乘法求导公式

-------------

2.2求导法

教学目的：掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则，掌握基本初等函

数的求导公式，会求隐函数的导数

教学重点：导数的四则运算法则，复合函数函数求导方法

教学难点：隐函数求导法

教学内容：

直接用定义求每一个函数的导数相当麻烦。本节将给出各类基本初等函数的

导数公式，及导数的四则运算法则与复合求导法则，这样就可以求出一切初等函

数的导数。求导数的方法叫做微分法.

2.2.1

加减求导法则

定理2.2设

u(x),v(x)

在点

x

处可导，则

u(x)v(x)

也在点

x

处可导，且

(u(x)v(x))



u



(x)v



(x).

证明

[打死我也不说 u(x)v(x)]

文科是哪几科

lim

[u(xx)v(xx)][u(x)v(x)]

x0

x



u(xx)u(x)v(xx)v(x)



lim





x0

xx





u

(

x

)

v

(

x

)

加减求导法则可简单地表示为

-------------

-------------

(

u



v

)

u



v



推论2.1设

u



u

(

x

)、

v



v

(

x

)、

w



w

(

x

)

均可导则有

(

u



v



w

)

u



v



w



例1求下列函数的导数

（1）

yxsinxlnx

（2）

y

4

cos2x

cosxsinx

解

（1）

y



(x

4

)



(sinx)



(lnx)



4xcosx

3

1

;x

cos

2

xsin

2x

cosxsinx

（2）

y

cosxsinx

y



sinxcosx.

2.2.1

乘法求导法则

定理2.3

设在

u(x),v(x)

点

x

处可导，则

u(x)v(x)

也在点

x

处可导，且

(u(x)v(x))



u



(x)v(x)u(x)v



(x).

推论2.2设

u(x)

在点

x

处可导，c护士总结 为常数，则

(cu(x))



cu



(x).

u(xx)v(xx)u(x)v(x)

[u(x)v(x)]



lim

x0

x

证明

lim

1

[u(xx)v(xx)u(x)v(xx)u(x)v(xx)u(x)v(x)]

x0

x

-------------

-------------

v(xx)v(x)





u(xx)u(x)

lim



v(xx)u(x)



x0

xx



lim

u(xx)u(x)v(xx)v(x)

limv(xx)u(x)lim

x0h0x0

xx



u

(

x

)

v

(

x

)

u

(

x

)

v

(

x

)。

其中

limv(xx)v(x)

是由于

v

(

x

)存在故

v

(

x

)在点

x

连续

x0

乘法求导法则可简单地表示为

(

uv

)

u



v



uv



推论2.3设

u



u

(

x

)、

v



v

(

x

)、

w



w

(

x

)

均可导则有

(

uvw

)[(

uv

)w](

uv

)

w

(

uv

)

w





(

u



v



uv

)

w



uvw



u



vw



uv



w



uvw



即(

uvw

)

u



vw



uv



w



uvw



例2求下列函数的导数

（1）

yxcosx

（2）

y2sinxcosxlnx

7

解

（1）

y



(x

7

)



cosxx

7

(cosx)



7xcosxxsinx

（2）

y



2[(sinx)



cosxlnxsinx(cosx)



lnxsinxcosx(lnx)



]

2(cosxlnxsi师德师风学习心得体会 nxlnx

cos2xlnx

2

2

6

7

sinxcosx

]

x

sin2x

。x

2.2.3除法求导法则

-------------

-------------

定理2.4设

u(x),v(x)

在点

x

处可导，且

v(x)0，则

u(x)

也在点

x

处可导，且

v(x)





u(x)



u



(x)v(x)u(x)v



(x)







。

2



v(x)



v(x)







1



v



(x)



特别，





v

2

(x)

v(x)



证明

u(xx)u(x)







u(x)



u(xx)v(x)u(x)v(xx)

v(xx)v(x)



limlim



x0x0

xv(xx)v(x)x



v(x)

lim

[u(xx)u(x)]v(x)u(x)[v(xx)v(x)]

x0

v(xx)v(x)x

u(xx)u(x)v(xx)v(x)

v(x)u(x)

xx

lim

x0

v(xx)v(x)



u



(x)v(x)u(x)v



(x)



v

2

(x)

除法求导法则可简单地表示为

uu



vuv

()







vv2

例3求下列函数的导数

（1）

ytgx

（2）

ycx



sinx



cos

2

xsin

2

x

2

cx

；

解

（1）

y







2

cosx



cosx



1



sinx

cxtgx

（2）

y







2

cosx

cosx



即

(tgx)



cx

(cx)



cxtgx

2

-------------

-------------

2

类似有

(ctgx)



cscx

(cscx)



cscxctgx

以上结果都可作为公式使用。

2.2.

4复合求导法则

定理2.5如果

u



g

(

x

)在点

x

可导函数

y



f

(

u

)在点

u



g

(

x

)额头凹陷 可导则复合函数

y



f

[

g

(

x

)]在点

x

可导且其导数为

dydy

dudy





f



(u)g



(x)或

dxdudxdx

证明当

u



g

(

x

)在

x

的某邻域内为常数时

y

=

f

[

g

(

x

)]也是常数此时导数为零

结论自然成立

当

u



g

(

x

)在

x

的某邻域内不等于常数时

u

0此时有

yf[g(xx)]f[g(x)]



xx

f[g(xx)]f[g(x)]g(xx)g(x)



g(xx)g(x)x





f(uu)f(u)g(xx)g(x)



ux

dyy

lim

dx

x0

x

f(uu)f(u)g(xx)g(x)

limlim

u0x0

ux

=

f

’(

u

)

g

’(

x

).

例4求下列函数的导数

（1）

ysin2x

；

（2）

yctg

3

x

-------------

-------------

解(1)

ysinu,u2x

,

故

y



cous22cos2x

.

(2)

yu

3

,uctgx

,

222

x)3ctgxcscx

.故

y



3u

2

(csc

例5求下列函数的导数

（1）

ye

cosx

；

（2）

yx

.

解(1)

ye

u

,ucosx

,

x)e

coxs

sinx

，故

y



e

u

(sin

(2)

ye



lnx

e

u

,u



lnx

,

故

y



e

u



x

e



lnx



x

x





x





x



1.

比较熟练以后，可以不写出中间变量，而直接写出结果。对多次复合而成的

函数，可类似去做。又，如果一个函数式中含有四则运算时，还要使用导数的四

则运算法则。

例6求下列函数的导数

（1）

ye

1

cos

22

x

;

（2）

ysin

3

5x1

.

解（1）

y



e

12

cos2

x

cosx(sinx)

1

1

2x

cos

2

12

sin2xe

4

x

.

（2）

y



1

sin

3

5x1

3sin

2

5xcos5x5

-------------

-------------



15sin

2

5xcos5x

sin5x1

3

2.2.5

隐函数微分法

有时一个函数由一个方程给出，称为隐函数，如

sinxy()lnx(y)0

其一般形式为一个二元方程

F(x,y)0

与此相辣的英文 对应，

yf(x)

可称为显函数。下面以例题说明隐函数求导法。

例7设

sin(xy)ln(xy)0

确定了函数

yf(x)

，求导数

解方程两边对

x

求导，注意到

y

是

x

的函数：

()(yxy



)

cosxy

1

(1y



)0

xy

dy

。dx

解出

y



(xy)ycosxy()1

。

1(xy)xcosxy()

例8设

yarcsinx

，求导数

y



。

in

解

yarcsx

，

x(





,)

xsiny

22

两边求导：

1y



cosy

，故

y



111

。



22

cosy

1siny1x

1

1x

2



i)n

即

(arcsx

这就是反正弦函数的导数公式。

类似可以可得反余弦函数的导数公式

-----竹梅 --------

-------------

(arccosx)





1

1x

2

例9设

yarctanx

，求导数

y



。

解

yarcta

，

x(,)

xtanxny

2

y

，故两边求导：

1y



c

y



111



。

c

2

y1tan

2

y1x2

即

(arctg)



x

1

.

1x2

这就是反正切函数的导数公式。

类似可以可中国野史 得余切函数的导数公式





(arcct)gx

对数求导法

1

.

1x2

这种方法是先在

y



f

(

x

)

的两边取对数然后再求出

y

的导数

设

y



f

(

x

)

两边取对数得

ln

y

ln

f

(

x

)

两边对

x

求导得

1

y



[lnf(x)]



y

y



f

(

x

)[ln

f

(

x

)]

对数求导法适用于求幂指函数

y

[

u

(

x

)]

v

(

x

)

的导数及多因子之积或商的导数

例10．求

y



x

sin

x

(

x

>0)

的导数

解法一两边取对数得

-------------

-------------

ln

y

sin

x

ln

x



上式两边对

x

求导得

11

y



cosxlnxsinx



yx

1

于是

y



y(cosxlnxsinx)

x

sinx

x

sinx

(cosxlnx)



x

解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求

y



x

sin

x



e

sin

x

ln

x



y



e

sinxlnx

(sinxlnx)



x

sinx

(cosxlnx

例11求函数

y

sinx

)

.

x

(x1)(x2)

的导数

y

.

x3

1

解

lny[ln(x1)ln(x2)ln(x3)]

2

y



1111

()

两边求导：

y2x2x2x3

故

y



1(x1)(x2)111

()

。

2x3x2x2x3

2.2.6

基本求导法则与导数公式

1．基本初等函数的导数

(1)(

C

)0

(2)(

x



)



x





1



(3)(sin

x

)cos

x



(4)(cos

x

)sin

x



(5)(tan

x

)c

2

x



-------------

-------------

(6)(cot

x

)csc

2

x



(7)(c

x

)c

x

tan

x



(8)(csc

x

)csc

x

cot

x



(9)

a

x

)

a

x

ln

a



(10)(

e

x

)

e

x



(11)

(log

a

x)



1

x1



xlna

(12)

(lnx)







(13)

(arcsinx)



1

1x

2





(14)

(arccosx)





(15)

(arctanx)



1

1x

2

1



1x2

1

(16)

(arccotx)





2

1x

2．函数的和、差、积、商的求导法则

设

u



u

(

x

)

v



v

(

x

)

都可导则

(1)(

u



v

)

u



v



(2)(

C

u

)

C

u



(2)(

C

u

)

C

u



(3)(

u

v

)

u



v



u



v



(4)

()



u

v

u



vuv



2

v

3．复合函数的求导法则

设

y



f

(

x

)

而

u



g

(

x

)

且

f

(

u

)及

-------------

g

(

x

)

都可导则复合函数

y



f

[

g

(

x

)]的导数

-------------

为

dydydu

或

y

(

x

)

f

(

u

)

g

(

x

)



dxdudx

2.2.7

初等函数求导

由以上的各种求导法可知，一切初等函数在定义域内部都是可导的，且导数

仍为初等函数。下再举几个例子。

例12

例13求下列函数的导数

（1）

yln(x1x

2

)

1

（2）

y(arctg)

3

x

解（1）

y







1

1x

2

1

x1x

2

(1

2x

21x

2

)

.

1

（2）

y



3(arctg)

2

x

1

1

1

x2

(

1

)

x2

1

3(arctg)2

x

.

2

1x

-------------

-------------



1e

x



x0

求：

f

/

(x)

f(x)



x





cosx1x0

2

例13设

解：当

x0,

x0,

2x

2

e

x

e

x

1

f(x)

x2

/

22

f

/

(x)sinx

x10

f

/

_

(0)lim

f(x)f(0)

lim

cos

x0

x0

x0

x

x2



lim



2

0

x0x

ie

x

0

f(x)f(0)

/

x

f



(0)lim



lim

x0x0

xx

2

1e

x

x2

lim



lim



2

1

x0x0

xx2

2

f

/



(0)f

/



(0)

∴f

/



2x

2

e

x

e

x

1

x0

(0)

不存在，故

f

/

(x)





x2



sinxx0

2

2

1



sin(2arctan),x0

例14

:

f



x







,求

f



(x)

.

x



x0



0,



1



1



解

:当

x0

,

f





x



cos



2arctan







2arctan



x



x





1

2

1



21



x

cos2arctan

=

2cos



2arctan







;

2

1

xx



1



1x





2





x

-------------

-------------

1



sin



2arctan

f(0x)f(0)

x



,

lim

当

x0

,

f





0



lim

x0x0

xx

令

uarctan

11

tanu

,

xx

2

u

f





0



limsin



2u



tanulim2sinu2.



2

u



2

limf





x



lim

x0

21



21



cos2arctanlimlimcos2arctan



2

x0

1x

2

x0

1x

2

x0

xx



小结：本节讲述了导数的四则运算法则和复合函数求导法则，基本初等函数的

求导公式，求隐函数的导数的方法

作业：习题2.2

-------------