求导方法

导数的计算

教学目的：熟练掌握初等函数导数的计算方法

重点：导数的计算公式和运算法则

难点：复合函数和隐函数的导数

②幂指函数要用对数求导法求导．在一般情况下，直接利用定义求导数是极

为复杂的．为能方便地求得一般函数的导数，需要建立求导的基本法则和公式，

借助它们能较容易地解决初等函数的导数计算问题．

1．导数的四则运算

定理1若函数

)(xuu

，

)(xvv

都在点x处可导，则有

(ⅰ)

)()())()((xvxuxvxu













；

(ⅱ)

)()()()(])()([xvxuxvxuxvxu











；

(ⅲ)

)(

)()()()(

)(

)(

2xv

xvxuxvxu

xv

xu



























，

0)(xv

．

特别，当

()uxc

(c为常数)时，有

(ⅳ)

[()]()cvxcvx





；

(合同范文 ⅴ)

)(

)(

)(2xv

xvc

xv

c

























．

证明(ⅰ)设

)()()(xvxuxf

，则由导数定义可得

x

xfxxf

xf

x









)()(

lim)(

0x

xvxuxxvxxu

x







)()()()(

lim

0

)

)()()()(

(lim

0x

xvxxv

x

xuxxu

x













x

xvxxv

x

xuxxu

xx













)()(

lim

)()(

lim

00

)()(xvxu







．

即)()())()((xvxuxvxu











．同理可推得

)()())()((xvxuxvxu













．

也就是说，两个可导函数之和(差)的导数等于这两个函数的导数之和(差)．

(ⅱ)设

)()()(xvxuxf

，因为

)(xv



存在，从而

)(xv

在点x处连续，有

)()(lim

0

xvxxv

x





．

则由导数定义可得

0

()()

()lim

x

fxxfx

fx

x









x

xvxuxxvxxu

x







)()()()(

lim

0

x

xvxuxxvxuxxvxuxxvxxu

x







)()()()()()()()(

lim

0

]

)()(

)([lim)](

)()(

[lim

00x

xvxxv

xuxxv

x

xuxxu

xx













x

v

xuxxv

x

u

xxx











000

lim)()(limlim

)()()()(xvxuxvxu









．

也就是说，两个可导函数乘积的导数等于一个因子的导数乘以另一个因子，

再加上这个因子乘以另一个因子的导数．

注意两个可导函数乘积的导数不等于这两个函数导数的乘积，即

vuuv







)(

．

(ⅲ)设)(xf

)(

)(

xv

xu

，与(ⅱ)类似利用)(xv的连续性，由导数定义得

x

xv

xu

xxv

xxu

xf

x













)(

)(

)(

)(

lim)(

0xxvxxv

xxvxuxvxxu

x





)()(

)()()()(

lim

0

)()(

)()()()()()()()(

lim

0xvxxv

x

xvxuxxvxu

x

xvxuxvxxu

x















)(lim)(

)()(

lim)(

)()(

lim)(

0

00

xxvxv

x

xvxxv

xu

x

xuxxu

xv

x

xx



















)(

)()()()(

2xv

xvxuxvxu







．

也就是说，两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母的乘积减去分子

乘以分母的导数，再除以分母的平方．

推论利用数学归纳法可将以上法则推广到有限个可导函数的和(差、积)

的情形：

(ⅵ)

nn

uuuuuu

















2121

)(．

(ⅶ)

nnnn

uuuuuuuuuuuu

















21212121

)(．

例1设

42

2

34sin2

,.

xxx

yy

x





求

解

223()4(sin)2()yxxx





例2求函数)23)(21(23xxxy的导数．

解)23)(21()23()21(2323









xxxxxxy

])2()3)[(21()23]()2()1[(2323













xxxxxx

)2233)(21()23(2223xxxxx

xxx432423．

例3求函数

xxxylnsin

的导数．

解

)lnsin(







xxxy

)(lnsinln)(sinlnsin











xxxxxxxxx

x

xxxxxxx

1

sinlncoslnsin

xxxxxsinln)cos(sin

．

例4求函数xytan的导数．

解

2)(cos

)(cossincos)(sin

cos

sin

)(tan

x

xxxx

x

x

xy































x

xx

xx

2

22

22

c

cos

1

cos

sincos







．

同理可得

xx2csc)(cot



．

例5求函数xyc的导数．

解























x

xy

cos

1

)(c

xx

x

x

x

x

tanc

cos

sin

cos

)(cos

22









．

同理可得

xxxcotcsc)(csc



．

例6求函数

xxx

xxx

y

sincos

cossin







的导数．

解























xxx

xxx

y

sincos

cossin

2)sin(cos

)sin)(coscos(sin)sin(cos)cos(sin

xxx

xxxxxxxxxxxx













2)sin(cos

cos)cos(sin)sin(cossin

xxx

xxxxxxxxxx







2

2

)sin(cosxxx

x



．

2．复合函数的导数

现在我们来讨论复合函数的求导问题．

定理2设函数

)(ufy

及

)(xu

可以复合成函数

))((xfy

，若

)(xu

在点x可导，且

)(ufy

在相应的点

)(xu

可导，则复合函数

))((xfy

在点x处可导，且

)()(xuf

dx

dy





，(1)

或

dx

du

du

dy

dx

dy



，

(2)

或

xux

uyy











．(3)

证设自变量x有改变量

x

时，u取得改变量

u

，进而y取得相应的改变

量

y

．由于

)(ufy

在点u处可导，则

u

y

du

dy

u





0

l浮雕作品 im

，根据极限与无穷小的关

系，有





du

dy

u

y

，其中



为无穷小(当0u时)．又

)(xu

在点x处可导，

从而

)(xu

在所有英语单词 点x处必连续，所以当

0x

时

0u

，故

00

limlim0

xu







．从而

uu

du

dy

y，

于是

x

u

x

u

du

dy

x

y

















，

则































x

u

x

u

du

dy

x

y

dx

dy

xx



00

limlim



0

lim





udx

du

dx

du

du

dy

)()(xuf

dx

du

du

dy









．

也就是说，复合函数的求导法则为：两个可导函数复合而成的复合函数的导

数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．

此法则可推广到有限次复合的情形．例如，若有可导函数

)(),(vuufy

,

)(xv

，则复合函数xfy对x的导数是

dx

dv

dv

du

du

dy

dx

dy



．(4)

公式(2)、(4)称为复合函数求导的链式法则．

在利用复合函数的求导法则解决求导问题时，应该注意以下几点：

(1)准确地把一个函数分解成几个比较简单的函数；

(2)复合函数求导后，必须把引进的中间变量换成原来的自变量．

利用复合函数的求导法则求导的步骤如下：

(1)从外到里分层次，即把复合函数分成几个简单的函数；

(2)从左到右求导数，即把每一个简单函数对自身的自变量的导数求出来；

(3)利用链式求导法则，从左到右作连乘．

例7tan12,.yxy



求

解函数tan12yx可分解为tan,则

'

2'tanc,(12)2.

x

u

dydu

uux

dudx



由复合函数求导法则有

22c(2)2c(着装礼仪 12).

dy宏碁显示器 dydu

ux

dxdudx



以上求解过程可以简记为：

).21(c2)21()21(c22xxxy







例8求函数

10003

2yx

x









的导数．

解将函数分解为1000

3

,

x



则

999

2

3

1000,2.

dydu

u

dudxx



由复合函数求导法则有

999999

22

333

1000(2)1000(2)(2).

dydydu

ux

dxdudxxxx



以上求解过程可以简记为：

999999

2

3333

1000(2)(2)1000(2)(2).yxxx

xxxx





例9求函数

2

21

ln

1

x

y

x







的导数．

解这是一个复合函数，若直接用公式(2)或(4)求导，运算较繁琐．将函

数变形为

2

1

[ln(21)ln(1),

2

yxx

则由复合函数求导法则有

2

11

[ln(21)][ln(1)]

22

yxx





=

)1(

1

1

2

1

)12(

12

1

2

1

2

2















x

x

x

x

2

1

.

211

x

xx





对复合函数的求导法则，运用熟练以后，计算时就不必将中间变量写出来．

例10已知

2

tanln

x

y

，求

dx

dy

．

解

































2

tan

2

tan

1

2

tanln

x

x

x

dx

dy

2

1

2

c

2

cot

22

c

2

cot22

















xxxxx

x

x

csc

sin

1



．

有时往往需要同时运用函数的和差积商的求导法则以及复合函数的求导法

则．

例11求函数xxy3sin12的导数．

解











xxxxy3sin13sin122







xxxxxx33cos13sin11

2

1

222

2

1

33cos13sin21

2

1

22

2

1xxxxx

xx

x

xx

3cos13

1

3sin

2

2







．

例12求函数

21lnxxy的导数．

解快递放假时间 















2

2

21

1

1

1lnxx

xx

xxy























2

2

11

1

1

x

xx























22

2

11

2

1

1

1

1

2

1xx

xx



















xx

xx

21

2

1

1

1

1

2

1

2

2

























221

1

1

1

x

x

xx

21

1

x



．

例13证明：1)(

xx(为任意常数)．北村韩屋村

证由对数性质有xexln，故

)ln()(])[()(lnlnln













xeeexxxx

1

1

x

x

x

．

3．隐函数和反函数求导

函数的表示方式有多种，其中主要是用解析式子)(xfy来表示，但也有一

些函数无法用以上形式表示，例如：

0lnarctan22yx

x

y

；

yxysin

2

1



等，

这样的函数称为隐函数，

)(xfy

相应地称为显函数．

一般地，如果在方程

0),(yxF

中，当x取某区间内的任一值时，相应地总

有满足这方程的唯一的y值存在，那末就说方程

0),(yxF

在该区间内确定了一

个隐函数．

有的隐函数能较容易地化成显函数，而有的隐函数化成显函数时比较困难，

甚至是不可能的．但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此我们希望

有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导

数来．下面通过具体例子来说明这种方法．

例14求由方程yexy所确定的隐函数y的导数

dx

dy

．

解设此方程确定的函数为

()yfx

，即

)()(xxfexf．

两端对x求导，由于函数恒相等，则导数也相等，故有

).()()()(xfxxfxfexf





所以

()

()

().

fx

fx

fx

ex







即

.

y

y

y

ex







为书写方便，上述求导过程只要记住y为x的函数，直接求导，而不需反复

代换．

例15设ln1xyey，求

dx

dy

．

解显然y是x的函数，则

lny

为x的复合函数．方程两端同时对x求导，

得

,0)(ln)('







x

xxyeyey

1

0xxyeyey

y



，

故

2

.

1

x

x

ye

y

ye







可见隐函数的求导法则如下：

(1)等式(或方程)两端同时对x求导数，遇到函数y的时候，把它看作x的函

数，遇到y的函数时，把它看作x的复合函数，其中y为中间变量．

(2)所得关于

dx

dy

的方程中，解出

dx

dy

，即为所求．

例16求椭圆1

916

22



yx

在点

)3

2

3

,2(

处的切线方程．

解由导数的几何意义知，所求切线的斜率为：

2





x

yk．

下面求

y



．在椭圆方程的两边分别对x求导，有

0

9

2

8





yy

x

，

解之得

y

x

y

16

9





．

当

3

2

3

,2yx

时，代入上式得：

4

3

2





x

y．于是所求的切线方程为

)2(

4

3

3

2

3

xy，

即03843yx．

例17设tan,.xyy



求

解两边对x求导，得

.c12yy





故

22

11

.

c1

y

yx







由例17的结果显然有

2

1

(arctan).

1

x

x







(5)

类似可得：

21

1

)(arccot

x

x







.(6)

2

1

(arcsin).

1

x

x







(7)

2

1

(arccos).

1

x

x







(8)

例18设

()xy

是直接函数，

()yfx

是它的反函数，如果

()y

存在且

不等于零，证明:反函数

()yfx

可导，且有

1

.

()

y

y







(9)

公式(9)称为反函数求导公式．

证在方程

()xy

两边对x求导，得

.)(1yy









由于

0)(



y,故公式(9)成立．习惯上将(9)式记为：

1

.

dy

dx

dx

dy



)9(



4．对数求导法

对某些函数，利用先取对数再求导数的方法(称为对数求导法)求导比较简

单．

例19求函数xxy的导数．

解这函数既不是幂函数也不是指数函数，称为幂指函数．不能直接利用幂

函数或指数函数的求导公式．为求其导数，需先改变函数的结构．将xxy两边

取自然对数，得

xxxyxlnlnln，

两边对x求导，得

1ln

1

ln

1





x

x

xxy

yx

，

于是有

)1(ln)1(ln



xxxyyx

x

．

例20求函数

)4(

)4)(3(

)2)(1(







x

xx

xx

y

的导数．

解直接利用复合函数求导法则求这个函数的导数很麻烦，我们用对数求导

法来求．

等式两端同时取自然对数，得

)]4ln()3ln()2ln()1[ln(

2

1

lnxxxxy

，

上式两边对x求导得：

































4

1

3

1

2

1

1

1

2

11

xxxx

y

yx

，

于是































4

1

3

1

2

1

1

1

2xxxx

y

y

x































4

1

3

1

2

1

1

1

)4)(3(

)2)(1(

2

1

xxxxxx

xx

．

注幂指函数)()(xvxuy和经过多次乘(除)的函数，一般用对数求导法比较

简便．

5．由参数方程所确定的函数的求导

一般地，若参数方程











)(

)(

ty

tx





(t为参数)，(10)

确定y与x间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的

函数．

在实际问题中，需要计算由参数方程(10)所确定的函数的导数，但从(10)

中消去t有时会有困难．因此我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确

定的函数的导数．下面就来讨论由参数方程(10)所确定的函数的求导方法．

若

)(),(tytx

都可导，且

0)(



t，

)(tx

具有单调连续的反函数

)(1xt

，则由参数方程所确定的函数可看作是由函数)(ty与)(1xt

复合

而成的函数，根据复合函数及反函数的求导法则，得







t

t

t

t

dt

dx

dt

dy

dx

dt

dt

dy

dx

dy























11

，

即



t

t

dx

dy









，(11)

这就是由参数方程(10)所确定的函数的求导公式．

例21求由参数方程

(sin)

(1cos)

xatt

yat











所确定的函数的导数

dx

dy

．

解





1cos

sin

cot.

1cos2

sin

t

t

at

y

dytt

dxxt

att

















例22求曲线

2

2

21

3

,

1

3

t

at

y

t

at

x







在

2t

处的切线方程和法线方程．

解因为



22

2

2

2

22

2)1(

)1(3

1

613

1

3

t

ta

t

atta

t

at

x

t































，

而由已知可知

txt

t

at

y





21

3

，

则

22222

2

)1(

6

1

3

)1(

)1(3

)(

t

at

t

at

t

t

ta

xtxtxy

ttt























．

所以

221

2

)1(3

6

t

t

ta

at

x

y

dx

dy

t

t













．

再由导数的几何意义得

3

4

1

2

2

2

2







tt

t

t

dx

dy

k

切

，

13

4

k

k



法

切

．

又因为当2t时，

ayax

5

12

,

5

6



；所以在2t处的切线方程为

)

5

6

(

3

4

5

12

axay

即01234ayx；

在2t处的法线方程为

)

5

6

(

4

3

5

12

axay

即0643ayx．

6．基本公式

为了便于记忆和使用，我们将基本求导公式列于下面．

1、

0



c

(c为常数)．2、1)(

xx(



为任意实数)．

3、aaaxxln)(



．4、xxee



)(．

5、

ax

e

x

x

aaln

1

log

1

)(log



．6、

x

x

1

)(ln



．

7、

xxcos)(sin



．8、

xxsin)(cos



．

9、

x

xx

2

2

cos

1

c)(tan



．10、

x

xx

2

2

sin

1

csc)(cot



．

11、

2

1

(arcsin)(11)

1

xx

x







．

12、

2

1

(arccos)(11)

1

xx

x







．

13、

2

1

(arctan)()

1

xx

x



最新励志歌曲 



．

14、

2

1

(cot)()

1

arcxx

x







．

15、

xxxtanc)(c



．16、

xxxcotcsc)(csc



．

为了使读者进一步掌握本节内容，下面再举两个例子．

例23求函数xxyxsin)1(的导数．

解将原函数写成以下形式：xxxy)1(sin，此等式两端取自然对数，

得

)1ln()1ln()sinln(xxxxyx，

上式两端同时对x求导得

x

x

xxy

xyx







1

)1ln()cos(

sin

1

，

解之得

]

1

)1[ln()1(cos

x

x

xxxyx

x





．

例24求函数xexy)(ln的导数．

解等式两端取自然对数得

)ln(lnlnxeyx，

上式两端同时对x取导得

xx

exey

y

xx

x

1

ln

1

)ln(ln

1





，

解之得

)

ln

1

ln(ln)(ln

xx

xxeyx

ex

x





．

小结：

本节主要介绍初等函数的求导方法，读者主要要掌握导数计算公式和运算法

则，其次注意：

①一般在求导运算开始前应检查是否可以先化简或变形，许多函数在变形后

容易求导；