树状图

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个性化教学辅导教案

姓名

年级：初一教学课题列表法和树状法求概率

阶段

基础（）提高（）强化（）课时计划

第（）次课

共（）次课

教学

目标

知识点：

方法：

重点

难点

重点：

难点：

教

学

内

容

与

教

学

过

程

课前

检查

作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________

概率问题是中考中的热点问题，与概率有关的题目形式多样,但其中最主要的是考查

利用列表法或树状图法求随即事件的概率.而利用列表法或树状图法求随即事件的概

率,关键要注意以下三点：

（1）注意各种情况出现的可能性务必相同；

（2）其中某一事件发生的概率=

各种情况出现的次数

某一事件发生的次数

；

（3）在考察各种情况出现的次慕兰诗 数和某一事件发生的次数时不能重复也不能遗

漏．(4)用列表法或树状图法求得概率是理论概率，而实验估计值是频率，它通常受到

实验次数的影响而产生波动，因此两者不一定一致，实验次数较多时，频率稳定于概率，

但并不完全等于概率．

例1田忌赛马是一个为人熟知的故事，传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三

匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强．有一天，齐王要与田忌赛一次，赢得两

局者为胜，看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等

马分别比齐王的中、下等马要强.

(1).如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能

取胜？

(2).如果齐王将马按上中下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的

概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）

分析：正确理解题意，将齐王和田忌的马正确排列，而后恰当列表．

解：（1）由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的马按上、

中、下顺序出阵时，田忌的马按下、上、中的顺序出阵，田忌才能取胜．

(2).当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下表：

齐王的马上中下上中下上中下上中下上中下上中下

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田忌的马上中下上下中中上下中下上下上中下中上

双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率P=

6

1

．

例2“石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游戏时甲、乙双方每次出“石头”、

“剪刀”、“布”三种手势中出纳工作总结 一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”

胜“石头”，同样手势不分胜负，假定甲、乙两人每次都是等可能地出这三种手势，用

画树状图或列表的方法分别求出一次游戏中两人同种手势的概率和甲获胜的概率．（提

示：为书写方便，解答时可以用S表示“石头”，用J表示“剪刀”，用B表示“布”）

解析：解法一：一次游戏、甲、乙两人随机出手势的所有可能的结果如下图：

所有可能出的结果：（S，S）（S，J）（S，B）（J，S）（J，J）（J，B）（B，S）

（B，J）（B，B）

从上面的树状图可以看出，一次游戏可能出现的结果共有9种，而且每种结果出现

的可能性相同．

所以，P（出同种手势）=

9

3

=

3

1

P（甲获胜）=

9

3

=

3

1

解法二：一次游戏，甲、乙两人随机出手势的所有可能的结果如下表：

SJB

S（S，S）（S，J）（S，B）

J（J，S）（J，J）（J，B）

B（B，S）（B，J）（B，B）

以下同解法一

评注：（1）利用列表法、树状图法求概率必须是等可能事件.

（2）对各种可能出现的情况不能遗漏或重复某种可能.

例3.有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，都被分成了3等份，并在每份内均标

有数字，如图所示，规则如下：

①分别转动转盘A、B；

②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停止在等分线上，那

乙出的手势

甲出的手势

1

2

3

4

5

6

A

B

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么重转一次，直到指针指向某一份为止）．

(1).用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数和数字之积为5的倍数的

概率；

(2).小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮

得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分，这个游戏对双方公平吗？请说明理由；

认为不公平的，试修改得分规定，使游戏对双方公平．

解析：（1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下：

456

1456

281012

3121518

表格中共有9种等可能的结果，其中数字之积为3的倍数的有五种，数字之积为5

的倍数的有三种，所以P（3的倍数）=

9

5

；P（5的倍数）

9

3

．

（2）这个游戏对双方不公平

∵小亮平均每次得分为2

9

5

=

9

10

（分），

小芸平均每次得分为3

9

3

=

9

9

=1（分）．

∵

9

10

≠1，∴游戏对双方不公平．

修改得婚礼效果图 分规定为：若数字之积为3的倍数时，小亮得3分；若数字之积为5的倍数

时，小芸得5分即可．

考题在线

1.（2006宿迁课改）在电视台举行的“超级女生”比赛中，甲、乙、丙三位评委对选

手的综合表现，分别给出“待定”或“通过”的结论．

（1）写出三位评委给出

A

选手的所有可能的结论；

（2）对于选手

A

，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？

转盘B的数字

转盘A的数字

积

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答案：解：（1）画出树状图来说明评委给出

A

选手的所有可能结果：

（2）由上可知评委给出

A

选手所有可能的结果有

8

种．

对于

A

选手，“只有甲、乙两位评委给出相同结论”有

2

种，即“通过

—

通过

—

待

定”、“待定

—

待定

—

通过”，所以对于

A

选手“只有甲、乙两位评委给出相同结

论”的概率是

1

4

．

2。（2006无锡课改）甲、乙两人都想去买一本某种辞典，到书店后，发现书架上只

有一本该辞典，于是两人都想把书让给对方先买，为此两人发生了“争执”．最后两人

商量，用掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子来认干妈有什么讲究 决定谁先买．若甲赢，

则乙买；若乙赢，则甲买．具体规则是：“每人各掷一次，若甲掷得的数字比乙大，则

甲赢；若甲掷得的数字不1英语 比乙大，则乙赢”．

请你用“画树状图”的方法帮他们分析一下，这个规则对甲、乙双方是否公平？

答案：解：树状图如下：



3

8

P甲赢

；



5

8

P乙赢

．

PPQ甲赢乙赢

，



这个规则对甲、乙双方不公平．

3.（2006沈阳课改）一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字

3，4，5．从袋子中随机取出一个小球，用小球上的数字作为十位上的数字，然后放回，

再取出一个小球，用关羽单刀赴会 小球上的数字作为个位上的数字，这样组成一个两位数．试问：按

这种方法能组成哪些两位数？十位上的数字与个位上的数字之和为9的两位数的概率

是多少？用列表法或画树状图法加以说明．

答案：解：方法一

345

3（3，3）（3，4）（3，5）

4（4，3）（4，4）（4，5）

5（5，3）（5，4）（5，5）

方法二

甲乙丙

通过

通过

待定

通过

待定

通过

待定

待定

通过

待定

通过

待定

通过

待定

甲

乙

1

1234

2

1234

3

1234

4

1234

第二次

第一次

开始

345

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因此，能组成的两位数有：33，34，35，43，44，45，53，54，55．



组成的两位数有9个．

其中，十位上数字与个位上数字之和为9的两位数有两个，

P

（十位上数字与个位上数字之和为9的两位数）

2

9



．

3.2006漳州课改）小敏有红色、白色、黄色三件上衣，又有米色、白色的两条裤子．如

果她最喜欢的搭配是白色上衣配米色裤子，那么黑暗中，她随机拿出一件上衣和一条裤

子，正是她最喜欢搭配的颜色．请你用列表或画树状图，求出这样的巧合发生的概率是

多少？

解：

答案：

上

衣

裤子

红色白色黄色

米色

（米，

红）

（米，

白）

（米，

黄）

白色

（白，

红）

（白，

白）

（白，

黄）

由上表（或图）可知，所有等可能结果共6种，其中正好是白色上衣配米色裤子的

只有1种，所以所求概率是

1

6

4.（2006泉州课改）在两个布袋中分别装有三个小球，这三个小球的颜色分别

为红色、白色、绿色，其他没有区别．把两袋小球都搅匀后，再分别从两袋中各取出一

个小球，试求取出两个相同颜色小球的概率（要求用树状图或列表方法求解）．

答案：解：（解法一）

列举所有等可能结果，画树状图：

由上图可知，所有等可能结果共有9种，两个相同颜色小球的结果共3种，

P∴

（相同颜色）

31

93



（解法二）列表如下：

红

白

黄

米（红，米）

白（红，白）

米（白，米）

白（白，白）

米（黄，米）

白（黄，白）

或

红白绿

红白

绿

红白

绿

红白

绿

布袋1

布袋2

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红白绿

红（红，红）（红，白）（红，绿）

白（白，红）（白，白）（白，绿）

绿（绿，红）（绿，白）（绿，绿）

由上表可知，所有等可能的结果共有9种，两个相同颜色小球的结果共3种，

P∴

（相同颜色）

31

93



5.（2006钦州课改）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘

AB，

，转盘

A

被均匀

地分成4等份，每份分别标上1，2，3，4四个数字；转盘

B

被均匀地分成6等份，每

份分别标上1，2，3，4，5，6六个室内楼梯设计 数字．

（1）填空：转动转盘

A

，转盘停止后，指针指向数字为偶数的概率为；

（2）同时转动

AB，

两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字，将所指的两个

数字作和，用列表法列举所有可能得到的数字之和；

（3）分别求（2）中事件“数字之和为奇数”发生的概率与事件“数字之和为偶数”

发生的概率．

答案：解：（1）

1

2

；

（2）所有可能得到的数字之和如下表：

123456

1234567

2345678

3456789

45678910

（3）由上表可知，两数之和的情况共有24种，

所以，

P

（数字之和为奇数）

121

242



，

布

袋

1

颜

色

结

果

布

袋

2

A

1

3

B

1

3

5

42

4

2

6

A

B

和

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P

（数字之和为偶数）

121

242



．

家庭作业

1．（2012•恩施州）某市今年的理化生实验操作考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内容．规

定：每位考生从三个物理实验题（题签分别用代码W

1

，W

2

，W

3

表示）、三个化学物实验题（题签

分别用代码H

1

、H

2

、H

3

表示），二个生物实验题（题签分别用代码S

1

，S

2

表示）中分别抽取一个进

行考试．小亮在看不到题签的情况下，从他们中随机地各抽取一个题签．

（1）请你用画树状图的方法，写出他恰好抽到H

2

的情况；

（2）求小亮抽到的题签代码的下标（例如“W

2

”的下标为“2”）之和为7的概率是多少？

2.（2012，湖北黄石）（本小题满分8分）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字

1

2

，

1

4

，1的卡

片，乙同学手中藏有三张分别标有数字1，3，2的卡片，卡片外形相同.现从甲乙两人手中各

任取一张卡片，并将它们的数字分别记为

a

，b。请你用树形图或列表法列出所有可能的结果.

3.（2012，湖南张家界）（本小题8分）第七届中博会于2012年5月18日至20日在湖南召开，设

立了长沙、株洲、湘潭和张家界4个会展区，聪聪一家用两天时间参观两个会展区：第一天从4

个会展区中随机选择一个，第二天从余下3个会展区中再随机选择一个，如果每个会展区被选中

的机会均等.

(1)请用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果；

（2）求聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的概率；

（3）求张家界会展区被选中的概率.

学

科组

长签

字：

学习

管理

师:

作业________________________________;巩固复习_______________________________;

预习布置_____除夕是不是过年 _______________________

签字

老师最欣赏的地方：

老师

课后

赏识

评价

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