指数函数单调性

指数函数

1．指数函数的定义：

函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R

2.指数函数的图象和性质：

在同一坐标系中分别作出函数y=，y=，y=，y=的图象.

我们观察y=，y=，y=，y=图象特征，就可以得到的图象和性质。

a>10

图

象

性

质

(1)定义域：R

（2）值域：（0，+∞）

（3）过点（0，1），即x=0时，y=1

（4）在R上是增函

数

（4）在R上是减函

数

指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象

与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查

的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．

1．比较大小

例1 已知函数满足，且，则与的大小关系是_____．

分析：先求的值再比较大小，要注意的取值是否在同一单调区间

内．

解：∵，

∴函数的对称轴是．

故，又，∴．

∴函数在上递减，在上递增．

若，则，∴；

若，则，∴．冲吧宅男

综上可得，即．

评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单

调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进

行讨论．

2．求解有关指数不等式

例2 已知，则x的取值范围是___________．

分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．

解：∵，

∴函数在上是增函数，

∴，解得．∴x的取值范围是．

评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底

数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参

数进行讨论．

3．求定义域及值域问题

例3 求函数的定义域和值域．

解：由题意可得，即，

∴，故．∴函数的定义域是．

令，则，

又∵，∴．∴，即．

∴，即．

∴函数的值域是．

评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影

响．

4．最值问题

例4 函数在区间上有最大值14，则a的值是_______．

分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取

值范围．

解：令，则，函数可化为，其对称轴为．

∴当时，∵，

∴，即．

∴当时，．

解得或（舍去）；

当时，∵，

∴，即，

∴时，，

解得或（舍去），∴a的值是3或．

评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比

如：换元法，整体代入等．

5．解指数方程

例5 解方程．

解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），∴，

∴，经检验原方程的解是．

评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验

根．

6．图象变换及应用问题

例6 为了得到函数的图象，可以把函数的图象（ ）．

A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度

B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度

C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度

D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度

分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断．

解：∵，∴把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单

位长度，可得到函汽车商业险 数的图象，故足球品牌 选（C）．

评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性

实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规

律，比如：平移、伸缩、对称等．

习题

1、比较下列各组数的大小：

（1）若

，比较

与

；

（2）若

，比较

与

；

（3）若

，比较

与

；

（4）若

，且

，比较a与b；

（5）若

，且

，比较a与b．

解：（1）由

，故

，此时函数

为减函数．由

，故

．

（2）由

，故

．又

，故

．从而

．

（3）由

，因

，故

．又

，故

．从而

．

（4）应有

．因若

，则

．又

，故

，这样

．又因

，故

．从而

，这与已知

矛盾．

（5）应有

．因若

，则

．又

，故

，这样有

．又因

，且

，故

．从而

，这与已知

矛盾．

小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．

2，曲线

分别是指数函数

,

和

的图象,则

与1的大小关系是().

(

分析:首先可以根据指数函数单调性,确定

,在

轴右侧令

,对应的函数值由小到大依次为

,故应选

.

小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数

到练口才的方法 形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识

图,用图的意识.

求最值

3，求下列函数的定义域与值域.

(1)y＝2;(2)y＝4x+2x+1+1.

解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2的定义域为｛x｜x∈R且x≠3｝.又

∵≠0，∴2≠1，

∴y＝2的值域为｛y｜y>0且y≠1｝.

(2)y＝4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x>0,∴y＝4x+2x+1+1＝

(2x)2+22x+1＝(2x+1)2>1.

∴y＝4x+2x+1+1的值域为｛y｜y>1｝.

4，已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+23x+1-9x的最大值和最小值

解：设t=3x,因为-1≤x≤2，所以，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3

即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。

5、设

，求函数

的最大值和最小值．

分析：注意到

，设

，则原来的函数成为

，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值．

解：设

，由

知，

，函数成为

，

，对称轴

，故函数最小值为

，因端点

较

距培养孩子专注力 对称轴

远，故函数的最大值为

．

6．（9分）已知函数在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值.

．解：，换元为，对称轴为.

当，，即x=1时取最大值，略

解得a=3(a=－5舍去)

7．已知函数

（

且

）

（1）求

的最小值；（2）若

，求

的取值范围．

．解：（1）

，

当

即

时，

有最小值为

（2）

，解得

当

时，

；

当

时，

．

8（10分）（1）已知是奇函数，求常数m的值；

（2）画出函数的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3

Ｘ

－１

｜＝k无

解？有一解？有两解？

解：（1）常数m=1

（2）当k<0时，直线y=k与函数的图象无交点,即方程无解;

当k=0或k1时,直线y=k与函数的图象有唯一的交点，所以方程有一

解;

当0

解。

9．若函数

是奇函数，求

的值．

．解：

为奇函数，

，

即

，

则

，

10.已知9x-10.3x+9≤0，求函数y=（）x-1-4（）x+2的最大值和最小值

解：由已知得（3x财富的近义词 ）2-103x+9≤0得（3x-9）（3x-1）≤0

∴1≤3x≤9故0≤x≤2

而y=()x-1-4()x+2=4（）2x-4（）x+2

令t=（）x（）

则y=f（t）=4t2-4t+2=4（t-）2+1

当t=即x=1时，y

min

=1

当t=1即x=0时，y

max

=2

11．已知

，求函数

的值域．

解：由

得

，即

，解之得

，于是

，即

，故所求函数的值域为

12.(9分)求函数的定义域，值域和单调区间

定义域为R值域（0，8〕。（3）在（-∞，1〕上是增函数

在〔1，+∞）上是减函数。

13求函数y＝的单调区间.

分析这是复合函数求单调区间的问题

可设y＝,u＝x2-3x+2，其中y＝为减函数

∴u＝x2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增)

u＝x2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)

解：设y＝,u＝x2-3x+2,y关于u递减，

当x∈(-∞，)时，u为减函数，

∴y关于x为增函数；当x∈［，+∞)时，u为增函数，y关于x为减函

数.

14，已知函数f(x)＝(a>0且a≠1).

(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)

的单调性.

解：(1)易得f(x)的定义域为｛x｜x∈R｝.

设y＝,解得ax＝-①∵ax>0当且仅当->0时，方程①有解.解->0

得-1

∴f(x)的值域为｛y｜-1＜y＜1.

(2)∵f(-x)＝＝＝-f(x)且定义域为R，∴f(x)是奇函数.

(3)f(x)＝＝1-.

1当a>1时，∵ax+1为增函数，且ax+1>0.

∴为减函数，从而f(x)＝1-＝为增函数.2当0

f(x)＝为减函数.

15、已知函数f（x）=a－（a∈R），

（1）求证：对任何a∈R，f（x）为增函数．

（2）若f（x）为奇函数时，求a的值。

（1）证明：设x

1

＜x

2

f（x

2

）－f（x

1

）=＞0

故对任何a∈R，f（x）为增函数．

（2），又f（x）为奇函数

得到。即

16、定义在R上的奇函数有最小正周期为2，且时，

（1）求在[－1，1]上的解析式；（2）判断在（0，1）上的单调性；

（3）当为何值时，方程=在上有实数解.

解（1）∵cpu包括 x∈R上的奇函数∴

又∵2为最小正周期∴

设x∈（－1，0），则－x∈（0，1），

∴

（2）设0

1

2

<1=

∴在（0，1）上为减函数。

（3）∵在（0，1）上为减函数。

∴即

同理在（－1，0）时，

又

∴当或时

在[－1，1]内有实数解。

函数y＝a｜x｜(a>1)的图像是()

分析本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图

像，以及数形结合思想和分类讨论思想.

解法1：(分类讨论)：

去绝对值，可得y＝

又a>1，由指数函数图像易知，应选B.

解法2：因为y＝a｜x｜是偶函数，又a>1，所以当x≥0时，y＝ax是

增函数；x＜0时，y＝a-x是减函数.

∴应选B.