杨虎成

2014-01

教学实践

利用二次函数求最值应注意的两个问题

文/杨虎成

在北师大版九年级数学下册教材第二章中有两节叶何时获得

最大利润曳叶最大面积是多少曳袁都涉及利用二次函数求最大值的

问题袁在实际应用中我们发现学生存在以下几个误区遥

误区一院二次函数的顶点纵坐标为最大值

在二次函数的实际应用中袁二次函数的顶点纵坐标并不一定

为最大值袁我们应具体问题具体分析袁如下题院

例1.如下图袁某鸡场要建一个矩形的养鸡场ABCD袁鸡场的一

边靠墙袁渊墙长20米冤袁另三边用木栏围成袁木栏长100米袁设AB=

x米袁矩形的面积为S平方米袁那么x为多少时袁S的值最大钥

AB

DC

图渊1冤

图渊2冤

2

解院渊1冤设y

1

=kx渊x逸0冤袁设y

2

=ax渊x逸0冤则由题意可得院

熊罴

户以8万元资金投入种植花卉和树木袁他至少获得多少利润钥他

能获得的最大利润是多少钥

y

y

Ox

Ox

其中投资x万元种植树木袁则投资爱丽丝漫游奇境记 渊8-x冤万元种植花卉袁由题意可

亦当x=2时袁w

min

=14疫0臆x臆8袁在w=0.5渊x-2冤

2

+14中袁当0臆x臆2

得院w=y

1

+y

2

=2渊8-x冤+0.5x

2

=0.5x

2

-2x+16=0.5渊x-2冤

2+14

疫a=0.5>0,

渊2冤设这位专业户种植树木和花卉能获得的利润为w万元袁

2=k袁2=4a解得院k=2温暖的家 袁a=0.5亦y

1

=2x袁y

2

=0.5x2

错解院疫AB=x

疫a=-2<0

亦BC=100-2x

亦S=AB窑BC=x渊100-2x冤=-2x

2

+100x=-2渊x-25冤

2

+1250

亦当x=25时袁S

max=1250

亦BC=100-2x

正确解答院

疫AB=x

疫32>12袁亦这位专业户能获得的最大利润是32万元遥

2

2

x臆8时,w随简单英文歌 x的增大而增大袁亦当x=8时,w

max

=渊8-2冤

2+14=32

时袁w随x的增大而减小袁亦当x=0时袁w

max

=渊0-2冤

2

+14=16当2臆

.htsRerved.

亦为什么韩国人叫棒子 S=AB窑BC=x渊100-2x冤=-2x+100x=-2渊x-25冤+1250

由题意可得院0

解得院40臆x约50

S随x的增大而减小

疫a=-2约0袁x跃25

点评院此题第渊2冤问袁很多学生会说a=0.5袁二次函数开口向

上袁应该没闺蜜名 有最大值袁其实不然袁本题中自变量x的取值范围是

x臆2时冤,由于w随x的增大而减小袁故当x=0时袁w有最大值16曰

在对称轴x=2右侧渊即当2臆x臆8时冤袁w随x的增大而增大袁当

x=8时袁w有最大值32袁通过比较16与32袁我们得出最大值为32袁

此时自变量x=8遥

总述院

在利用二次函数来求最大值问题时袁一定要先求出自变量的

取值范围袁再看二次函数的开口方向遥淤当开口向下袁顶点位于自

变量范围内时渊北师大九年级下教材中两节均为此种类型冤袁顶点

纵坐标为最大值曰于当开口向下袁顶点不位于自变量范围内时渊如

例1冤袁要求出端点坐标袁通过比较端点纵坐标大小来确定最大值曰

点纵坐标袁大的即为最大值遥

盂当二次函数开口向上渊如例2冤时袁也有最大值袁直接比较两个端

0臆x臆8袁在二次函数w=0.5渊x-2冤

2

+14对称轴x=2左侧渊即当0臆

亦当x=40时袁S

max佛拉斯

=-2渊40-25冤

2+1250=800

点评院很多学生在学习中经常犯这样的错误袁他们认为利用

二次函数求最大值袁只要求出二次函数表达式袁并将之化为顶点

式袁顶点纵坐标即为最大值袁而没有考虑自变量的取值范围袁此题

中的顶点就不在自变量范围内袁因此最大面积就不会取到1250袁

又由于自变量x的范围全部在对称轴x=25左侧袁根据二次函数的

增减性袁我们可知当x=40时袁S会有最大值遥

误区二院二次函数开口向上没有最大值

例2.根据市场调查与预测袁种植树木的利润y

1

与投资量x成

正比例关系袁如图渊1冤所示袁种植花卉的利润y

2

与投资量x成二次

函数关系袁如图渊2冤所示渊注院利润与投资量的单位院万元冤遥渊1冤分别

求出利润y

1

与y

2

关于投资量x的函数关系式曰渊2冤如果这位专业

要顺应时代发展袁及时地调整角度和角色袁实现完美的过渡袁发展

新的教学模式袁注重实验教学袁最大限度地调动学生的积极性袁带

动学生兴趣袁从而按照教学任务袁提高教学质量袁培养全方面发展

的人才遥

参考文献院

时代教育院教育教学袁2011渊03冤.

咱1暂徐阳袁卢慕稚.议物理演示实验与科学探究思想的结合咱J暂.

渊作者单位

誗编辑

薄跃华

湖北省秭归县九畹溪中学安全标志图片大全 冤

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薄跃华

重庆市云阳县盘石中学冤

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