活跃在高考数学中的三角不等式

活跃在高考数学中的三角不等式

张运筹《三角不等式及其应用》

《数林外传系列·跟大学名师学中学数学:三角不等式及其应用(第

2版)》涉及许多基本的三角知识，是一种有用的数学工具，高中生阅

读《数林外传系列·跟大学名师学中学数学:三角不等式及其应用(第2

版)》，既可复习三角知识，提高综合应用的能力，又可学到一些数学

方法。

《数林外传系列·跟大学名师学中学数学:三角不等式及其应用(第

2版)》由浅入深，从基础知识到几何应用，比较全面地介绍了有关三

角不等式的各种初等问题。

摘要: 文章借助三角不等式对2016年浙江高考数学中的向量和数

列问题进行了解法研究,期望对读者进行解题细节上的指导,提高对新颖

问题的解决能力.通过问题解法的展示,指出教师需要关注知识的交汇,提

高对问题模式的识别能力.

关键词: 三角不等式; 解法; 教学启示

2016年高考已经落下帷幕, 试题研究正在火热进行中, 笔者发现与

三角不等式有关的问题在浙江文、理卷中都有呈现.经过研究, 得到了一

些处理方法, 希望对今后的解题教学起到一定的指导作用.

1. 问题呈现

纵观浙江高考文理卷, 发现以下问题与三角不等式有关:

2. 问题赏析

平面向量和数列是高中数学的重点内容, 是学习高等数学的基础,

也是高考经常考察的热点. 2015年的浙江省理科数学第14题考察了绝

对值的三角不等式的应用, 今年三角不等式的涉及面有所拓广, 与平面

向量结合, 强调了其应用的广泛性, 可以说是意料之外, 又在情理之中.

另外, 今年理科数列问题考察了对递推不等式的处理方法, 检验了学生

选择有效解题工具的能力.

从试题上看, 三角不等式的应用主要考察学生的问题转化和代数变

形能力, 用简单的数学语言道出了“平平淡淡才是真”的真谛.

3. 解题工具

本文需要用到以下绝对值的三角不等式:

评注: 本题巧妙地引入了坐标化方法, 利用数量积的坐标运算, 转化

为三角最值问题, 通过利用绝对值的三角不等式和柯西不等式（也可使

用均值不等式）, 得到了最大值. 坐标化方法的引入, 极大地降低了思维

难度, 把问题求解转化为学生熟悉的计算问题.

评注1: 本题其实也可以使用坐标化方法处理, 但是利用绝对值的三

角不等式处理, 简洁明了, 更好地把握了问题的实质.

评注2: 例1和例2是一对条件与结果“互逆”的问题, 但是求解

的难度大不相同, 互换条件和结论, 也为我们平时编题提供了尝试的方

向.

评注: 利用绝对值的三角不等式, 得到了显性的递推不等式, 重复使

用该不等式, 最后得到了数列通项绝对值的指数下界估计.

4. 教学启示

鉴于三角不等式在高考试题中的活跃表现, 需要引起教师们对它的

关注, 给予这个解题工具应有的地位. 在教学中, 需要关注三角不等式与

哪些知识可以进行交汇, 可以设计哪些数学问题. 对问题模式的识别需

要达到精准的程度, 进而为问题解决作出快速的方向判断.