双曲线的准线方程

双曲线及其标准方程(共12页)

-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-

2

9．6双曲线

1．双曲线的概念

平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a

(2a<2c)，则点P的轨迹叫____________．这两个定点叫双曲线的________，两焦

点间的距离叫________．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：

(1)当________时，P点的轨迹是双曲线；

(2)当a＝c时，P点的轨迹是____________；

(3)当________时，P点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

x2

a2

－

y2

b2

＝1

(a>0，b>0)

y2

a2

－

x2

b2

＝1

(a>0，b>0)

图形

性

质

范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a

对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点

顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线

y＝

b

a

xy＝

a

b

x

离心率

e＝

c

a

，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2

实虚轴

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线

的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线

的半虚轴长

a、b、c

的关系

c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)

[难点正本疑点清源]

1．双曲线中a，b，c的关系

双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如右图)，

3

它的三边长分别是a、b、故事剧本 c．易见c2＝a2＋b2，

若记∠AOB＝，则e＝

c

a

＝

1

cos

．

2．双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||＝2a，其中2a<|F1F2|，这里要注意两

点：

(1)距离之差的绝对值．

(2)2a<|F1F2|．

这两点与椭圆的定义有本质的不同：

①当|MF1|－|MF2|＝2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；

②当|MF1|－|MF2|＝－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；

③当2a＝|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；

④当2a>|F1F2|时，动点轨迹不存在．

3．渐近线与离心率

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为

b

a

＝

b2

a2

＝

c2－a2

a2

＝e2－1．可以

看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．

1．已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，一曲线上的动点P到F1，F2距离之差为6，该曲线方

程是

_____________________________________________________________________．

2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝

___________________________．

3．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为

60，则双曲线C的离心率为________．

4．(2011山东)已知双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)和椭圆

x2

16

＋

y2

9

＝1有相同的焦点，

且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．

5．若双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该贷款声明 双曲线

的离心率为

()

A．5B．5C．2D．2

题型一双曲线的定义

例1已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，

求另一焦点F的轨迹方程．

4

探究提高双曲线的定义理解到位是解题的关键．应注意定义中的条件“差的绝对

值”，弄清所求轨迹是双曲线的两支，还是双曲线的一支．若是一支，是哪一支，

以确保解答的正确性．

在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6，0)和C(6,0)，若

顶点B在双曲线

x2

25

－

y2

11

＝1的左支上，则

sinA－sinC

sinB

＝________．

题型二双曲线的标准方程

例2根据下列条件，求双曲线方程：

(1)与双曲线

x2

9

－

y2

16

＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)；

(2)与双曲线

x2

16

－

y2

4

＝1有公共焦点，且过点(32，2)．

探究提高求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素(a、b、

c、e婴幼儿心理学 )之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程为axby

＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝(≠0)．

(1)若双曲线的渐近线方程为y＝3x，它的一个焦点是(10，0)，求

双曲线的方程；

(2)已知双曲线的渐近线方程为y＝

4

3

x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，求双曲

线的方程．

题型三双曲线的几何性质

例3中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且

|F1F2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7．

(1)求这两曲线方程；

(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．

探究提高在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关

注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e＝

c

a

是一个比值，故只

需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求

e，并且需注意e>1．

如图，已知F1、F2为双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)

的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，

且∠PF1F2＝30，求：(1)双曲线的离心率；

(2)双曲线的渐近线方程．反科学

题型四直线与双曲线的位置关系

例4过双曲线

x2

3

－

y2

6

＝1的右焦点F2，倾斜角为30的直线交双曲线于A，B两点，

O为坐标原点，F1为左焦点．

(1)求|AB|艺术鉴赏论文 ；

(2)求△AOB的面积；

5

(3)求证：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|．

探究提高双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常

用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把终身寿险 直线方程和双曲线方程组成方程组，

消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想

解题．设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|＝

1＋k2|x1－x2|．

直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B．

(1)求实数k的取值范围；

(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F若存在，

求出k的值；若不存在，说明理由．

10．忽视直线与双曲线相交的

判断致误

试题：(14分)已知双曲线x2－

y2

2

＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于

A、B两点，且点P是线段AB的中点

学生解答展示

审题视角(1)本题属探索性问题．若存在，可用点差文章体裁有哪些 法求出AB的斜率，进而求方

程；也可以设斜率k，利用待定系数法求方程．(2)求得的方程是否符合要求，一定

要注意检验．

规范解答

解设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，

若直线l的斜率不存在，显然不符合题意．

[2分]

6

设经过点P的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，

即y＝kx＋1－k．[3分]

由









y＝kx＋1－k，

x2－

y2

2

＝1，

得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．①

[7分]

∴x0＝

x1＋x2

2

＝

k(1－k)

2－k2

．

由题意，得

k(1－k)

2－k2

＝1，解得k＝2．

[9分]

当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0．

＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．

[12分]

∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．[14分]

批阅笔记(1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不

大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是考生忽视对直线与双曲线是

否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．

(2)如将本题中点P的坐标改为(1,2)，看看结论怎样

方法与技巧

1．两条双曲线的渐近线的交点就是双曲线的中心．

2．焦点到渐近线的距离等于半虚轴长b．

3．共用渐近线的两条双曲线可能是：共轭双曲线；放大的双曲线；共轭放大或放大

后共轭的双曲线．所以与双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1共用渐近线的双曲线的方程可设为

x2

a2

－

y2

b2

＝t(t≠0)．

4．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的

“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程

x2

a2

－

y2

b2

＝0就是双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1的两条

渐近线方程．

失误与防范

1．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中a2＝

b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2．

2．双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．

3．双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝

b

a

x，

y2

a2

－

x2

b2

＝1(a>0，b>0)的

7

渐近线方程是y＝

a

b

x．

4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．

5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行

时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直中国传统文化图片 线与双曲线相切时，直

线与双曲线仅有一个交点．

8

课时规范训练

(时间：60分钟)

A组专项基础训练题组

一、选择题

1．双曲线中心在原点，且一个焦点为F1(－5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1

的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是

()

－y2＝1B．x2－

y2

4

＝1

－

y2

3

＝1－

y2

2

＝1

2．设F1、F2分别是双曲线x2－

y2

9

＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且PF1

→

PF2

→

＝0，则|PF1

→

＋PF2

→

|等于

()

B．210

D．25

3．若双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的实轴长是焦距的

1

2

，则该双曲线的渐近线方程是

()

A．y＝

3

2

xB．y＝

2x

C．y＝3xD．y＝

22x

4．(2011课标全国)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l

与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为

()

C．2D．3

二、填空题

5．已知中心在原点的双曲线C，过点P(2，3)且离心率为2，则双曲线C的标准方

程为______________________．

6．如图，点P是双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1上除顶点外

的任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c为

半焦距，△PF1F2的内切圆与F1F2切于点M，

则|F1M||F2M|＝________.

7．已知双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲

9

线右支于A，B两点．若△ABF1是以B为顶点的等腰三角形，且△AF1F2，△BF1F2的

面积之比S△AF1F2∶S△BF1F2＝2∶1，则双曲线的离心率为________．

三、解答题

8．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点P(4，

－10)．

(1)求双曲线方程；

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1

→

MF2

→

＝0；

(3)求△F1MF2的面积．

B组专项能力提升题组

一、选择题

1．已知点F1(－2，0)、F2(2，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标

是

1

2

时，点P到坐标原点的距离是

()

D．2

2．已知点F是双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过

F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是钝角三角形，则该双

曲线的离心率e的取值范围是

()

A．(1，＋∞)B．(1,2)

C．(1,1＋2)D．(2，＋∞)

3．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线

x2

a2

－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲

线右支上的任意一点，则OP

→

FP

→

的取值范围为

()

A．[3－23，＋∞)B．[3＋23，＋∞)

二、填空题

4．设双曲线C：

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点．若以F为圆

心，FO为半径的圆与双曲线C的渐近线y＝

b

a

x交于点A(不同于O点)，则△OAF的

面积为________．

5．设点F1，F2是双曲线x2－

y2

3

＝1的两个焦点，点P是双曲线上一点，若3|PF1|＝

4|PF2|，则△PF1F2的面积为________．

6．已知双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右

支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．

10

三、解答题

7．设A，B分别为双曲线

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为

43，焦点到渐近线的距离为3.

(1)求双曲线的方程；

(2)已知直线y＝

3

3

x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存

在点D，使OM

→

＋ON

→

＝tOD

→

，求t的值及点D的坐标．

8．已知椭圆C1的方程为

x2

4

＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左综合鉴定 、右顶点，

而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．

(1)求双曲线C2的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA

→

OB

→

>2

(其中O为原点)，求k的取值范围．

11

答案

要点梳理

1．双曲线焦点焦距(1)ac

基础自测

－

y2

7

＝1(x≥3)2.－

1

4

－

y2

3

＝1

题型分类深度剖析

例1解设F(x，y)为轨迹上的任意一点，

∵A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，

∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴长)，

∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，

∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|

＝122＋92－122＋(－5)2＝2，

∴|FA|－|FB|＝2<14.

由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点，2为实轴长的双曲线的下支上，

∴点F的轨迹方程是y2－

x2

48

＝1(y≤－1)．

变式训练1

5

6

例2解(1)设所求双曲线方程为

x2

9

－

y2

16

＝(≠0)，

将点(－3,23)代入得＝

1

4

，

∴所求双曲线方程为

x2

9

－

y2

16

＝

1

4

，

即

x2

9

4

－

y2

4

＝1.

(2)设双曲线方程为

x2

16－k

－

y2

4＋k

＝1，

将点(32，2)代入得k＝4，(k＝－14舍去)．

∴所求双曲线方程为

x2

12

－

y2

8

＝1.

变式训练2(1)x2－

y2

9

＝1

(2)

x2

36

－

y2

64

＝1或

y2

64

－

x2

36

＝1

例3解(1)由已知：c＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲线半实、虚

轴长分别为m、n，则











a－m＝4

7

13

a

＝3

13

m

，

12

解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.

∴椭圆方程为

x2

49

＋

y2

36

＝1，

双曲线方程为

x2

9

－

y2

4

＝1.

(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝

14，

|PF1|－|PF2|＝6，

所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.

又|F1F2|＝213，

∴cos∠F1PF2

＝

|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2

2|PF1||PF2|

＝

102＋42－(213)2

2104

＝

4

5

.

变式训练3(1)3(2)y＝2x

例4(1)解由双曲线的方程得a＝3，b＝6，

∴c＝a2＋b2＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．

直线AB的方程为y＝

3

3

(x－3)．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由









y＝

3

3

(x－3)，

x2

3

－

y2

6

＝1，

得5x2＋6x－27＝0.

∴x1＋x2＝－

6

5

，x1x2＝－

27

5

.

∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|

＝1＋











3

3

2(x1＋x2)2－4x1x2

＝

4

3

36

25

＋

108

5

＝

163

5

.

(2)解直线AB的方程变形为3x－3y－33＝0.

∴原点O到直线AB的距离为

d＝

|－33|

(3)2＋(－3)2

＝

3

2

.

∴S△AOB＝

1

2

|AB|d＝

1

2

163

5

3

2

＝

123

5

.

(3)证明如图，由双曲线的定义得

|AF2|－|AF1|

＝23，

|BF1|－|BF2|

＝23，

13

∴|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|，

即|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.

变式训练4解(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，整理

得(k2-2)x2+2kx+2=0.①

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，

故









k2－2≠0，

＝(2k)2－8(k2－2)>0，

－

2k

k2－2

>0，

2

k2－2

>0.

解得k的取值范围是－2

(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则由①式得









x1＋x2＝

2k

2－k2

，

x1x2＝

2

k2－2

.

②

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)．

则由FA⊥FB得：

(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0.

即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.

整理得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0.

③

把②式及c＝

6

2

代入③式化简得5k2＋26k－6＝0.

解得k＝－

6＋6

5

或k＝

6－6

5

∉(－2，－2)(舍去)，可知存在k＝－

6＋6

5

使得

以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．

课时规范训练

A组

1．B－

y2

9

＝1或

y2

5

3

－

x2

5

＝1

8．(1)解∵e＝2，∴可设双曲线方程为x2－y2＝.∵过点(4，－10)，∴16－10

＝，

即＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.

(2)证明方法一由(1)可知，

双曲线中a＝b＝6，

∴c＝23，∴F1(－23，0)，F2(23，0)，

14

∴kMF1＝

m

3＋23

，kMF2＝

m

3－23

，

kMF1kMF2＝

m2

9－12

＝－

m2

3

.

∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，

故kMF1kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，

∴MF1

→

MF2

→

＝0.

方法二∵MF1

→

＝(－3－23，－m)，

MF2

→

＝(23－3，－m)，

∴MF1

→

MF2

→

＝(3＋23)(3－23)＋m2＝－3＋m2.

∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，

即m2－3＝0，∴MF1

→

MF2

→

＝0.

(3)解△F1MF2的底|F1F2|＝43，

由(2)知m＝3.

∴△F1MF2的高h＝|m|＝3，

∴S△F1MF2＝

1

2

433＝6.

B组

1．A

7．解(1)由题意知a＝23，一条渐近线为y＝

b

a

x，即bx－ay＝0，∴

|bc|

b2＋a2

＝

3，

∴b2＝3，∴双曲线的方程为

x2

12

－

y2

3

＝1.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，

则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，

将直线方程代入双曲线方程得x2－163x＋84＝0，则x1＋x2＝163，y1＋y2＝

12，

∴









x0

y0

＝

43

3

，

x2

0

12

－

y2

0

3

＝1，

∴





x0＝43，

y0＝3，

∴t＝4，点D的坐标为(43，3)．

8．解(1)设双曲线C2的方程为

x2

a2

－

y2

b2

＝1，

则a2＝4右归丸的作用和功效 －1＝3，c2＝4，由a2＋b2＝c2，得b2＝1，

故C2的方程为

x2

3

－y2＝1.

(2)将y＝kx＋2代入

x2

3

－y2＝1，

15

得(1－3k2)x2－62kx－9＝0.

由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得





1－3k2≠0.

＝(－62k)2＋36(1－3k2)

＝36(1－k2)>0.

∴k2≠

1

3

且k2<1.

①

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

x1＋x2＝

62k

1－3k2

，x1x2＝

－9

1－3k2

.

∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)

＝(k2＋1)x1x2＋2k(x1＋x2)＋2＝

3k2＋7

3k2－1

.

又∵OA

→

OB

→

>2，得x1x2＋y1y2>2，

∴

3k2＋7

3k2－1

>2，即

－3k2＋9

3k2－1

>0，

解得

1

3

②

由①②得

1

3

故k的取值范围为













－1，－

3

3

∪











3

3

，1

.