2023年4月19日墨子简介
发(作者：舌尖上的童年)定理：任意酉矩阵A可以表示为A=U exp( S j ), 其中，U为实正交矩阵，S为实对称矩阵, j为虚根单位。 证明：{分析：如果假设成立，那么由A=U exp(S j)，我们消去U，可得AA = exp(2S j)。由 T 假设S为对称矩阵，因此存在正交矩阵V=(v 12n ,v,…,v)，使得S=VDV , 其中D为实对角矩 T 阵，D=diag(d 12n ,d,…,d)。那么 exp(2S j)=V exp(2D j) V T , 这样就有(A T A)V =V exp(2D j),写为分草地的英文
量形式为 立体风筝
(A T A)v= v , k=1,2,...,n. kk e 2d⋅j k 因此问题归结为，对于A T A的任意特征值手机壁纸男
，存在花蝴蝶歌曲
一个实特征向量。} 由于A为酉矩阵，对于A TT A的任意特征值和相应特征向量x, 我们有AAx=x,即
A Ax xx x x形容笑容
和都是相应特征向量. 设x=u+jv的实部向量为u和虚A=, 因此对于特征值， xx ⋅ A T x 部向量v,由于x为非零向量，因此u或v至少一个为非零向量，因此，对于A T A的任意特 征值，存在一个实特征向量。 又因为A TTT A钟家田园日记
为酉矩阵,所以AA为正规矩阵，存在实正交矩阵V和对角矩阵D使得AAV 1 =VD 11112n 且D的每个对角元素为单位复数。因此可设D=diag(), 其中,,..., ee我敬佩的一个人作文
e j⋅j⋅
12
j⋅
n
为实数，并且根据复指数函数的周期性，我们可以选择0≤≤2，或者−≤≤，k=1,2,...,n.
kk 令D=(1/2) diag(
12n ,,...,)得到(AA)V =V exp(2D j),因此 T AA =V exp(2D j)V=exp(2j⋅VDV) TTT 令S=VDV T , U=A exp(−S j). 那么显然由U=A exp(−S j)有A=U exp(S j);由A TTT A =exp(2j⋅VDV)得到AA =exp(2j⋅S). 下面证 明U为实正交矩阵。 事实上，由U=A exp(−S j) 血脂稠怎么办
可得 U TTT−1 U=exp(−S j) AA exp(−S j)=exp(−S j)exp(2S j)exp(−S j)= I, 因此U= (U) 另外显然有U HT−1. U= I, 因此= (U)从而可得U=.这样也就证明了U为实正交 UU 矩阵。 . 由定理的证明过程可以看出，实正交矩阵和对角矩阵D的取法都不唯一，因此酉矩阵的分 解也不唯一。
