三角形余弦定理公式及证明方法

三角形余弦定理公式及证明方法

三角形余弦定理公式及证明方法

余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数

学定理。是勾股定理在一般三角形情形下的推广。下面是店铺为大家

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三角形余弦定理上的定义

三角形余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它

可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的

问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为

方便、灵活。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角

的`余弦值。

三角形余弦定理的公式

对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：

a²=b²+c²-bc·cosA

b²=a²+c²-ac·cosB

c²=a²+b²-ab·cosC

也可表示为：

cosC=(a²+b²-c²)/ab

cosB=(a²+c²-b²)/ac

cosA=(c²+b²-a²)/bc

这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。

如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-

边-角)。要小心余弦定理的这种歧义情况。

三角形余弦定理的证明

平面向量证法(觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式

a·b=|a||b|Cosθ本来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明

余弦定理)∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线

代表两个邻边大小)

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|Cos(π-θ)

(以上粗体字符表示向量)

又∵Cos(π-θ)=-Cosθ

∴c²=a²+b²-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)

再拆开，得c²=a²+b²-2abcosC

即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b

同理可证，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左

边表示一下。

平面几何证法

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC²=AD²+DC²

b²=(sinBc)²+(a-cosBc)²

b²=(sinB*c)²+a²-2accosB+(cosB)²c²

b²=(sinB2+cosB2)c²-2accosB+a²

b²=c²+a²-2accosB

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