同的频

率成分，但从局部意义上说，任何两个分量都是正交的。泄漏的大小

通常与数据长度以及分解结果有着直接的关系，对于有限的数据长度，

即使用频率不同的纯正弦波形分解也会有严重泄漏。黄已经例证了的

泄漏一般小于1%，对于极短的数据为5%，与正弦型傅立叶分解在同

一数量级上。在二次型时频表示中，WVD的时频分辨率乘积达到了

Heinberg不确定性原理的下界，具有很好的时频聚焦性。但是当对

多分量信号进行分析时，Wigner-Ville分布会产生交叉项问题，而且

从数学角度去克服交叉项已经被论证为行不通的。