约数是什么意思

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最大公约数与最小公倍数应用（一）

一、知识要点：

1、性质1：如果a、b两数的最大公约数为

d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。

例如：（24,54）=6,24=46,54=96，（4,9）

=1。

2、性质2：两个数的最小公倍数与最大公约

数的乘积等于这两个数的乘积。

a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍

数的最大公约数，并且ab=[a,b]（a,b）。

例如：（18，12）=，[18，12]=（18，12）

[18，12]=

3、两个数的公约数一定是这两个数的最大

公约数的约数。

3、辗转相除法

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二、热点考题：

例1两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72广式烧鸭 。

已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。（运用

性质2）

练一练：甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公

倍数是288，求乙数。

例2两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这

两个自然数的和是77，求这两个自然数。

分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两

个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两个自然

数的和是11求这两个自然数。”

，

例3已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，

a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。

分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公

倍数，即是[12，15]=60的倍数。再由[a，b，c]=120知，a只能是60

或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23

35，所以c=15。

练一练：已知两数的最大公约数是21，最

小公倍数是126，求这两个数的和是多少？

例4已知两个自然数的和是50，它们的最大

公约数是5，求这两个自然数。

例5已知两个自然数的积为240，最小公

倍数为60，求这两个数。

习题四

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1．已知某数与24的最大公约数为4，最

小公倍数为168，求此数。

2．已知两个自然数的最大公约数为4，最

小公倍数为120，求这两个数。

3．已知两个自然数的和为165，它们的最

大公约数为15，求这两个数。

4．已知两个自然数的差为48，它们的最

小公倍数为60，求这两个数。

5．已知两个自然数的差为30，它们的最小公倍

数与最大公约数的差为450，求这两个自然数。

6．已知两个自然数的和为900，它们的最大公约

数与最小公倍数的乘积为432，求这两个自然数。

7、五年一班去划船，他们算了一下，如果增加

一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正

好每船坐9人，这个班有多少人？

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8、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，

被5除余4，被6除余5，此数最小是几？

9、已知A与B的最大公约数为6，最小公倍数

为84，且AB＝42，求B。

10、已知A和B的最大公约数是31，且AB＝

5766，求A和B。

11、有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4

个数余3，5个5个数余4个，问这个盘子里最

少有多少个水果？

家庭练习

1.拖拉机前轮直径64厘米，后轮直径96厘

米，拖拉机开动后，前轮至少转多少圈，才

能使前、后轮同时着地的两点重新同时着

地？

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2.现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子

70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分

到的这三种水果的数量分别相等，那么最多

分给了多少个班？每个班至少分到了三种

水果各多少千克？

3、一个数被2除余1，被3除余2，被4除

余3，被5除余4，被6除余5，此数最小是

几？

4、将72和120的乘积写成它们的最大公约

数和最最小公倍数的乘积的形式。

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5、两个自然数的最大公约数是12，最小公

倍数是72。满足条件的自然数有哪几组？

例1用自然数a去除498，450，414，得

到相同的余数，a最大是多少？

分析与解：因为498，450，414除以a所得的余

数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整

除。498-450=48，450-414=36，498-414=84。所

求数是（48，36，84）=12。

例2现有三个自然数，它们的和是1111，

这样的三个自然数的公约数中，最大的

可以是多少？

分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个

自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能

从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三

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个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的

约数。因为1111=10111，它的约数只能是1，

11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，

所以三个自一饭千金的故事 然数都小于1111，1111不可能是三

个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三

个数为101，101和909。所以所求数是101。

练习：

1、在1000到2000之间，能同时被6、8、

10这三个自然数整除的自然数一共有几

个？

2、三个连续偶数，它们分别是12、14、

16的倍数，比它们大的这样三个偶数最

小各是多少？

3、四个连续自然数，它们分别是6、7、

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8、9的倍数，比它们大的这样四个自然

数最小各是多少？

4、甲、乙、丙三人沿600米的环形跑道

从同一地点出发同时同向跑步，甲每秒

跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米。

至少经过多少时间三人又同时从出发点

出发？

5、两数的乘积是9000，它们的最大公因

数是15，这个两数各是多少？

6、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走

一圈分别需要1分、1分15秒和1分30

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秒。三人同时从起点出发，最少需多长

时间才能再次在起点相会？

7、两个小于150的数的诚信的句子 积是2028，它们

的最大公约数是13，求这两个数。

8、有一堆桔子，按每4个一堆分少1个，

按每5个一堆分也少1个，按每6个一

堆分还是少1个。这堆桔子至少有多少

个？

【例3】狐狸和袋鼠进行跳远比赛，狐狸

每次跳4.5米，袋鼠每次跳2.75米，它

们每秒都只跳一次。比赛途中，从起点

开始，每隔12.375米设一个陷阱，当它

们之中一个先掉进陷阱时，另一个跳了

多少米?

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【例5】用长9厘米、宽6厘米、高4

厘米的长方体搭一个正方体，至少需要

多少块这样的长方体木块？

【例6】（1）A、B两数的乘积是216，

它们的最小公倍数是36。A、B两数的

最大公因数是多少？（2）甲乙两数的

最小公倍数是288，最大公因数是4，甲

数是36，乙数是多少？

【例7】加工某种机器零件，要经过三

道工序.第一道工序每个工人每小时可完

成3个零件，第二道工序每个工人每小

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时可完成10个，第三道工序每个工人每

小时可完成5个，要使加工生产均衡，

三道工序至少各分配几个工人？

练习：

1.甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的

最小公倍数是54，甲数是多少？乙数是

多少？

2.一块长方形地面，长120米，宽60米，

要在它的四周和四角种树，每两棵之间

的距离相等，最少要种树苗多少棵？每

相邻两棵之间的距离是多少米？

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3.已知两个自然数的积是过程论 5766，它们的

最大公约数是31.求这两个自然数。

4．有一队同学去野炊，吃饭时，他

们两人一个饭碗，三个人一个菜碗，

四个人一个汤碗，一共用了91个碗。

参加野炊的至少有多少同学？

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带余数的除法

前面我们讲到除法中被除数和

除数的整除问题.除此之外，例如：16

3=5…1，即16=53+1.此时，被除数

除以除数出现了余数，我们称之为带

余数的除法。

一般地，如果a是整数，b是整

数（b≠0），那么一定有另外两个整

数q和r，0≤r＜b，使得a=bq+r。

当r=0时，我们称a能被b整除。

当r≠0时，我们称a不能被b整

除，r为a除以b的余数，q为a除以

b的不完全商（亦简称为商）.用带余

除式又可以表示为ab=q…r，0≤r＜

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b。

例1一个两位数去除251，得到的余

数是41.求这个两位数。

分析这是一道带余除法题，且要求

的数是大于41的两位数.解题可从带

余除式入手分析。

解：∵被除数除数=商…余数，

即被除数=除数商+余数，

∴251=除数商+41，

251-41=除数商，

∴210=除数商。

∵210=2357，

∴210的两位数的约数有10、14、15、

21、30、35、42、70，其中42和70

大于余数41.所以除数是42或70.即

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要求的两位数是42或70。

例2用一个自然数去除另一个整数，

商40，余数是16.被除数、除数、商

数与余数的和是933，求被除数和除

数各是多少？

解：∵被除数=除数商+芹菜炒虾仁的做法 余数，

即被除数=除数40+16。

由题意可知：被除数+除数

=933-40-16=877，

∴（除数40+16）+除数=877，

∴除数41=877-16，

除数=86141，

除数=21，

∴被除数=2140+16=856。

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答：被除数是856，除数是21。

例3某年的十月里有5个星期六，

4个星期日，问这年的10月1日是

星期几？

解：十月份共有31天，每周

共有7天，

∵31=74+3，

∴根据题意可知：有5天的星期数

必然是星期四、星期五和星期六。

∴这年的10月1日是星期四。

例43月18日是星期日，从3月

17日作为第一天开始往回数（即3

月16日（第二天），15日（第三

天），…）的第1993天是星期几？

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解：每周有7天，19937=284

（周）…5（天），

从星期日往回数5天是星期

二，所以第1993天必是星期二.

例5一个数除以3余2，除以5余

3，除以7余2，求适合此条件的最

小数。

这是一道古算题.它早在《孙子

算经》中记有：“今有物不知其数，

三三数之剩二，五五数之剩三，七

七数之剩二，问物几何？”

关于这道题的解法，在明朝就流传

着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五

树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百

零五便得知.”意思是，用除以3的余数

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乘以70，用除以5的余数乘以21，用除

以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.

如果这三个数的和大于105，那么就减去

105，直至小于105为止.这样就可以得到

满足条件的解.其解法如下：

方法1：270+321+215=233

233-1052=23

符合条件的最小自然数是23。

例5的解答方法不仅就这一种，还可以

这样解：

方法2：[3，7]+2=23

23除以5恰好余3。

所以，符合条件的最小自然数是23。

方法2的思路是什么呢？让我们再

来看下面两道例题。

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例6一个数除以5余3，除以6余4，除

以7余1，求适合条件的最小的自然数。

分析“除以5余3”即“加2后被5整

除”，同样“除以6余4”即“加2后被

6整除”。

解：[5，6]-2荷叶的功效 =28，即28适合前两个

条件。

想：28+[5，6]？之后能满足“7除

余1”的条件？

28+[5，6]4=148，148=217+1，

又148＜210=[5，6，7]

所以，适合条件的最小的自然数是

148。

例7一个数除以3余2，除以5余3，除

--凉面的热量 -

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以7余4，求符合条

件的最小自然数。

解：想：2+3？之后能

满足“5除余3”的条件？

2+32=8。

再想：8+[3，5]？之

后能满足“7除余4”的条

件？

8+[3，5]3=53。

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∴符合条件的最小的自然

数是53。

归纳以上两例题的解

法为：逐步满足条件法.当

找到满足某个条件的数后，

为了再满足另一个条件，需

做数的调整，调整时注意要

加上已满足条件中除数的

倍数。

解这类题目还有其他

方法，将会在有关“同余”

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部分讲到。

例8一个布袋中装有小球

若干个.如果每次取3个，

最后剩1个；如果每次取5

个或7个，最后都剩2个.

布袋中至少有小球多少

个？

解：2+[5，7]1=37（个）

∵37除以3余1，除以5

余2，除以7余2，

∴布袋中至少有小球37

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个。

例969、90和125被某个

正整数N除时，余数相同，

试求N的最大值。

分析在解答此题之前，我

们先来看下面的例子：

15除以2余1，19除

以2余1，

即15和19被2除余数

相同（余数都是1）。

但是19-15能被2整

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除.

由此我们可以得到这

样的结论：如果两个整数a

和b，均被自然数m除，余

数相同，那么这两个整数之

差（大-小）一定能被m整

除。

反之，如果两个整数之

差恰被m整除，那么这两

个整数被m除的余数一定

相同。

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例9可做如下解答：

∵三个整数被N除余数相同，

∴N｜（90-69），即N｜21，N｜

（125-90），即N｜35，

∴N是21和35的公约数。

∵要求N的最大值，

∴N是21和35的最大公约

数。

∵21和35的最大公约数是

7，

∴N最大是7。

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例6甲乙两数的乘积是2700，甲乙两

数的最大公因数是15。甲乙两数各是

多少？

练习

1、一X长方形纸，长7问的成语 2厘米，宽48

厘米，把它裁成若干个相等的小正方

形而没有剩余，要正方形尽可能大，

可以裁多少个正方形？

2、当商取整数时，用某数去除410

余5，去除242少1，去除550余10，

这个数最大是多少？

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3、两个数的和是836，其中一个数的

末尾是0，如果把这个0抹去就与另

一个数相等，这两个数各是多少？

4、两个数的最大公约数是6，最小公

倍数是144，求这两个数是多少。