二元一次方程解法大全.

二元一次方程解法大全.

二元一次方程解法大全

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直

接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m.

例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是

完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

（2）解：9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)

先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c

将二次项系数化为1：x2+x=-

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方

程左边成为一个完全平方式：(x+)2=

当b^2-4ac≥0时，x+=±

∴x=(这就是求根公式)

例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方）解：

将常数项移到方程右边3x^2-4x=2

将二次项系数化为1：x2-x=

方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2

配方：(x-)2=

直接开平方得：x-=±

∴x=

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式

△=b2-4ac的值，当b2-4ac ≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公

式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程2x2-8x=-5

解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0

∴a=2,b=-8,c=5

b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)

∴原方程的解为x1=,x2=.

4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式

分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到

两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程

的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0

(3)6x2+5x-50=0(选学）(4)x2-2(+)x+4=0（选学）

(1)解：(x+3)(x-6)=-8化简整理得

x2-3x-10=0(方程左边为二次三项式，右边为零)

(x-5)(x+2)=0(方程左边分解因式)

∴x-5=0或x+2=0(转化成两个一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解：2x2+3x=0

x(2x+3)=0(用提公因式法将方程左边分解因式)

∴x=0或2x+3=0(转化成两个一元一次方程)

∴x1=0，x2=-是原方程的解。

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元

二次方程有两个解。

(3)解：6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=,x2=-是原方程的解。

(4)解：x2-2(+)x+4=0（∵4可分解为2·2，∴此题可用因式分解法）

(x-2)(x-2)=0

∴x1=2,x2=2是原方程的解。

小结：

一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因

式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化

为正数。

直接开平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方

程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一

般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便

判断方程是否有解。

配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解

一元二次方程了，所以一般不用配方法

解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的

应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。

（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。

二元一次方程练习题

一、判断

1、是方程组的解…………（）

2、方程组的解是方程3x-2y=13的一个解（）

3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（）

4、方程组，可以转化为（）

5、若(a2-1)x2+(a-1)x+(2a-3)y=0是二元一次方程，则a的值为

±1（）

6、若x+y=0，且|x|=2，则y的值为2…………（）

7、方程组有唯一的解，那么m的值为m≠-5…………（）

8、方程组有无数多个解…………（）

9、x+y=5且x，y的绝对值都小于5的整数解共有5组…………

（）

10、方程组的解是方程x+5y=3的解，反过来方程x+5y=3的解

也是方程组的解………（）

11、若|a+5|=5，a+b=1则………（）

12、在方程4x-3y=7里，如果用x的代数式表示y，则（）

二、选择：

13、任何一个二元一次方程都有（）

（A）一个解；（B）两个解；

（C）三个解；（D）无数多个解；

14、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合

条件的两位数的个数有（）

（A）5个（B）6个（C）7个（D）8个

15、如果的解都是正数，那么a的取值范围是（）

（A）a<2；（B）；（C）；（D）；

16、关于x、y的方程组的解是方程3x+2y=34的一组解，那么

m的值是（）

（A）2；（B）-1；（C）1；（D）-2；

17、在下列方程中，只有一个解的是（）

（A）（B）

（C）（D）

18、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的

方程是（）

（A）15x-3y=6（B）4x-y=7（C）10x+2y=4（D）20x-4y=3

19、下列方程组中，是二元一次方程组的是（）

（A）（B）

（C）（D）

20、已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于（）（A）a=-

3,b=-14（B）a=3,b=-7

（C）a=-1,b=9（D）a=-3,b=14

21、若5x-6y=0，且xy≠0，则的值等于（）

（A）（B）（C）1（D）-1

22、若x、y均为非负数，则方程6x=-7y的解的情况是（）（A）

无解（B）有唯一一个解

（C）有无数多个解（D）不能确定

23、若|3x+y+5|+|2x-2y-2|=0，则2x2-3xy的值是（）（A）14

（B）-4（C）-12（D）12

24、已知与都是方程y=kx+b的解，则k与b的值为（）（A），

b=-4（B），b=4

（C），b=4（D），b=-4

三、填空：

25、在方程3x+4y=16中，当x=3时，y=________，当y=-2时，

x=_______

若x、y都是正整数，那么这个方程的解为___________；

26、方程2x+3y=10中，当3x-6=0时，y=_________；

27、如果0.4x-0.5y=1.2，那么用含有y的代数式表示的代数式是

_____________；

28、若是方程组的解，则；

29、方程|a|+|b|=2的自然数解是_____________；

30、如果x=1，y=2满足方程，那么a=____________；

31、已知方程组有无数多解，则a=______，m=______；

32、若方程x-2y+3z=0，且当x=1时，y=2，则z=______；

33、若4x+3y+5=0，则3(8y-x)-5(x+6y-2)的值等于_________；

34、若x+y=a，x-y=1同时成立，且x、y都是正整数，则a的

值为________；

35、从方程组中可以知道，x:z=_______；y:z=________；

36、已知a-3b=2a+b-15=1，则代数式a2-4ab+b2+3的值为

__________；

四、解方程组

37、；38、；

39、；40、；

41、；42、；

43、；44、；

45、；46、；

五、解答题：

47、甲、乙两人在解方程组时，甲看错了①式中的x的系数，解

得；乙看错了方程②中的y的系数，解得，若两人的计算都准确无误，

请写出这个方程组，并求出此方程组的解；

48、使x+4y=|a|成立的x、y的值，满足(2x+y-1)2+|3y-x|=0，

又|a|+a=0，求a的值；

49、代数式ax2+bx+c中，当x=1时的值是0，在x=2时的值是

3，在x=3时的值是28，试求出这个代数式；

50、要使下列三个方程组成的方程组有解，求常数a的值。

2x+3y=6-6a，3x+7y=6-15a，4x+4y=9a+9

51、当a、b满足什么条件时，方程(2b2-18)x=3与方程组都无

解；

52、a、b、c取什么数值时，x3-ax2+bx+c程(x-1)(x-2)(x-3)恒

等？

53、m取什么整数值时，方程组的解：

（1）是正数；

（2）是正整数？并求它的所有正整数解。

54、试求方程组的解。

六、列方程（组）解应用题

55、汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要延误30分

钟到达；若每小时行驶50千米，那就可以提前30分钟到达，求甲、

乙两地之间的距离及原计划行驶的时间？

56、某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男

生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男

生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68个，扁

担40根，问这个班的男女生各有多少人？

57、甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒

钟就可以追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上

乙，求两人每秒钟各跑多少米？

58、甲桶装水49升，乙桶装水56升，如果把乙桶的水倒入甲桶，

甲桶装满后，乙桶剩下的水，恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水

倒入乙桶，待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的，求这两

个水桶的容量。

59、甲、乙两人在A地，丙在B地，他们三人同时出发，甲与乙

同向而行，丙与甲、乙相向而行，甲每分钟走100米，乙每分钟走

110米，丙每分钟走125米，若丙遇到乙后10分钟又遇到甲，求A、

B两地之间的距离。

60、有两个比50大的两位数，它们的差是10，大数的10倍与小

数的5倍的和的是11的倍数，且也是一个两位数，求原来的这两个两

位数。

【参考答案】

一、1、√；2、√；3、×；4、×；5、×；6、×；

7、√；8、√；9、×；10、×；11、×；12、×；

二、13、D；14、B；15、C；16、A；17、C；18、A；

19、C；20、A；21、A；22、B；23、B；24、A；

三、25、，8，；26、2；27、；28、a=3，b=1；

29、30、；31、3，-432、1；33、20；

34、a为大于或等于3的奇数；35、4:3，7:936、0；

四、37、；38、；39、；40、；

41、；42、；43、；44、；

45、；46、；

五、47、，；48、a=-149、11x2-30x+19；

50、；51、，b=±352、a=6,b=11,c=-6；

53、（1）m是大于-4的整数，（2）m=-3，-2，0，，，；

54、或；

六、55、A、B距离为450千米，原计划行驶9.5小时；

56、设女生x人，男生y人，

57、设甲速x米/秒，乙速y米/秒

58、甲的容量为63升，乙水桶的容量为84升；

59、A、B两地之间的距离为52875米；

60、所求的两位数为52和62。

二元一次方程组练习题100道（卷二）

一、选择题：

1．下列方程中，是二元一次方程的是（）

A．3x－2y=4zB．6xy+9=0C．+4y=6D．4x=

2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）

A．

3．二元一次方程5a－11b=21（）

A．有且只有一解B．有无数解C．无解D．有且只有两解

4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（）

A．

5．若│x－2│+（3y+2）2=0，则的值是（）

A．－1B．－2C．－3D．

6．方程组的解与x与y的值相等，则k等于（）

7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（）

①xy+2x－y=7；②4x+1=x－y；③+y=5；④x=y；⑤x2－

y2=2

⑥6x－2y⑦x+y+z=1⑧y（y－1）=2y2－y2+x

A．1B．2C．3D．4

8．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍

少2人，?则下面所列的方程组中符合题意的有（）

A．

二、填空题

9．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：y=_______；

用含y的代数式表示x为：x=________．

10．在二元一次方程－x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当

y=－1时，x=______．11．若x3m－3－2yn－1=5是二元一次方程，

则m=_____，n=______．

12．已知是方程x－ky=1的解，那么k=_______．

13．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____．

14．二元一次方程x+y=5的正整数解有______________．

15．以为解的一个二元一次方程是_________．

16．已知的解，则m=_______，n=______．

三、解答题

17．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2

（关于x，y的方程）?有相同的解，求a的值．

18．如果（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，

则a，b满足什么条件？

19．二元一次方程组的解x，y的值相等，求k．

20．已知x，y是有理数，且（│x│－1）2+（2y+1）2=0，则x

－y的值是多少？

21．已知方程x+3y=5，请你写出一个二元一次方程，?使它与已

知方程所组成的方程组的解为．

22．根据题意列出方程组：

（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元

钱，?问明明两种邮票各买了多少枚？

（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无

笼可放；?若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多

少个笼？

23．方程组的解是否满足2x－y=8？满足2x－y=8的一对x，y

的值是否是方程组的解？

24．（开放题）是否存在整数m，使关于x的方程2x+9=2－

（m－2）x在整数范围内有解，你能找到几个m的值？你能求出相应

的x的解吗？

答案：

一、选择题

1．D解析：掌握判断二元一次方程的三个必需条件：①含有两个

未知数；②含有未知数的项的次数是1；③等式两边都是整式．

2．A解析：二元一次方程组的三个必需条件：①含有两个未知数，

②每个含未知数的项次数为1；③每个方程都是整式方程．

3．B解析：不加限制条件时，一个二元一次方程有无数个解．

4．C解析：用排除法，逐个代入验证．

5．C解析：利用非负数的性质．

6．B

7．C解析：根据二元一次方程的定义来判定，?含有两个未知数

且未知数的次数不超过1次的整式方程叫二元一次方程，注意⑧整理

后是二元一次方程．

8．B

二、填空题

9．10．－10

11．，2解析：令3m－3=1，n－1=1，∴m=，n=2．

12．－1解析：把代入方程x－ky=1中，得－2－3k=1，∴k=－

1．

13．4解析：由已知得x－1=0，2y+1=0，

∴x=1，y=－，把代入方程2x－ky=4中，2+k=4，∴k=1．

14．解：

解析：∵x+y=5，∴y=5－x，又∵x，y均为正整数，

∴x为小于5的正整数．当x=1时，y=4；当x=2时，y=3；

当x=3，y=2；当x=4时，y=1．

∴x+y=5的正整数解为

15．x+y=12解析：以x与y的数量关系组建方程，如2x+y=17，

2x－y=3等，此题答案不唯一．

16．14解析：将中进行求解．

三、解答题

17．解：∵y=－3时，3x+5y=－3，∴3x+5×（－3）=－3，

∴x=4，

∵方程3x+5y=?－?3?和3x－2ax=a+2有相同的解，

∴3×（－3）－2a×4=a+2，∴a=－．

18．解：∵（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方

程，

∴a－2≠0，b+1≠0，?∴a≠2，b≠－1

解析：此题中，若要满足含有两个未知数，需使未知数的系数不

为0．

（?若系数为0，则该项就是0）

19．解：由题意可知x=y，∴4x+3y=7可化为4x+3x=7，

∴x=1，y=1．将x=1，y=?1?代入kx+（k－1）y=3中得k+k－

1=3，

∴k=2解析：由两个未知数的特殊关系，可将一个未知数用含另一

个未知数的代数式代替，化“二元”为“一元”，从而求得两未知数

的值．

20．解：由（│x│－1）2+（2y+1）2=0，可得│x│－1=0且

2y+1=0，∴x=±1，y=－．

当x=1，y=－时，x－y=1+=；

当x=－1，y=－时，x－y=－1+=－．

解析：任何有理数的平方都是非负数，且题中两非负数之和为0，

则这两非负数（│x│－1）2与（2y+1）2都等于0，从而得到

│x│－1=0，2y+1=0．21．解：经验算是方程x+3y=5的解，再写一

个方程，如x－y=3．

22．（1）解：设0．8元的邮票买了x枚，2元的邮票买了y枚，

根据题意得．

（2）解：设有x只鸡，y个笼，根据题意得．

23．解：满足，不一定．

解析：∵的解既是方程x+y=25的解，也满足2x－y=8，?

∴方程组的解一定满足其中的任一个方程，但方程2x－y=8的解

有无数组，

如x=10，y=12，不满足方程组．

24．解：存在，四组．∵原方程可变形为－mx=7，