求导符号

2.2求导法则与导数的基本公式

教学目标与要求

1.掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则

2.理解反函数的导数并能应用；

3.理解复合函数的导数并会求复合函数的导数；

4.熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。

教学重点与难度

1.会用函数的和、差、积、商的求导法则求导；

2.会求反函数的导数；

3.会求复合函数的导数

前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义

去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个基本法则

和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义属火的颜色 ，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常

见的函数——初等函数的导数。

一、函数的和、差、积、商求导法则

1.函数的和、差求导法则

定理1函数u(x)与v(x)在点x处可导，则函数yu(x)v(x)在点x处也可导，且

同理可证：[u(x)v(x)]'u(x)v'(x)

即证。

注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即

[Ui(x)U2(x)LUn(x)]'u；(x)u：(x)Lu：(x)，

即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。

例1求函数yx4cosxlnx的导数2

解yx4cosxInx—

2

2.函数积的求导公式

定理2函数u(x)与v(x)在点x处可导，则函数yu(x)g/(x)在点x也可导，且

IIIIy[U(x)g/(x)]u(x)g/(x)u(x)g/(x)。

注意：1)特别地，当uc(c为常数)时，

y'[cv(x)]'cv'(x)，

即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得：

IIIIy[au(x)bv(x)]au(x)bv(x)。

2)函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即

(U

1

U

2

LUn)U|u

2

LUnU

1

U

2

LU

n

LU

1

U

2

LUn。

例2求下列函数的导数。

1)y3x32x25x4sinx;

解y3x32x25x4sinx

3

2)y3x4lnx5cosx

例3求下列函数的导数

sinx；

解1)

2)

3.函数商的求导法则

定理3函数u(x)与v(x)在点x处可导，且v(x)0,贝U函数海锚 y

uv

vx------ux—

所以」

xx

4x5sinx

x

)yx'gnxccosx

辎在点x处也可导，

(U

1

U

2

LUn)U|u

2

LUnU

1

U

2

LU

n

LU

1

U

2

LUn。

因为VX可导,必连续,故|xm0vxxVX,于是

注意：特别地，当uc(c为常数)时，

总结：根据上一节中求出的正弦和余弦的导数公式，可得三角函数的导数为：

二、反函数的导数

想一想：在基本初等函数中，还有哪些函数没有求导法则？

在基本初等函数中，我们还有反三角函数和指数函数的导数求法没有讨论，如何求呢？易知，

反三角函数和指数函数分别是三角函数和对数函数的反函数。能否通过三角函数和对数函数的导数来

求反三角函数和指数函数呢？这是可以的，这就是我们下面将要介绍的反函数的导数：

定理4设函数yf鼓励孩子学习的话 (x)在某一区间是单调连续，在区间任一点x处可导，且f(x)0,则它的反函数xf

1(y)在相应区间内也处处可导，且

或

证因为函数yf(x)在某一区间内是单调连续函数，可知其反函数xf1(y)在相应

区间内也是单调连续函数。

当yf(x)的反函数xf1(y)的自变量y冬天下雨 取得改变量y(y0)时，由xf1(y)的单调性知xf1(yy)f1(y)

0，于是

又因为xf1(y)连续，所以当y0时，x0。由条件知f(x)0，所以

即证。

例6求下列反三角函数的导数。

例7求函数yax(a0,a1)的导数。

))为对数函数xlogay(y(0,))的反函数，根据反函数的

导数法则得所以，指数函数的导数公式为特别地，当ae生日快乐搞笑 时，有

三、复合函数的求导法则

综上，我们对基本初等函数的导数都进行讨论，根据基本初等函数的求导公式，以及求导法

则，就可以求一些较复杂的初等函数了。但是，在初等函数的构成过程中，除了四则运算外，还有复

合函数形式，例如：ysin2x。

思考：如果ysin2x，是否有(sin2x)cos2x？

因此，要完全解决初等函数的求导法则还必须研究复合函数的求导法则

[f1(x)]二或[f(X)]

f(x)

1

[f1(x)]

1)生活活动 yarcsinx；

2)yarccosx；

3)yarctanx；4)yarccotx。

解由于yax(x(

定理设函数U(x)在点x处有导数ux(x)，函数yf(u)在对应点u处有导数

yf(u)，则复合函数yf[(x)]在点x处也有导数，且

简记为dx签豊或y

x

y

u

U

x

o

(证明略)

注意：(1)复合函数的求导法则表明：复合函数对自变量的的导数等于复合函数对中

间变量求导乘以中间变量对自变量求导。这种从外向内逐层的求导的方法，形象称为链式

法则。

(2)复合函数的求

导法则可以推广到有限个中间变量的情形。例如，设yf(u)，

ug(v),v(x)，则

(3)在熟练掌握复合函数的求导法则后，求导时不必写出具体的复合步骤。只需记住哪些变量

是自变量，哪些变量是中间变量，然后由外向内逐层依次求导。

6

例8求函数y23x的导数

55

解y623x31823x

例9求函数ysinIn-、3x的导数

cosln.3x

2x

例10求幕函数yxu的导数。

dy

dx

dydudv

「dud；d；或

yuuvVx

ycosln.3x

1

例11求函数yfsinxsinfx的导数。

解yfsinxcosxcosfxfx

例12求下列函数的导数。

1)yf(-)；2)yef(x)。

x

本节小结

通过本节以及上一节学习，到目前为止。我们已经学习了全部初等函数的求导公式和函数的求

导法则，以及反函数、复合函数、隐函数的求导法则。从而解决了初等函数的求导问题。这些公式和

法则是基础，所以，必须要牢记和熟记。归纳如下：

1.求导法则

（5）（

c

）'孚（c为常数）

vv

1'1'

(6叶子梅 )[f(y)]-(f(x)0)

f暧 (x)

(7)yxyugJx，其中yf(u),u(x)

2.基本初等函数的导数公式

(1)[uv]'u'v'

(3)(cu)cu(c为常数)

(2)(uv)uvuv

II

,、u'uvu牵牛花简笔画 v

(4)(—)2(v0)

vv